概率论 3 4 章PPT参考课件.ppt

Ch3 1 Ch3 2 第三章 多维随机变量及其分布 Ch3 3 在实际问题中 试验结果有时需要同 时用两个或两个以上的r v 来描述 例如用温度和风力来描述天气情况 通过对含碳 含硫 含磷量的测定来研究 需考虑多维r v 及其取值规律 多维分布 钢的成分 要研究这些r v 之间的联系 就 Ch3 4 3 1二维随机变量及其分布 定义设 为随机试验的样本空间 则称 X Y 为二维r v 或二维随机向量 3 1 Ch3 5 二维随机变量的联合分布函数 定义设 X Y 为二维r v 对任何一对 定义了一个二元 实函数F x y 称为二维r v X Y 的分布函数 即 记为 的概率 实数 x y 事件 Ch3 6 分布函数的几何意义 如果用平面上的点 x y 表示二维r v X Y 的一组可能的取值 则F x y 表示 X Y 的取值落入图所示角形区域的概率 x y Ch3 7 联合分布函数的性质 x y F性质 Ch3 8 Ch3 9 固定x 对任意的y1 y2 固定y 对任意的x1 x2 F x0 y0 F x0 0 y0 F x0 y0 F x0 y0 0 F x y1 F x y2 F x1 y F x2 y Ch3 10 F b d F b c F a d F a c 0 事实上 F b c F a d F a c F b d Ch3 11 例1 设 讨论F x y 能否成为二维r v 的分布函数 解 x y 1 故F x y 不能作为某二维r v 的分布函数 例1 Ch3 12 注意对于二维r v a c a c Ch3 13 二维随机变量的边缘分布函数 Ch3 14 例2设随机变量 X Y 的联合分布函数为 其中A B C为常数 确定A B C 求X和Y的边缘分布函数 求P X 2 例2 Ch3 15 解 1 2 Ch3 16 3 可以将二维r v 及其边缘分布函数的概念推广到n维r v 及其联合分布函数与边缘分布函数 Ch3 17 定义若二维r v X Y 所有可能的取值为有限多个或无穷可列多个 则称 X Y 为二维离散型r v 要描述二维离散型r v 的概率特性及其与每个r v 之间的关系常用其联合概率分布和边缘概率分布 离散 Ch3 18 联合分布律 设 X Y 的所有可能的取值为 则称 为二维r v X Y 的联合概率分布也简称概率分布或分布律 显然 Ch3 19 二维离散r v 的联合分布函数 已知联合分布律可以求出其联合分布函数 反之 由分布函数也可求出其联合分布律 Ch3 20 二维离散r v 的边缘分布律 由联合分布可确定边缘分布 其逆不真 Ch3 21 x1xi X Y 的联合分布律 Ch3 22 1 x1xi 联合分布律 及边缘分布律 Ch3 23 的求法 利用古典概型直接求 利用乘法公式 Ch3 24 例3某校新选出的学生会6名女委员 文 理 工科各占1 6 1 3 1 2 现从中随机指定2人为学生会主席候选人 令X Y分别为候选人中来自文 理科的人数 解X与Y的可能取值分别为0 1与0 1 2 求 X Y 的联合分布律和边缘分布律 例3 由乘法公式 Ch3 25 或由古典概型 相仿有 Ch3 26 故联合分布律与边缘分布律为 01 012 3 156 151 15 3 152 150 pi p j 1 3 2 3 1 6 158 151 15 Ch3 27 例4二元两点分布 p j pi 10 10 pq pq 1 p q 1 0 p 1 例4 Ch3 28 作业P131习题三 123 习题 Ch3 29 二维连续r v 及其概率特性 定义设二维r v X Y 的分布函数为F x y 若存在非负可积函数f x y 使得对于任意实数x y有 则称 X Y 为二维连续型r v f x y 为 X Y 的联合概率密度函数简称概率密度函数简记p d f 连续 Ch3 30 联合密度与联合分布函数的性质 除d f 的一般性质外还有下述性质 从而有 f性质 Ch3 31 P X a Y 0 P X Y a 0 若G是平面上的区域 则 Ch3 32 边缘分布函数与边缘d f 与离散型相同 已知联合分布可以求得边缘分布 反之则不能唯一确定 Ch3 33 例5设r v X Y 的联合d f 为 其中k为常数 