高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程课件新人教B版选修1_1.ppt

第二章 圆锥曲线与方程 2 2双曲线2 2 1双曲线及其标准方程 学习目标 1 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程的推导过程 2 掌握双曲线的标准方程 3 会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 取一条拉链 拉开它的一部分 在拉开的两边上各选择一点 分别固定在点F1 F2上 把笔尖放在点M处 拉开闭拢拉链 笔尖经过的点可画出一条曲线 思考曲线满足什么条件 答案如图 曲线上的点满足条件 MF1 MF2 常数 如果改变一下位置 使 MF2 MF1 常数 可得到另一条曲线 预习导引 1 双曲线的定义平面内与两个定点F1 F2的距离的等于常数 小于 F1F2 且不等于零 的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做双曲线的 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 差的绝对值 焦点 2 双曲线的标准方程 0 c 0 c a2 b2 要点一求双曲线的标准方程例1根据下列条件 求双曲线的标准方程 解方法一若焦点在x轴上 若焦点在y轴上 设双曲线的方程为 方法二设双曲线方程为mx2 ny2 1 mn 0 P Q两点在双曲线上 双曲线经过点 5 2 规律方法求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似 可以先根据其焦点位置设出标准方程 然后用待定系数法求出a b的值 若焦点位置不确定 可分焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解 此方法思路清晰 但过程复杂 注意到双曲线过两定点 可设其方程为mx2 ny2 1 mn 0 通过解方程组即可确定m n 避免了讨论 实为一种好方法 要点二双曲线定义的应用例2如图 若F1 F2是双曲线的两个焦点 1 若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16 求点M到另一个焦点的距离 1 由双曲线的定义得 MF1 MF2 2a 6 又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16 假设点M到另一个焦点的距离等于x 则 16 x 6 解得x 10或x 22 故点M到另一个焦点的距离为10或22 2 若P是双曲线左支上的点 且 PF1 PF2 32 试求 F1PF2的面积 解将 PF2 PF1 2a 6 两边平方得 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 36 PF1 2 PF2 2 36 2 PF1 PF2 36 2 32 100 又 F1F2 2c 10 在 F1PF2中 由余弦定理得 由 F1PF2是 PF1F2的内角 F1PF2 90 规律方法 1 求双曲线上一点到某一焦点的距离时 若已知该点的横 纵坐标 则根据两点间距离公式可求结果 若已知该点到另一焦点的距离 则根据 PF1 PF2 2a求解 注意对所求结果进行必要的验证 负数应该舍去 且所求距离应该不小于c a 2 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时 首先要注意定义中的条件 PF1 PF2 2a的应用 其次是要利用余弦定理 勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算 在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用 跟踪演练2已知双曲线的左 右焦点分别是F1 F2 若双曲线上一点P使得 F1PF2 60 求 F1PF2的面积 由定义和余弦定理得 PF1 PF2 6 F1F2 2 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos60 所以102 PF1 PF2 2 PF1 PF2 所以 PF1 PF2 64 解以AB边所在的直线为x轴 线段AB的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系如图所示 规律方法求解与双曲线有关的点的轨迹问题 常见的方法有两种 1 列出等量关系 化简得到方程 2 寻找几何关系 双曲线的定义 得出对应的方程 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意 1 双曲线的焦点所在的坐标轴 2 检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支 跟踪演练3如图所示 已知定圆F1 x 5 2 y2 1 定圆F2 x 5 2 y2 42 动圆M与定圆F1 F2都外切 求动圆圆心M的轨迹方程 解圆F1 x 5 2 y2 1 圆心F1 5 0 半径r1 1 圆F2 x 5 2 y2 42 圆心F2 5 0 半径r2 4 设动圆M的半径为R 则有 MF1 R 1 MF2 R 4 MF2 MF1 3 10 F1F2 点M的轨迹是以F1 F2为焦点的双曲线的左支 1 2 3 4 解析由题意知34 n2 n2 16 2n2 18 n2 9 n 3 B 2 若k 1 则关于x y的方程 1 k x2 y2 k2 1所表示的曲线是 A 焦点在x轴上的椭圆B 焦点在y轴上的椭圆C 焦点在y轴上的双曲线D 焦点在x轴上的双曲线 1 2 3 4 1 2 3 4 解析将已知方程化为标准形式 根据项的系数符号进行判断 k 1 k2 1 0 1 k 0 已知方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线 答案C 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 答案D 1 2 3 4 解析根据双曲线的定义可得 D 课堂小结1 双曲线定义中 PF1 PF2 2a 0b不一定成立 要注意与椭圆中a b c的区别 在椭圆中a2 b2 c2 在双曲