高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1抛物线及其标准方程课件北师大版选修1_1.ppt

第二章 2抛物线 2 1抛物线及其标准方程 学习目标1 掌握抛物线的定义及焦点 准线的概念 2 掌握抛物线的标准方程及其推导过程 3 明确抛物线标准方程中p的几何意义 能解决简单的求抛物线标准方程问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一抛物线的定义 思考1 如图 在黑板上画一条直线EF 然后取一个三角板 将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上 并将拉链下边一半的一端固定在C点 将三角板的另一条直角边贴在直线EF上 在拉链D处放置一支粉笔 上下拖动三角板 粉笔会画出一条曲线 这是一条什么曲线 由画图过程你能给出此曲线的定义吗 答案 平面内与一个定点F和一条定直线l 定点不在定直线上 距离相等的点的轨迹叫作抛物线 定点F叫作抛物线的焦点 定直线l叫作抛物线的准线 思考2 抛物线的定义中 l能经过点F吗 为什么 不能 若l经过点F 满足条件的点的轨迹不是抛物线 而是过点F且垂直于l的一条直线 答案 梳理 1 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l l不过F 的距离的点的集合叫作抛物线 2 焦点 3 准线 相等 点F 直线l 知识点二抛物线的标准方程 思考1 抛物线方程中p有何意义 抛物线的开口方向由什么决定 p是抛物线的焦点到准线的距离 抛物线的方程中一次项决定开口方向 答案 思考2 抛物线标准方程的特点 1 原点在抛物线上 2 对称轴为坐标轴 3 p为大于0的常数 其几何意义表示焦点到准线的距离 4 准线与对称轴垂直 垂足与焦点关于原点对称 5 焦点 准线到原点的距离都等于 答案 思考3 已知抛物线的标准方程 怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向 一次项变量为x 或y 则焦点在x轴 或y轴 上 若系数为正 则焦点在正半轴上 系数为负 则焦点在负半轴上 焦点确定 开口方向也随之确定 答案 梳理 抛物线的标准方程有四种类型 题型探究 类型一抛物线定义的解读 A 圆B 椭圆C 线段D 抛物线 答案 解析 它表示点M x y 与点F 3 1 的距离等于点M到直线x y 3 0的距离 且点F 3 1 不在直线上 根据抛物线的定义 知此方程表示的曲线是抛物线 根据式子的几何意义 利用抛物线的定义 可确定点的轨迹 注意定义中 点F不在直线l上 这个条件 反思与感悟 跟踪训练1若动圆与圆 x 2 2 y2 1相外切 又与直线x 1 0相切 则动圆圆心的轨迹是 由题意 动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x 1 0的距离大1 故动圆圆心的轨迹是以 2 0 为焦点 x 2为准线的抛物线 其方程为y2 8x 答案 解析 抛物线 类型二抛物线的标准方程及求解 命题角度1抛物线的焦点坐标或准线方程的求解例2已知抛物线的方程如下 求其焦点坐标和准线方程 1 y2 6x 解答 由方程y2 6x 知抛物线开口向左 2 3x2 5y 0 解答 3 y 4x2 解答 4 y ax2 a 0 解答 引申探究1 将例2 4 的方程改为y2 ax a 0 结果如何 答案 2 将例2 4 的方程改为x2 ay a 0 结果如何 答案 如果已知抛物线的标准方程 求它的焦点坐标 准线方程时 首先要判断抛物线的对称轴和开口方向 一次项的变量若为x 或y 则x轴 或y轴 是抛物线的对称轴 一次项系数的符号决定开口方向 反思与感悟 跟踪训练2已知抛物线y2 2px p 0 的准线与曲线x2 y2 6x 7 0相切 则p为 答案 解析 曲线x2 y2 6x 7 0 即 x 3 2 y2 16 它表示圆心为 3 0 半径为4的圆 解得p 2 故选A 命题角度2求抛物线的标准方程例3求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 过点 3 2 解答 当抛物线的焦点在x轴上且过点 3 