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八年级数学竞赛例题专题-整体与完形 专题28 整体与完形阅读与思考许多几何问题，常因图形复杂、不规则而给解题带来困难，这些复杂、不规则的图形，从整体考虑，可看作某种图形的一部分，如果将它们补充完整，就可得到常见的特殊图形，那么就能利用特殊图形的特殊性质转化问题，这就是解几何问题的补形法，常见的补形方法有：1.将原图形补形为最能体现相关定理、推论、公理的基本图形；2.将原图形补形为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形；3.将原图形补形为平行四边形、矩形、正方形、梯形等特殊四熟悉以下图形： 例题与求解【例1】 如图，已知CDAF，CDEBAF，ABBC，E ，C ，则AFE_度. (北京市竞赛试题) 解题思路：有平行的条件，不妨将六边形补形为较为规整的平行四边形. 【例2】 设 分别是ABC的三边长， 且满足 ，则它的内角A、B的关系是（ ）. A.B2A B.B2A C.B2A D.不确定（全国初中数学竞赛试题）解题思路：从化简已知等式入手，并补出相应的图形.【例3】 如图1，BD，CE分别是ABC的外角平分线，过点A作AFBD，AGCE，垂足分别为F，G，连结FG，延长AF，AG，与直线BC相交，易证 .若（1）BD，CE分别是ABC的内角平分线（如图2）；（2）BD为ABC的内角平分线；（3）CE为ABC的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明.（黑龙江省中考试题）解题思路：既有平分线又有垂线，联想到等腰三角形性质，考虑将图形补成等腰三角形.【例4】 如图，四边形ABCD中，ABC ，BCD ，AB ，BC ，CD ，求AD的长. （全国初中数学竞赛试题）解题思路：由于四边形ABCD是一般四边形，所以直接求AD比较困难，应设法将AD转化为特殊三角形的边. 例4题图 例5题图 【例5】 如图，凸八边形 中， ， ， ， ，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值. （山东省竞赛试题）解题思路：本例是一个几何定值证明问题，关键是将八边形问题转化为三角形或四边形问题来解决，若连结对角线，则会破坏一些已知条件，应当考虑向外补形. 【例6】 如图，在ABC中，ABC ，点D在边BC上，ADC ，且 .将ACD以直线AD为轴作轴对称变换，得到 ，连结 . (1) 证明： ; (2) 求C的大小.（全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题）解题思路：本题分别考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质，解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即可解决问题. 能力训练1.如图，在四边形ABCD中，AC ，ABAD，若这个四边形的面积为12，则BCCD_. （山东省竞赛试题）2. 如图，凸五边形ABCDE中，AB ，EAABBC ，CDDE ，则这个五边形的面积为_.（美国AHSME试题）3. 如图，一个凸六边形六个内角都是 ，其中连续四条边的长依次为 ，则该六边形的周长为_. 4. 如图，ABCDEF是正六边形，M，N分别是边CD，DE的中点，线段AM与BN相交于P，则_. （浙江省竞赛试题） 5. 如图，长为 的三条线段 交于O点，并且 ，则三个三角形的面积和 _ （填“”，“”，或“”）.（“希望杯”邀请赛试题）6. 如图，在四边形ABCD中，A ，BD ，BC ，CD ，则AB ( ). A. B. C. D. （广西壮族自治区中考试题） 7. 如图，在ABC中，M为BC中点，AN平分A，ANBN于N，且AB ，AC ，则MN等于（ ）. A. B. C. D. 8. 如图，在四边形ABCD中，ABBC，ABCCDA ，BEAD于E， ，则BE的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形ABCD中，AB ，BC ，CD ，B ，C ，则D等于（ ） A. B. C. D.条件不够，无法求出（重庆市竞赛试题）10. 如图，在ABC中，E是AC中点，D是BC边上一点，若BC ，ABC ，BAC ，CED ，求 的值. 11. 如图，设 是 的斜边长， 是直角边，求证： .（加拿大中学生竞赛试题）12. 如图，已知八边形ABCDEFGH所有的内角都相等，而且边长都是整数.求证：这个八边形的对边相等. 13. 如图，设P为ABC的中位线DE上的一点，BP交AC于N，CP