高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.2排序不等式学案新人教B版选修4_5.doc

22 排序不等式读教材填要点1顺序和、乱序和、反序和的概念设a1a2a3an，b1b2b3bn是两组实数，c1，c2，c3，cn为b1，b2，bn的任何一个排列，称a1b1a2b2anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bna2bn1anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称a1c1a2c2ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)2排序原理设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，则有a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn.等号成立a1a2an或b1b2bn.排序原理可简记作：反序和乱序和顺序和小问题大思维1排序不等式的本质含义是什么？提示：排序不等式的本质含义是：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列2已知两组数a1a2a3a4a5，b1b2b3b4b5，其中a12，a27，a38，a49，a512，b13，b24，b36，b410，b511，将bi(i1,2,3,4,5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5，则a1c1a2c2a5c5的最大值和最小值分别为何值？提示：由顺序和最大知最大值为：a1b1a2b2a3b3a4b4a5b5304，由反序和最小知最小值为：a1b5a2b4a3b3a4b2a5b1212.用排序不等式证明不等式(所证不等式中的字母大小顺序确定)例1已知a，b，c为正数，abc，求证：(1)；(2).思路点拨本题考查排序不等式的直接应用，解答本题需要分析式子结构，然后通过对比、联想公式，构造数组，利用公式求解精解详析(1)ab0，于是，又c0，0.从而.同理，bc0，于是，a0，0，于是得.从而.(2)由(1)，于是由顺序和乱序和得，.利用排序不等式证明不等式的关键是构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组，由于本题已知abc，所以可直接利用已知构造两个数组1设a，b，c为正数，求证：a10b10c10.证明：不妨设abc0，则a12b12c12，0，由顺序和乱序和，得.又a11b11c11，由乱序和反序和得：a10b10c10，由两式得：a10b10c10.用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假设)例2设x0，求证：1xx2xn(2n1)xn.思路点拨本题考查排序不等式的应用解答本题需要注意：题目中只给出了x0，但对于x1，x1没有明确，因此需要进行分类讨论精解详析(1)当x1时，1xx2xn，由排序原理：顺序和反序和，得11xxx2x2xnxn1xnxxn1xn1xxn1，即1x2x4x2n(n1)xn.又因为x，x2，xn,1为序列1，x，x2，xn的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和反序和，得1xxx2xn1xnxn11xnxxn1xn1xxn1，得xx3x2n1xn(n1)xn.将和相加得1xx2x2n(2n1)xn.(2)当0xxx2xn，但仍然成立，于是也成立综合(1)(2)，证毕在没有给定字母大小的情况下，要使用排序不等式，必须限定字母的大小顺序，而只有具有对称性的字母才可以直接限定字母的大小顺序，否则要根据具体情况分类讨论2设a1，a2，an是1,2，n的一个排列，求证：.证明：设b1，b2，bn1是a1，a2，an1的一个排列，且b1b2bn1；c1，c2，cn1是a2，a3，an的一个排列，且c1c2且b11，b22，bn1n1，c12，c23，cn1n.利用排序不等式，有.原不等式成立对应学生用书P32 一、选择题1锐角三角形中，设P，Qacos Cbcos Bccos A，则P、Q的关系为()APQBPQCPQ D不能确定解析：不妨设ABC，则abc，cos Acos Bcos C，则由排序不等式有Qacos Cbcos Bccos Aacos Bbcos Cccos AR(2sin Acos B2sin Bcos C2sin Ccos A)Rsin(AB)sin(BC)sin(AC)R(sin Csin Asin B)P.答案：C2已知a，b，c为正数，P，Qabc，则P，Q的大小关系是()APQ BPQCP0，则0，00，abc0，于是abc，即PQ.答案：B3设a1，a2，a3为正数，E，Fa1a2a3，则E，F的关系是()AEF解析：不妨设a1a2a30，于是0，0，所以ABC0.所以A3ABC.由题意知3n261，所以n21.又因为ABC3n164，所以A4.答案：C二、填空题5若a，b，c均是正实数，则_abc.解析：不妨设abc0，则bccaab，.abc.答案：6设正实数a1，a2，an的任一排列为a1，a2，an，则的最小值为_解析：不妨设00，则a2b2c2，.由排序不等式，可得a2b2c2a2b2c2，a2b2c2a2b2c2.由()2，可得abc.又因为abc0，所以a3b3c3，.由排序不等式，得a3b3c3a3b3c3.a3b3c3a3b3c3.由()2，可得.综上可知原式成立10设a，b，c均为正实数，求证：.证明：不妨设abc0.由不等式的单调性，知，而.由不等式的性质，知a5b5c5.根据排序原理，知.又由不等式的性质，知a2b2c2，.由排序原理，得.由不等式的传递性，知.原不等式成立11设a，b，c为某一个三角形的三条边，abc，求证：(1)c(abc)b(cab)a(bca)；(2)a2(bca)b2(cab)c2(abc)3abc.证明：(1)用比较法：c(abc)b(cab)acbcc2bcabb2b2c2acab(bc)(bc)a(bc)(bca)(bc)因为bc，bca0，于是c(abc)b(cab)0，即c(abc)b(cab)同理可证b(cab)a(bca)综合，证毕(2)由题设及(1)知abc，a(bca)b(cab)c(abc)，于是由排序不等式：反序和乱序和，得a2(bca)b2(cab)c2(abc)ab(bca)bc(cab)ca(abc)3a