高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念课件新人教A版选修2_2.ppt

第三章数系的扩充与复数的引入3 1数系的扩充和复数的概念3 1 1数系的扩充和复数的概念 主题1复数的概念1 方程x2 1有解吗 解是什么 方程x2 1 0在实数范围内有解吗 提示 方程x2 1有解 解是x 1 方程x2 1 0在实数范围内没有解 2 若有一个新数i满足i2 1 试想方程x2 1 0有解吗 提示 有解 x i 但不在实数范围内 3 添加i之后 i与原来的实数之间进行加法乘法运算的时候 会产生怎样的新数 提示 若i与实数b相乘再与实数a相加则可得到形式为a bi的新数 结论 1 复数的定义形如 的数叫做复数 其中i叫做 满足i2 全体复数所成的集合C叫做 a bi a b R 虚 数单位 1 复数集 2 复数的表示复数通常用字母z表示 即z 这一表示形式叫做复数的 a与b分别叫做复数z的 与 a bi a b R 代数形式 实部 虚部 微思考 1 两个复数一定能比较大小吗 提示 不能 2 复数a bi的实部是a 虚部是b吗 提示 只有a b都是实数时才是 主题2复数的相等和分类1 复数z a bi a b R 中实部与虚部分别为零时表示什么数 提示 虚部b 0时 z a是一个实数 虚部b 0时 z a bi是一个虚数 虚部b 0 实部a 0时 z bi是纯虚数 2 实数集R与复数集C有什么关系 提示 用文字语言描述 实数集R是复数集C的真子集 即R C 用图形语言描述 结论 1 复数相等设a b c d都是实数 那么a bi c di a c且b d 2 复数的分类 微思考 怎样判断复数在什么条件下是实数 虚数 纯虚数 提示 将复数化成z a bi a b R 的形式 再按分类判断 预习自测 1 下列命题是假命题的是 A i不是负数B i不是无理数C 如果a是实数 那么ai是虚数D 不是分数 解析 选C 若a 0则ai 0是实数 2 复数 3i的虚部是 A 0B 3C iD 3i 解析 选B 3i 0 3 i 对应a bi a b R 的形式 实部a 0 虚部b 3 3 若x y R z x yi是虚数 则有 A x 0 y RB x 0 y RC x R y 0D x R y 0 解析 选D z x yi是虚数 只需y 0即可 4 设i为虚数单位 若关于x的方程x2 2 i x 1 mi 0 m R 有一实根为n 则m 解析 关于x的方程x2 2 i x 1 mi 0 m R 有一实根为n 可得n2 2 i n 1 mi 0 所以所以m n 1 答案 1 类型一复数的概念 典例1 1 2017 成都高二检测 已知复数z a 1 2 b i的实部和虚部分别是2和1 则实数a b的值分别是 2 已知log2 x2 3x 2 ilog2 x2 2x 1 1 则实数x的取值集合为 解题指南 1 根据实部 虚部的值列方程求解即可 2 由复数的概念知任意两个虚数是不能比较大小的 只有两个实数才能比较大小 因此一经出现与复数有关的不等式 不等式的两边的数必定是实数 本题中不等式右边是实数1 因此左边必定为实数 即log2 x2 2x 1 0 从而不等式为log2 x2 3x 2 1 解析 1 由题意得 a 1 2 2 b 1 所以a 3 b 3 答案 3 3 2 由题意解得x 2 所以实数x的取值集合为 2 答案 2 方法总结 判断与复数有关的命题是否正确的策略 1 复数的代数形式 若z a bi 只有当a b R时 a才是z的实部 b才是z的虚部 且注意虚部不是bi 而是b 2 不要将复数与虚数的概念混淆 实数也是复数 实数和虚数是复数的两大构成部分 3 举反例 判断一个命题为假命题 只要举一个反例即可 所以解答这类题时 可按照 先特殊 后一般 先否定 后肯定 的方法进行解答 巩固训练 判断下列命题的真假 1 复数a bi不是实数 2 若复数z 3 bi 0 b R 则b 0 解析 1 假命题 因为当a R且b 0时 a bi是实数 2 真命题 只有实数才可以比较大小 既然有3 bi 0 则说明z 3 bi为实数 故b 0 补偿训练 设a b R i是虚数单位 则 ab 0 是 复数a bi为纯虚数 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析 选B 