数学北师大版九年级下册1.3三角函数的计算-备课素材.doc

第一章直角三角形的边角关系3三角函数的计算素材一 新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣情景导入如图131，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200 m已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为16，那么缆车垂直上升的距离是多少？图131说明与建议 说明：用贴近学生生活的问题情境引入课题，学生参与活动的热情较高；为了计算缆车垂直上升的距离，需要求出16角的三角函数值，由此引出一般锐角的三角函数的计算问题建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验复习导入直角三角形的边角关系问题：(1)直角三角形三边的关系：勾股定理a2b2c2.(2)直角三角形两锐角的关系：两锐角互余AB90.(3)互余两角之间的三角函数关系：sinAcosB.(4)同角之间的三角函数关系：sin2Acos2A1.(5)特殊角30，45，60的三角函数值说明与建议 说明：学生通过回顾复习上节课的内容，能更好地了解和巩固直角三角形的边角关系，并由特殊角的三角函数值自然地过渡到一般锐角的三角函数值的确定和计算建议：可以让学生积极回顾，互相补充，为本节课的学习做好铺垫素材二 考情考向分析命题角度1 利用一般角的三角函数值计算当题目给出了一般角的三角函数值的参考数据时，我们就可以利用三角函数值进行计算这里涉及了仰角、俯角的问题：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角关键是根据仰角、俯角构造直角三角形，利用三角函数求解例株洲中考 孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20(不考虑身高因素)，则此塔高约为_182_米(结果保留整数，参考数据：sin200.3420，sin700.9397，tan200.3640，tan702.7475)图132解析 画出示意图，如图132所示在RtABC中，AB500米，BAC20.tan20，BCABtan205000.3640182(米)命题角度2 利用一般角的三角函数值表示线段长当题目中没有给出一般角的三角函数值时，可以用一般角的三角函数来表示线段长解决这类问题的关键是做辅助线构造直角三角形例杭州中考 如图133，在RtABO中，斜边AB1.若OCBA，AOC36，则(C)图133A点B到AO的距离为sin54B点B到AO的距离为tan36C点A到OC的距离为sin36sin54D点A到OC的距离为cos36sin54命题角度3 构造图形计算一般角的三角函数值当要求一般角，如15，22.5，67.5等角的三角函数值时，可以通过构造直角三角形，利用三角形内角与外角的关系等，把一般角转化成特殊角，最后利用边的数量关系求出一般角的三角函数值图134例小明在学习“锐角三角函数”时发现，将如图134所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，这样就可以求出67.5角的正切值是(B)A.1 B.1 C2.5 D.素材三 教材习题答案P14随堂练习1用计算器求下列各式的值：(1)sin56；(2)cos20.5；(3)tan445959；(4)sin15cos61tan76.解：(1)0.8290；(2)0.9367；(3)1.0000；(4)4.7544.2已知sin0.829 04，求锐角的大小解：56.3一个人由山底爬到山顶，需先爬坡度为40的山坡300 m，再爬坡度为30的山坡100 m，求山高(结果精确到0.1 m)解：由题意可得：300sin40100sin30242.8(m)答：山高约为242.8 m.4一梯子斜靠在一面墙上，已知梯长4 m，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5 m，求梯子与地面所成的锐角解：设梯子与地面所成的锐角为，则cos，解得51.32.答：梯子与地面所成的锐角约为51.32.P14习题1.41用计算器求下列各式的值：(1)tan32；(2)cos24.53；(3)sin6211； (4)tan393939.解：(1)0.6249；(2)0.9097；(3)0.8844；(4)0.8291. 2用计算器求下列各式的值：(1)sin256cos225；(2)sin62.62sin37cos20.解：(1)1.5087；(2)0.2432.3根据下列条件求锐角的大小：(1)tan2.9888；(2)sin0.3957；(3)cos0.7850；(4)tan0.8972.解：(1)71.5；(2)23.3；(3)38.3；(4)41.9.4举一个生活中应用三角函数解决问题的例子解：略5如图，物华大厦离小伟家60 m，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是45，而大厦底部的俯角是37，求该大厦的高度(结果精确到0.1 m)解：由题意可得：60tan4560tan37105.2(m)答：该大厦的高度约为105.2 m.6一辆汽车沿着一山坡行驶了1000 m，其铅直高度上升了50 m求山坡与水平面所成锐角的大小解：设山坡与水平面所成的锐角为，则sin，解得2.87.答：山坡与水平面所成锐角的度数约为2.87.7在120 000的平面地图上，量得甲、乙两地的直线距离为1.5 cm，两地的实际高度相差27 m，求甲、乙两地间的坡角解：约为5.16.8图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，每个三角形都以点O为一顶点(1)求A0OA1，A1OA2，A2OA3的大小；(2)已知An1OAn是第一个小于20的角，求n的值解：(1)由勾股定理得OA1，OA2，OA32，OA4，OA5，OA6，tanA0OA11，tanA1OA2，tanA2OA3，A0OA145，A1OA235.26，A2OA330.(2)由(1)得tanA3OA4，tanA4OA5，tanA5OA6，tanA6OA7，tanA7OA8.A3OA426.57，A4OA524.09，A5OA622.21，A6OA720.70，A7OA819.47.可知，A7OA820，n的值为8.素材四 图书增值练习专题 三角函数与其他数学知识的综合应用1（2012，德州）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出右面图形，其中ABBE，EFBE，AF交BE于D，C在BD上有四位同学分别测量出以下四组数据：BC，ACB； CD，ACB，ADB；EF，DE，BD；DE，DC，BC能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）.A1组B2组C3组D4组2(2012，衡阳)如图，菱形ABCD的周长为20 cm，且tanABD=，则菱形ABCD的面积为 cm23如图，一幢楼房前有一棵竹子，楼底到竹子的距离BC为2米，阵风吹过，竹子的顶端恰好到达楼顶，此时测得竹子与水平地面的夹角为75,求这棵竹子比楼房高出多少米？（精确到0.1米）（参考数据：cos750.259, tan753.732）4某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道若点 E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sinBAF=，BF=3米，BC=1米，CD=6米求：(1) D的度数；(2)线段AE的长状元笔记：【知识要点】三角函数的有关计算.【温馨提示】在告诉有关角和边时，可考虑利用三角函数的定义此类问题可以从以下三个角度出发来解决问题：1找出可以求解的直角三角形或构造出可以求解的直角三角形作为解题的突破口；2弄清题意，明确目标，将实际问题转化为解直角三角形问题；3当找不到可解的直角三角形时，要仔细分析已知条件和未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程求解.参考答案F1C23解：根据题意可知：竹子长是AB,楼高是AC，楼与地面垂直，在RtABC中，已知BC=2(米），ABC=75.因为tanABC=，所以AC=tanABCBC=2tan7523.7327.5(米).因为cosABC=，所以AB=(米)，所以这棵竹子比楼房高出0.2米.4解：（1）四边形BCEF是矩形，BFE=CEF=90，CE=BF，BC=FE，BFA=CED=90. CE=BF，BF=3米，CE=3米. CD=6米，CED=90，D=30.（2）sinBAF=， . BF=3米，AB=米，AF=(米)，AE=米.素材五 数学素养提升三角函数中的两个关系式一、公式的发现如右图，在RtABC中，C90，由三角函数的定义可得：，则有：（1）由勾股定理，得