求 常数k P X Y 1 P X 0 5 联合分布函数F x y 边缘d f 与边缘分布函数 例5 Ch3 34 解令 1 Ch3 35 2 0 5 Ch3 36 的分段区域 Ch3 37 当0 x 1 0 y x时 3 当x 0或y 0时 F x y 0 当0 x 1 x y 1时 Ch3 38 当0 x 1 y 1时 Ch3 39 当x 1 0 y 1时 当x 1 y 1时 Ch3 40 Ch3 41 4 Ch3 42 Ch3 43 也可直接由联合d f 求边缘d f 再积分求边缘分布函数 例如 Ch3 44 作业P 132习题三 671011 习题 Ch3 45 常用连续型二维随机变量分布 G是平面上的有界区域 面积为A 若r v X Y 的联合d f 为 则称 X Y 服从区域G上的均匀分布 常见连续分布 Ch3 46 则 G1 G 设G1的面积为A1 若 X Y 服从区域G上的均匀分布 边平行于坐标轴的矩形域上的均匀分布的边缘分布仍为均匀分布 Ch3 47 例6设 X Y G上的均匀分布 f x y P Y X2 X Y 在平面上的落点到y轴距离小于0 3的概率 例6 求 Ch3 48 解 1 2 Ch3 49 3 Ch3 50 若r v X Y 的联合为 则称 X Y 服从参数为 1 12 2 22 的正态分布 记作 X Y N 1 12 2 22 其中 1 2 0 1 1 二维正态分布 Ch3 51 Clear f x y f x y Exp x 2 y 2 2 2Pi Plot3D f x y x 3 3 y 3 3 ViewPoint 2 869 1 790 0 110 AspectRatio 0 6 PlotPoints 30 Ch3 52 二维正态分布图 Ch3 53 Ch3 54 二维正态分布剖面图 Ch3 55 正态分布的边缘分布仍为正态分布 Ch3 56 令 B为正定矩阵 再令则二维正态联合d f 为 推广 Ch3 57 本节结束 Ch3 58 每周一题7 第7周 问题 某中外合资公司准备通过考试招工200名 其中180名正式工 20名临时工 报考人数为1684名 考试满分为300分 阅卷后人事部门公布如下信息 平均成绩是178分 270以上的高分有32名 考生小王的成绩是233分 他能否被录取 如被录取能否是正式工 3 2二维r v 的条件分布 设二维离散型r v X Y 的分布 若 则称 为在X xi的条件下 Y的条件分布律 3 2离散条件分布 1 若 则称 为在Y yj的条件下X的条件分布律 类似乘法公式 1 类似于全概率公式 1 例1把三个球等可能地放入编号为1 2 3的三个盒子中 每盒可容球数无限 记X为落入1号盒的球数 Y为落入2号盒的球数 求 例1 1 在Y 0的条件下 X的分布律 2 在X 2的条件下 Y的分布律 1 解先求联合分布 其联合分布与边缘分布如下表所示 1 0123 0123 0 pi 1 p j 1 X 0123 将表中第一行数据代入得条件分布 1 1 Y 01 2 当X 2时 Y只可能取0与1 将表中第三列数据代入下式 得Y的条件分布 1 解 例2 例2已知一射手每次击中目标概率为p 0 p 1 射击进行到击中两次为止 令X表示首次击中目标所需射击次数 Y表示总共射击次数 求的联合分布律 条件分布律和边缘分布律 由题设知 故X与Y的边缘分布律分别为 1 的联合分布律为 1 律为 当时 X的条件分布 1 律为 当时 Y的条件分布 1 连续条件分布 当X连续时 条件分布不能用 来定义 因为 来定义 而应该用 1 设 1 1 若f x y 在点 x y 连续 fY y 在点y处连续且fY y 0 则称 为Y y时 X的条件分布函数 记作 定义 1 类似地 称 为X x的条件下Y的条件分布函数 为X x的条件下Y的条件p d f 称 为Y y的条件下X的条件p d f 称 1 注意 y是常数 对每一fY y 0的y处 只要 相仿论述 仅是x的函数 符合定义的条件 都能定义相应的函数 1 类似于全概率公式 类似于Bayes公式 1 例3已知 X Y 服从圆域x2 y2 r2上的均匀分布 求 r 解 x r 例3 1 同理 边缘分布不是均匀分布 1 当 r y r时 y 这里y是常数 当Y y时 1 当 r