2 时 可设抛物线方程为y2 2px p 0 把 3 2 代入得22 2p 3 当抛物线的焦点在y轴上且过点 3 2 时 可设抛物线方程为x2 2py p 0 把 3 2 代入得 3 2 2p 2 2 焦点在直线x 2y 4 0上 解答 直线x 2y 4 0与x轴的交点为 4 0 与y轴的交点为 0 2 故抛物线的焦点为 4 0 或 0 2 当抛物线的焦点为 4 0 时 设抛物线方程为y2 2px p 0 当抛物线的焦点为 0 2 时 设抛物线方程为x2 2py p 0 抛物线方程为y2 16x 抛物线方程为x2 8y 综上 所求抛物线方程为y2 16x或x2 8y 3 抛物线的焦点F在x轴上 直线y 3与抛物线相交于点A AF 5 解答 设所求焦点F在x轴上的抛物线的标准方程为y2 2px p 0 A m 3 点A在抛物线上 3 2 2pm 从而可得p 1或p 9 所求抛物线的标准方程为y2 2x或y2 18x 抛物线标准方程的求法 1 定义法 建立适当的坐标系 利用抛物线的定义列出动点满足的条件 列出方程 进行化简 根据定义求出p 最后写出标准方程 2 待定系数法 由于标准方程有四种形式 因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上 进而确定方程的形式 然后再利用已知条件确定p的值 反思与感悟 跟踪训练3根据下列条件 求抛物线的标准方程 1 焦点为 2 0 解答 焦点在x轴的负半轴上 所以抛物线的方程是y2 8x p 4 抛物线的方程有四种形式 y2 8x y2 8x x2 8y x2 8y 2 焦点到准线的距离是4 解答 3 过点 1 2 解答 方法一点 1 2 在第一象限 要分两种情形讨论 当抛物线的焦点在x轴上时 设抛物线的方程为y2 2px p 0 则22 2p 1 解得p 2 抛物线方程为y2 4x 当抛物线的焦点在y轴上时 设抛物线的方程为x2 2py p 0 方法二设所求抛物线的标准方程为y2 mx或x2 ny 类型三抛物线在实际生活中的应用 例4河上有一抛物线形拱桥 当水面距拱桥顶5m时 水面宽为8m 一小船宽4m 高2m 载货后船露出水面上的部分高0 75m 问 水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时 小船开始不能通航 解答 如图 以拱桥的拱顶为原点 以过拱顶且平行于水面的直线为x轴 建立平面直角坐标系 设抛物线方程为x2 2py p 0 当船面两侧和抛物线接触时 船不能通航 又知船面露出水面上的部分高为0 75m 所以h yA 0 75 2 m 设此时船面宽 所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时 小船开始不能通航 为AA 则A 2 yA 反思与感悟 涉及拱桥 隧道的问题 通常需建立适当的平面直角坐标系 利用抛物线的标准方程进行求解 跟踪训练4某抛物线形拱桥跨度是20米 拱桥高度是4米 在建桥时 每4米需用一根支柱支撑 求其中最长支柱的长 解答 如图 建立平面直角坐标系 设抛物线方程为x2 2py p 0 依题意知 点P 10 4 在抛物线上 所以100 2p 4 2p 25 即抛物线方程为x2 25y 因为每4米需用一根支柱支撑 所以支柱横坐标分别为 6 2 2 6 由图知 AB是最长的支柱之一 设点B的坐标为 2 yB 即最长支柱的长为3 84米 当堂训练 抛物线方程y2 x 0可化为y2 x 1 抛物线y2 x 0的开口A 向上B 向下C 向左D 向右 2 3 4 5 1 答案 解析 2 抛物线y2 8x的焦点坐标和准线方程分别为A 1 0 x 1B 2 0 x 2C 3 0 x 3D 4 0 x 4 抛物线y2 8x的焦点坐标为 2 0 准线方程为x 2 答案 解析 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 3 已知抛物线的焦点到准线的距离为3 则抛物线方程可以为A y2 xB y2 2xC x2 3yD x2 6y 由题意知p 3 故选D 答案 解析 4 抛物线x2 8y上的点M到x轴的距离为6 则点M与抛物线的焦点间的距离为 2 3 4 5 1 答案 解析 8 5 分别求满足下列条件