高中数学第1章直线多边形圆1.2.3弦切角定理学案北师大版选修4_.doc

2.3弦切角定理1.理解弦切角的定义.2.掌握弦切角定理，并能解决与弦切角有关的问题.3.体会分类思想、运动变化思想和化归思想.基础初探教材整理1弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.1.如图1250所示，已知O的直径AB与弦AC的夹角为35，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则P等于()图1250A.15B.20C.25D.30【解析】法一：A35，ACO35，POC70。PC是O切线，OCPC.P907020.法二：如图，连接BC，PC是O的切线，PCBCAB35.又PBCCABACB3590125，P1801253520.【答案】B教材整理2弦切角定理(1)文字语言：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半.(2)图形语言：如图1251，AB与O切于A点，则BACADC.图12512.如图1252所示，已知直线CD与O相切于点C，AB为直径，若BCD40，则ABC的大小等于_.图1252【解析】CD是O的切线，ABCD40，ABC904050.【答案】503.如图1253，在O中，AB为弦，AC为O的切线，过B点作BDAC于D，BD交O于E点，若AE平分BAD，则ABD_.【导学号：96990024】图1253【解析】由题意知ABDDAEEAB，又ABDDAEEAB90，ABD30.【答案】30质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型弦切角定理的简单应用已知：AB切O于A，OB交O于C，ADOB于D.求证：DACCAB.【精彩点拨】本题考查弦切角定理的应用.解答本题需要根据题意画出图形，然后利用相关定理解决.【自主解答】法一：如图(1)，延长AD交O于E，AB切O于A，(1)CDAE，.又DAC的度数等于度数的一半，CAB的度数等于度数的一半，DACCAB.法二：如图(2)，延长BO交O于E，(2)连接AE，则CAE90.又ADCE，DACE.AB是O的切线，CABE.DACCAB.1.由弦切角定理可直接得到角相等，在与弦切角有关的几何问题中，往往还需要借助其它几何知识来综合解答，由弦切角得到的角相等只是推理论证中的一个条件.2.借助弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等.再练一题1.如图1254，O的弦AB的延长线和切线EP相交于点P，E为切点，APE的平分线和AE，BE分别相交于C，D.求证：ECED.图1254【证明】PE切O于点E，BEPA，PC平分APE，34，又13A，24BEP，12，ECED.弦切角定理的综合应用如图1255，PA，PB是O的切线，点C在上，CDAB，CEPA，CFPB，垂足分别为D，E，F，求证：CD2CECF.图1255【精彩点拨】【自主解答】连接CA，CB.PA，PB是O的切线.CAPCBA，CBPCAB.又CDAB，CEPA，CFPB，RtCAERtCBD，RtCBFRtCAD，即CD2CECF.1.解答本题的难点在于乘积式中的线段不在两个相似三角形中，需用中间量过渡.2.弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理.3.弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现.再练一题2.如图1256，AB为O的直径，弦CDAB，AE切O于A，交CD的延长线于E.求证：BC2ABDE.图1256【证明】连接BD，OD，OC，AE切O于A，EADABD，且AEAB.又ABCD，AECE，E90.AB为O的直径，ADB90，EADB，ADEBAD，AD2ABDE.CDAB，12，34.又知24，13，ADBC，BC2ABDE.探究共研型弦切角的特点探究1CE是O的切线，切点为C，你能说出弦切角BCE与弦切角ACE所夹的弧吗？【提示】如图，弦切角所夹的弧就是指构成弦切角的弦所对的夹在弦切角内部的一条弧，弦切角BCE所夹的弧是，弦切角ACE所夹的弧是.探究2如何正确使用弦切角定理？【提示】要正确使用弦切角定理，第一步要找到弦切角，弦切角的特点是：(1)顶点在圆上(顶点为圆切线的切点)；(2)一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线)；(3)一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦).三者缺一不可，例如上图中，CAD很像弦切角，但它不是弦切角，因为AD与圆相交，BAE也不一定是弦切角，只有已知AE切圆于点A，才能确定它是弦切角.第二步要准确地找到弦切角所夹的弧，再看这段弧上的圆周角，再用弦切角定理解题，如果没有圆周角，有这段弧所对的圆心角也行.如图1257，AB，CB分别切O于D，E，试写出图中所有的弦切角.图1257【精彩点拨】本题考查弦切角的定义.解答本题需要明确构成弦切角的三个条件，然后依据定义作出判断.【自主解答】由弦切角的定义可知，ADE，BDE，BED，CED都是弦切角.再练一题3.如图1258，NA与O切于点A，AB和AD是O的弦，AC为直径，试指出图中有哪几个弦切角？图1258【解】弦切角分三类：如题图：(1)圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；(3)圆心在角的内部；即BAN，CAN，DAN为弦切角.构建体系1.如图1259，四边形ABCD是圆的内接四边形，AB是直径，MN是切圆于C点的切线，若BCM38，则B()图1259A.32B.42C.52D.48【解析】如图，连接AC.BCM38，MN是O的切线，BAC38，AB为O的直径，B903852.【答案】C2.已知，如图1260，PA切O于点A，BC是O的直径，BC的延长线交AP于P，AEBP交O于E，则图中与CAP相等的角的个数是()图1260A.1 B.2C.3D.4【解析】如图所示，连接OA，OE，则AOE为等腰三角形.OCAE，OC垂直平分AE，ACE为等腰三角形，EACAECCAPABC.【答案】C3.如图1261，PC与O相切于C点，PAB过圆心O，P40，则ACP等于()图1261A.20 B.25 C.30D.40【解析】如图，连接OC，PC切O于C点，OCPC，P40，POC50，连接BC，OCOB，BPOC25，ACPB25.【答案】B4.如图1262，EB，EC是圆O的两条切线，B，C是切点，A，D是圆O上两点，如果E46，DCF32，则A_.【导学号：96990025】图1262【解析】连接OB，OC，AC，BADBACCAD(180E)DCF673299.【答案】995.如图1263，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A，B)，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E.求证：CBCE.图1263【证明】法一：连接BE.因为AB是半圆O的直径，E为圆周上一点，所以AEB90，即BEAD.又因为ADl，所以BE l.所以DCECEB.因为直线l是圆O的切线，所以DCECBE.所以CBECEB.所以CECB.法二：连接AC，BE，在DC延长