高中数学第三章变化率与导数疑难规律方法学案北师大版选修1_1.doc

第三章 变化率与导数1利用导数的几何意义解题1求参数例1设曲线yf(x)ax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a_.解析根据导数的定义，2aax，当x无限趋近于0时，2aax无限趋近于2a，即f(1)2a.又由曲线f(x)ax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，得2a2，即a1.答案12求倾斜角例2求曲线yf(x)x3x25在x1处的切线的倾斜角分析要求切线的倾斜角，先要求切线的斜率k，再根据斜率ktan ，求出倾斜角.解设曲线yf(x)x3x25在x1处的切线的倾斜角为.(x)21，当x无限趋近于0时，(x)21无限趋近于1，即tan f(1)1.因为0，)，所以.故切线的倾斜角为.评注切线的倾斜角能通过求切线的斜率得到，在解题过程中，一定要注意切线的倾斜角的取值范围3求曲线的切线例3求在点P处与曲线yx3相切的切线方程分析要求直线在点P处的切线方程，需求得过点P的切线的斜率k，然后根据点斜式可求得切线方程解因为点P在曲线yx3上，y(2x)3234x2(x)2(x)3，所以42x(x)2，当x无限趋近于0时，无限趋近于4，即k4.故所求的切线方程为y4(x2)，即12x3y160.评注求在点P处与曲线相切的切线方程时，可求出切线的斜率，然后再根据点斜式求切线方程4求切点的坐标例4若曲线yf(x)x31在点P处的切线的斜率为3，求点P的坐标分析要求点P的坐标，可设点P的坐标为(x0，x1)，然后由切线的斜率为3，解方程求得解设点P的坐标为(x0，x1)，因为3x3x0x(x)2，当x无限趋近于0时，上式无限趋近于3x，所以3x3.解得x01.故点P的坐标是(1,2)或(1,0)评注值得注意的是切点P的坐标有两个，部分同学误认为只有一个而出错.2利用导数求切线方程曲线的切线问题是高考的常见题型之一而导数f(x0)的几何意义为曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳1已知切点，求曲线的切线方程此类题只需求出曲线的导数f(x)，并代入点斜式方程即可例1曲线f(x)x33x21在点(1，1)处的切线方程为()Ay3x4 By3x2Cy4x3 Dy4x5解析由f(x)3x26x，知在点(1，1)处的斜率kf(1)3.所以切线方程为y(1)3(x1)，即y3x2.故选B.答案B2已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法例2求过曲线f(x)x32x上的点(1，1)的切线方程解设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f(x0)3x2.所以切线方程为yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)(xx0)又知切线过点(1，1)，所以1(x2x0)(3x2)(1x0)解得x01，或x0.故所求切线方程为y(12)(32)(x1)，或y(1)(2)(x)，即xy20，或5x4y10.点评可以发现直线5x4y10并不以(1，1)为切点，实际上是经过点(1，1)，且以(，)为切点的直线这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点3已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解例3求过点(2,0)且与曲线f(x)相切的直线方程解设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f(x0).所以切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)又已知切线过点(2,0)，把它代入上述方程，得(2x0)解得x01，y01，即xy20.点评点(2,0)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，这充分反映出待定切点法的高效性4求两条曲线的公切线例4已知曲线C1：yx2与C2：yx24x4，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程分析设出直线与两条曲线的切点坐标，分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两个方程所表示的直线重合，建立方程组求解解设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于点Q(x2，x4x24)由C1：yx2，得y2x，则与C1相切于点P的切线方程为yx2x1(xx1)，即y2x1xx，由C2：yx24x4，得y2x4，则与C2相切于点Q的切线方程为y2(x22)xx4.因为两切线重合，所以2x12(x22)且xx4，解得x10，x22或x12，x20.所以直线l的方程为y0或y4x4.点评公切线问题的一般解法是分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两直线重合的条件建立方程组求解.3导数运算中的常见错误1对f(x0)与f(x)理解有误例1已知函数f(x)x22xf(1)，则f(0)的值为()A0 B4 C2 D2错解由f(x)x22xf(1)得f(0)0.所以f(0)0.故选A.错因分析解题时没有弄清导函数和其在某点处的导数的关系，求函数在某点处的导数时，应先求导再求函数值，同时要注意f(1)是常数正解由f(x)x22xf(1)得，f(x)2x2f(1)所以f(1)212f(1)所以f(1)2.从而f(x)2x4.所以f(0)4.故选B.2切点位置的确定有误例2求过点P(1,0)且与曲线f(x)x3x相切的直线的方程错解由题意知点P(1,0)在曲线上因为f(x)3x21，所以f(1)2.所以切线方程为y02(x1)，即2xy20.错因分析点P(1,0)虽然在曲线上，但不一定是切点，解题时把点P(1,0)当作切点显然是错误的求曲线的切线方程时，应注意两种“说法”：(1)曲线在点P处的切线方程(一定是以点P为切点)；(2)曲线过点P的切线方程(无论点P是否在曲线上，点P都不一定是切点)正解设切点为(x0，xx0)，则过该点的切线方程为y(xx0)(3x1)(xx0)由切线过点P(1,0)得：0(xx0)(3x1)(1x0)，整理得2x3x10.即(x01)2(2x01)0，解得x01或x0.所以切线方程为2xy20或x4y10.3对切线定义的理解有误例3已知曲线C：yf(x)x3，曲线C在点P(2,4)处的切线方程为y4x4，试分析该切线与曲线C是否还有其他公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由错解由于直线y4x4与曲线C相切，因此除切点P(2,4)外没有其他的公共点错因分析“切线与曲线有唯一公共点”，此说