高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的几何性质课件新人教B版选修1_1.ppt

第二章 圆锥曲线与方程 2 3 2抛物线的几何性质 学习目标 1 了解抛物线的范围 对称性 顶点 焦点 准线等几何性质 2 会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 类比椭圆 双曲线的几何性质 结合图象 说出抛物线y2 2px p 0 的范围 对称性 顶点 离心率 怎样用方程验证 答案 1 范围 x 0 y R 2 对称性 抛物线y2 2px p 0 关于x轴对称 3 顶点 抛物线y2 2px p 0 的顶点是坐标原点 4 离心率 抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比叫抛物线的离心率 用e表示 由定义可知e 1 预习导引 1 抛物线的几何性质 x 0 x 0 y 0 y 0 x1 x2 p 3 直线与抛物线的位置关系直线y kx b与抛物线y2 2px p 0 的交点个数决定于关于x的方程的解的个数 当k 0时 若 0 则直线与抛物线有个不同的公共点 当 0时 直线与抛物线有个公共点 当 0时 直线与抛物线公共点 当k 0时 直线与抛物线的对称轴 此时直线与抛物线有个公共点 直线斜率不存在时 依据图象判断公共点个数 k2x2 2 kb p x b2 0 一 没有 两 平行或重合 一 要点一抛物线的几何性质例1抛物线的顶点在原点 对称轴重合于椭圆9x2 4y2 36短轴所在的直线 抛物线焦点到顶点的距离为3 求抛物线的方程及抛物线的准线方程 抛物线的对称轴为x轴 设抛物线的方程为y2 2px或y2 2px p 0 抛物线的标准方程为y2 12x或y2 12x 其准线方程分别为x 3或x 3 规律方法 1 注意抛物线各元素间的关系 抛物线的焦点始终在对称轴上 抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点 抛物线的准线始终与对称轴垂直 抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称 2 解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中 通过定义的运用 实现两个距离之间的转化 简化解题过程 且抛物线的焦点在x轴正半轴上 要点二抛物线的焦点弦问题例2已知抛物线y2 6x 过点P 4 1 引一条弦P1P2使它恰好被点P平分 求这条弦所在直线的方程及 P1P2 解设弦两端点P1 x1 y1 P2 x2 y2 两式相减 得 y1 y2 y1 y2 6 x1 x2 直线的方程为y 1 3 x 4 即3x y 11 0 y1 y2 2 y1 y2 22 规律方法 1 解决抛物线的焦点弦问题时 要注意抛物线定义在其中的应用 通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题 从而可借助根与系数的关系进行求解 2 设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论 跟踪演练2已知直线l经过抛物线y2 6x的焦点F 且与抛物线相交于A B两点 1 若直线l的倾斜角为60 求 AB 的值 解因为直线l的倾斜角为60 若设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 5 AB 5 3 8 2 若 AB 9 求线段AB的中点M到准线的距离 解设A x1 y1 B x2 y2 由抛物线定义知 x1 x2 p x1 x2 3 9 所以x1 x2 6 于是线段AB的中点M的横坐标是3 要点三直线与抛物线的位置关系例3已知抛物线的方程为y2 4x 直线l过定点P 2 1 斜率为k k为何值时 直线l与抛物线y2 4x 只有一个公共点 有两个公共点 没有公共点 解由题意 设直线l的方程为y 1 k x 2 可得ky2 4y 4 2k 1 0 1 当k 0时 由方程 得y 1 2 当k 0时 方程 的判别式为 16 2k2 k 1 1 由 0 即2k2 k 1 0 2 由 0 得2k2 k 1 0 3 由 0 综上 我们可得 规律方法直线与抛物线交点的个数 等价于直线方程 抛物线方程联立得到的方程组解的个数 注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况 跟踪演练3如图 过抛物线y2 x上一点A 4 2 作倾斜角互补的两条直线AB AC交抛物线于B C两点 求证 直线BC的斜率是定值 证明设kAB k k 0 直线AB AC的倾斜角互补 kAC k k 0 AB的方程是y k x 4 2 消去y后 整理得k2x2 8k2 4k 1 x 16k2 16k 4 0 A 4 2 B xB yB 是上述方程组的解 直线BC的斜率为定值 1 2 3 4 1 以x轴为对称轴的抛物线的通径 过焦点且与x轴垂直的弦 长为8 若抛物线的顶点在坐标原点 则其方程为 A y2 8xB y2 8xC y2 8x或y2 8xD x2 8y或x2 8y解析设抛物线y2 2px或y2 2px p 0 p 4 C 2 若抛物线y2 x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离 则点P的坐标为 1 2 3 4 1 2 3 4 解析由题意知 点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离 因此点P在线段OF的垂直平分线上 答案B 1 2 3 4 1 2 3 4 解析因为y 4x2与y 4x 5不相交 设与y 4x 5平行的直线方程为y 4x m 设此直线与抛物线相切有 0 即 16 16m 0 m 1 1 2 3 4 答案C 1 2 3 4 4 经过抛物线y2 2x的焦点且平行于直线3x 2y 5 0的直线l的方程是 A 6x 4y 3 0B 3x 2y 3 0C 2x 3y 2 0D 2x 3y 1 0 1 2 3 4 解析设直线l的方程为3x 2y c 0 答案A 课堂小结1 讨论抛物线的几何性质 一定要利用抛物线的标准方程 利用几何性质 也可以根据待定系数法求抛物线的方程 2 直线与抛物线有一个交点 是直线与抛物线相切的必要不充分条件 3 直线与抛物线的相交弦问题共有