高中数学第三章不等式3.2均值不等式一学案新人教B版必修5.doc

32均值不等式 (一)学习目标1.理解均值不等式的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式知识链接下列说法中，正确的有_(1) a2b22ab(ab)2；(2)(ab)20；(3) a2b2(ab)2；(4) (ab)2(ab)2.答案(1)(2)解析当a，b同号时，有a2b2(ab)2，所以(3)错误；当a，b异号时，有(ab)2(ab)2，所以(4)错误预习导引1重要不等式对于任意实数a，b，a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立2均值定理如果a，bR，那么，当且仅当ab时，等号成立3算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a，b，数叫做a，b的算术平均值，数叫做a，b的几何平均值故均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值4均值定理的常用推论(1)ab()2 (a，bR)(2)当ab0时，2；当ab0，b0)证明(1) a2b22ab(ab)20，a2b22ab，当且仅当ab时，取“”(2) ab2()2()22()20.ab2.，当且仅当ab时，取“”规律方法a2b22ab对a、bR都成立，成立的条件是a，bR，两个不等式“”号成立的条件都是ab.跟踪演练1还有一种证明( a0，b0)的方法叫做分析法，下面设计了分析法证明这个不等式的过程，你能不能把过程中留的空填正确？要证： (a0，b0)只要证：ab_要证，只要证ab_0要证，只要证 (_)20显然， 是成立的，当且仅当ab时， 的等号成立答案22要点二均值不等式的直接应用例2(1)已知a，b，c为任意的实数，求证a2b2c2abbcca.(2)已知a，b，c为不全相等的正数，求证abc.证明(1) a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca.2(a2b2c2)2(abbcca)，即a2b2c2abbcca.(2)a0，b0，c0，ab2 0，bc2 0，ca20.2(abc)2()，即abc.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立abc.规律方法在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式跟踪演练2已知x，y都是正数求证：(1)2；(2)(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3.证明(1)x，y都是正数， 0，0，22，即2.当且仅当xy时，等号成立(2)x，y都是正数，xy20，x2y220，x3y320.(xy)(x2y2)(x3y3)2228x3y3.即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3，当且仅当xy时，等号成立要点三含条件的不等式的证明例3已知a，b，cR，且abc1，求证：9.证明abc1，33()()()32229.当且仅当abc时，取等号规律方法使用均值不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现“1”要注意“1”的整体代换，多次使用均值不等式，要注意等号能否同时成立跟踪演练3已知a，b，x，yR，且a2b21，x2y21，求证：axby1.证明a2x22ax，b2y22by，a2x2b2y22ax2by，又a2b21，x2y21，2ax2by2，axby1.1不等式m212m中等号成立的条件是()Am1 Bm1 Cm1 Dm0答案A2若0ab BbaCba Dba答案C解析0aab，b.ba0，aba2，a.故ba.3如果0abQM BQPM CQMP DMQP答案B解析Plog，Q(logalogb)log，Mlog(ab)log，只需比较，的大小，显然，又因为，也就是.而ylogx为减函数，故QPM，选B.4已知0a1,0b0，b0，ab2，a2b22ab，四个数中最大数应为ab或a2b2.又0a1,0b1，a2b2(ab)a2ab2ba(a1)b(b1)0，a2b2ab，ab最大方法二令ab，则ab1，21，a2b2，2ab2，再令a，b，ab，22，ab最大1两个不等式a2b22ab与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取号”这句话的含义要有正确的理解一方面：当ab时，；另一方面：当时，也