若复数a bi为纯虚数 则a 0且b 0 故ab 0 而由ab 0不一定能得到复数a bi是纯虚数 故 ab 0 是 复数a bi为纯虚数 的必要不充分条件 类型二复数的分类 典例2 设 1 若z是虚数 求m的取值范围 2 若z是纯虚数 求m的值 解题指南 1 先根据虚数的概念 由z是虚数得其虚部不为0 再根据对数的性质及z是虚数得到m的不等式组 解不等式组求出m的范围 2 因z是纯虚数 由其虚部不为0 实部为0得到m的不等式组 并求出m的值 解析 1 因为z是虚数 故其虚部log2 5 m 0 m应满足的条件是解得1 m 5 且m 4 2 因为z是纯虚数 故其实部 m 1 0 虚部log2 5 m 0 m应满足的条件是解得m 2 延伸探究 本例条件不变 当m为何值时 z为实数 解析 要使z为实数 故其虚部log2 5 m 0 m应满足的条件是解得m 4 方法总结 1 解决复数分类问题的方法与步骤 1 化标准式 解题时一定要先看复数是否为a bi a b R 的形式 以确定实部和虚部 2 定条件 复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题 列出实部和虚部满足的方程 不等式 组即可 3 下结论 设所给复数为z a bi a b R z为实数 b 0 z为虚数 b 0 z为纯虚数 a 0且b 0 2 复数分类的应用 1 参数自身 判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数 虚数 纯虚数 首先要保证参数值使表达式有意义 其次对参数值的取舍 是取 并 还是 交 非常关键 解答后进行验算是很必要的 2 整体与局部 对于复数z a bi a b R 既要从整体的角度去认识它 把复数z看成一个整体 又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它 这是解复数问题的重要思路之一 巩固训练 实数k为何值时 复数z 1 i k2 3 5i k 2 2 3i 分别是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 4 零 解析 由z 1 i k2 3 5i k 2 2 3i k2 3k 4 k2 5k 6 i 1 当k2 5k 6 0时 z R 即k 6或k 1 2 当k2 5k 6 0时 z是虚数 即k 6且k 1 3 当时 z是纯虚数 解得k 4 4 当时 z 0 解得k 1 类型三复数的相等 典例3 1 设复数z1 x y x 3 i z2 3x 2y yi 若z1 z2 实数x y 2 已知关于x的方程x2 1 2i x 3m i 0有实数根 求实数m的值及方程的实数根 解题指南 1 根据实部与实部相等 虚部与虚部相等 列方程组求解 2 设出方程的实数解 代入原式整理为a bi 0 a b R 的形式解决 解析 1 由复数相等的充要条件得解得答案 96 2 设a是原方程的实数根 则a2 1 2i a 3m i 0 即 a2 a 3m 2a 1 i 0 0i 所以a2 a 3m 0且2a 1 0 所以a 且 3m 0 所以m 所以m 方程的实数根为x 延伸探究 1 若将本例 2 中的方程改为 x2 mx 2xi 1 mi如何求解 解析 设方程的实数根为x0 代入方程 由复数相等的定义 得解得或因此 当m 2时 原方程的实数根为x 1 当m 2时 原方程的实数根为x 1 2 若将本例 2 中的方程改为3x2 x 1 10 x 2x2 i 如何求解 解析 设方程的实数根为x0 则原方程可变为 x0 1 10 x0 2 i 由复数相等的定义 得 解得或因此 当m 11时 原方程的实数根为x 2 当m 时 原方程的实数根为x 方法总结 复数相等问题的解题技巧 1 必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等 虚部与虚部相等列方程组求解 2 根据复数相等的条件 将复数问题转化为实数问题 为应用方程思想提供了条件 同时这也是复数问题实数化思想的体现 3 如果两个复数都是实数 可以比较大小 否则是不能比较大小的 补偿训练 1 实数x y满足 1 i x 1 i y 2 则xy的值是 A 1B 2C 2D 1 解析 选A 若实数x y满足式子 1 i x 1 i y 2 则式