二重积分习题.ppt

习题课 二重积分 知识要点 解题技巧 典型例题 2 其中 一 二重积分的概念与性质 是各小闭区域的直径中的最大值 几何意义 二重积分I表示以D为底 柱体的体积 z f x y 为曲顶 侧面是 一 二重积分的定义 几何意义与物理意义 定义 1 平面上有界闭区域D上二元有界函数 z f x y 的二重积分 2 当连续函数 以D的边界为准线 母线平行于z轴的柱面的曲顶 一般情形 知识要点 3 物理意义 3 xOy平面上方的曲顶柱体体积 减xOy平面下方的曲顶柱体体积 若平面薄片占有平面内有界闭区域D 则它的质量M为 它的面 密度为连续函数 4 性质1 线性运算性质 为常数 则 重积分与定积分有类似的性质 性质2 将区域D分为两个子域 对积分区域的可加性质 二 二重积分的性质 5 以1为高的 性质3 几何应用 若为D的面积 既可看成是以D为底 柱体体积 又可看成是D的面积 特殊地 性质4 比较性质 则 保序性 6 几何意义 以m为高和以M为高的 性质5 估值性质 为D的面积 则 则曲顶 柱体的体积介于以D为底 两个平顶柱体体积之间 7 性质6 二重积分中值定理 体体积等于以D为底 几何意义 域D上连续 为D的面积 则在D上至少存在一点 使得 则曲顶柱 为高的平顶柱体体积 设f x y 在闭区 8 1 设f x y 在有界闭区域D上连续 若D关于 则 x轴对称 f x y 对y为奇函数 即 f x y 对y为偶函数 即 则 其中 三 对称区域上奇偶函数的积分性质 9 2 设f x y 在有界闭区域D上连续 若D关于 则 y轴对称 f x y 对x为奇函数 即 f x y 对x为偶函数 即 则 其中 10 3 设f x y 在有界闭区域D上连续 4 若将D分成两部分 11 其中函数 在区间 a b 上连续 二 在直角坐标系中化二重积分为 累次积分 1 设f x y 在平面有界闭区域D上连续 先对y后对x的二次积分 12 其中函数 在区间 c d 上连续 2 设f x y 在平面有界闭区域D上连续 先对x后对y的二次积分 13 三 在极坐标系中化二重积分为累次积分 1 设f x y 在平面有界平面闭区域D上连续 其中函数 14 2 设f x y 在平面有界平面闭区域D上连续 其中函数 15 极坐标系下区域的面积 3 设f x y 在平面有界平面闭区域D上连续 其中函数 16 再确定交换积分次 1 交换积分次序 先依给定的积分次序写出积分域D的 不等式 并画D的草图 序后的积分限 2 如被积函数为 圆环域时 或积分域为 圆域 扇形域 则用极坐标计算 解题技巧 17 3 注意利用对称性质 数中的绝对值符号 以便简化计算 4 被积函数中含有绝对值符号时 应 将积分域分割成几个子域 使被积函数在 每个子域中保持同一符号 以消除被积函 18 解 例 计算积分 交换积分次序 原式 典型例题 1 交换积分次序 19 计算 解 积分域是圆 故关于x y轴 故将被积函数分项积分 而 又 所以 原式 对称 例 直线 2 利用对称性 20 证 所围立体的体积等于 是连续 的正值函数 所求立体在xOy面上的投影区域为 有 例 证明 21 解 原式 用极坐标 对称性 积分区域关于x轴对称 例 3 坐标系的选择 22 若函数f x y 在矩形区域D 解 上连续 且 求f x y 设 两边积分 得 例 23 计算二重积分 D2 例 将D分成D1与D2两部分 D1 其中 解 由于 直角坐标 3 被积函数带绝对值 最大 小 值符号的积分 24 其中 因此 25 其中 选择适当的坐标计算 解 原式 例 26 其中 选择适当的坐标计算 解 原式 例 27 例 由被积函数的表达式及积分区域的情况 的公共部分的面积 解 无公共部分 28 例 无公共部分 29 解 例 交换二次积分的次序 并把它化为极坐标系下的 二次积分 这是无界区域上的二重积分 在极坐标下 D的边界线 故 30 某城市受地理限制呈直角三角形分布 解 试计算该市总的税收收入 这是一个二重积分的应用问题 临一条河 斜边 和12km 由于交通关系 城市发展不太平衡 这一点 可从税收状况反映出来 若以两直角边为坐标轴建立 直角坐标系 则位于x轴和y轴上的城市