x r时 这里x是常数 当X x时 x 1 例4已知 求 解 例4 1 同理 1 例5设 求 解 例5 1 当0 y 1时 y 当0 x 1时 x 1 例6已知 求 例6 1 解 当fX x 0时 即0 x 1时 当fX x 0时 f x y 0 故 1 x y 1 0 5 0 5 1 0 5 1 算出罪犯的身高 这个公式是 公安人员根据收集到的罪犯脚印 通过公式 由脚印估计罪犯身高 如何推导出来的 估身高 1 显然 两者之间是有统计关系的 故 设一个人身高为 脚印长度为 由于影响人类身高与脚印的随机因素是大量的 相互独立的 且各因素的影响又是微小的 可以叠加的 故 应作为二维随机变量来研究 由中心极限定理知可以近似看 成服从二维正态分布 1 其中参数因区域 民族 生活习惯的不同而有所变化 但它们都能通过统计方法而获得 密度为 现已知罪犯的脚印长度为 要 估计其身高就需计算条件期望 条件 1 的密度函数 因此 这正是正态分布 如果按中国人的相应参数代入上式 即可得出以脚印长度作自变量的身高近似公式 1 作业P 133习题三 1617 习题 1 每周一题8 设随机变量Z服从参数为1的指数分布 引入随机变量 求 X Y 的联合分布律和联合 第8周 问题 分布函数 1 Ch3 96 3 3随机变量的独立性 将事件独立性推广到r v 设 X Y 为二维r v 若对任何 则称r v X和Y相互独立 实数x y都有 3 3 定义 Ch3 97 由定义知 二维r v X Y 相互独立 Ch3 98 X与Y独立 即 连续型 二维随机变量 X Y 相互独立 则边缘分布完全确定联合分布 对一切i j有 离散型 X与Y独立 对任何x y有 Ch3 99 二维连续r v X Y 相互独立 Ch3 100 对任何x y有 取 Ch3 101 故 Ch3 102 例1已知 X Y 的联合d f 为 1 2 讨论X Y是否独立 例1 Ch3 103 解 1 由图知边缘d f 为 显然 故X Y相互独立 Ch3 104 2 由图知边缘d f 为 显然 故X Y不独立 Ch3 105 判连续型r v 相互独立的有关命题 设f x y 是连续二维r v X Y 的联合d f r x g y 为非负可积函数 且 则X Y相互独立 且 Ch3 106 利用此结果 不需计算即可得出 1 中的r v X与Y是相互独立的 再如 服从矩形域 x y a x b c y d 上均匀分布的二维r v X Y X Y是独立 且其边缘分布也是均匀分布 Ch3 107 若 则X Y是相互独立的 且其边缘分布为 Ch3 108 若 则X Y是相互独立的 且其边缘分布为 Ch3 109 对于分布函数也有类似结果 设F x y 是二维连续r v X Y 的联合分布函数 则 X Y 相互独立的充要条件为 且 Ch3 110 判独立的一个重要命题 设X Y为相互独立的r v u x v y 为连续函数 则U u X V v Y 也相互独立 即 独立r v 的连续函数仍独立 下面予以证明 Ch3 111 设X与Y的d f 分别为fX x fY y 则 因此 事实上 Ch3 112 若X Y为相互独立的r v 则aX b cY d也相互独立 X2 Y2也相互独立 随机变量相互独立的概念可以推广到n维随机变量 若 则称r v X1 X2 Xn相互独立 由命题知 Ch3 113 若两随机变量相互独立 且又有相同的分布 不能说这两个随机变量相等 如 X Y相互独立 则 故不能说X Y 注意 由左表易得 Ch3 114 作业P 133习题三 12131518 习题 Ch3 115 3 4二维r v 函数的分布 已知r v X Y 的概率分布 g x y 为已知的二元函数 转化为 X Y 的事件 3 4 求Z g X Y 的概率分布 Ch3 116 当 X Y 为离散r v 时 Z也离散 当 X Y 为连续r v 时 其中 Ch3 117 的几何意义 Dz Ch3 118 例1设二维r v X Y 的概率分布为 离散型 Ch3 119 解根据 X Y 的联合分布可得如下表格 X Y X Y XY Y X 2 10112 0 12132 10 10 20 10 10 1 20 Ch3 120 故得 2 1012 10123 Ch3 121 Ch3 122 设X B n1 p Y B n2 p 且独立 具有可加性的两个离散分布 设X P 1 Y P 2 且独立 可加性 则X Y B n1 n2 p 则X Y P 1 2 Ch3 123 X P 1 Y P 2 则 Z X Y的可能取值为0 1 2 Poisson分布可加性的证明 Ch3 124 问题已知r v X Y 的d f 数 g x y 为已知的二元函数 求Z g X Y 的d f 方法从求Z的分布函数出发 将Z的分布函数转化为 X Y 的事件建立新的二维r v Z X 或 Z Y 求其边缘分布得Z的d f 连续型 Ch3 125 1 和的分布 Z X Y 设 X Y 的联合d f 为f x y 则 x y z 或 Ch3 126 特别地 若X Y相互独立 则 或 或 称之为函数fX z 与fY z 的卷积 Ch3 127 例2已知 X Y 的联合d f 为 Z X Y 求fZ z 解法一 图形定限法 显然X Y相互独立 且 例2 Ch3 128 Ch3 129 解法二从分布函数出发 当z 0时 Ch3 130 当0 z 1时 Ch3 131 当1 z 2时 z 1 Ch3 132 当2 z时 Ch3 133 例3已知 X Y 的联合d f 为 Z X Y 求fZ z 解法一 图形定限法 由公式 1 例3 Ch3 134 当z2 当0 z 1 当1 z 2 fZ z 0 Ch3 135 这比用分布函数做简便 Ch3 136 解法二 不等式组定限法 考虑被积函数取非零值的区域 令不等式边边相等 解得z轴上的三个 分界点0 1 2 当或时不等式组无解 当时不等式组解为 当时不等式组解为 Ch3 137 Ch3 138 正态随机变量的结论 若X Y相互独立 则 若 X Y 则 则 推广 Ch3 139 已知 X Y 的联合d f f x y 求Z aX bY c的d f 其中a b c为常数 a b 0 证明见后面附录 Ch3 140 另一种计算fZ z 的方法 构造一个新的二维r v Z V 求 Z V 的联合d f f z v 求边缘密度fZ z 另法 其中 Ch3 141 设 存在唯一的反函数 h s有连续的偏导数 则 已知 X Y 的联合d f fXY x y 求 Z V 的p d f fZV z v 的公式 记 Ch3 142 证 Ch3 143 2 商的分布 Z X Y Ch3 144 例4已知 X Y 的联合分布函数为 求Z X Y的p d f 解 例4 Ch3 145 3 平方和的分布 Z X2 Y2 设 X Y 的联合d f 为f x y 则 Ch3 146 例如 X N 0 1 Y N 0 1 X Y相互独立 Z X2 Y2 则 自由度为2的 2分布 称为 Ch3 147 4 极值分布 即极大 小 值的分布 离散随机变量的极值分布可直接计算 仅就独立情形讨论极值分布 Ch3 148 例5X Y相互独立 都服从参数为0 5的 0 1分布 求M max X Y 的概率分布 解 例5 Ch3 149 设连续随机变量X Y相互独立 X FX x Y FY y M max X Y N min X Y 求M N的分布函数 Ch3 150 Ch3 151 推广 则 Ch3 152 例6系统L由相互独立的n个元件组 4 L为n个取k个的表决系统 即n个元件中有k个或k个以上的元件正常工作时 系统L才正常工作 例6 3 冷贮备 起初由一个元件工作 其它n 1个元件做冷贮备 当工作元件失效时 贮备的元件逐个地自动替换 成 其连接方式为 1 串联 2 并联 Ch3 153 若n个元件寿命分别为 且 求在以上4种组成方式下 系统L的寿命X的d f 解 Ch3 154 1 Ch3 155 2 Ch3 156 3 n 2时 Ch3 157 可证 X1 X2与X3也相互独立 故 Ch3 158 归纳地可以证明 Ch3 159 4 Ch3 160 Ch3 161 Ch3 162 作业P 134习题三 202223262930 习题 Ch3 163 第9周 问题 设随机变量X与Y相互独立 且 求随机变量 的概率密度 函数 每周一题9 Ch3 164 每周一题10 问题 第10周 某民营企业生产的某产品每周的需求量X 单位 箱 取 1 5 上的每个整数值是等可能的 生产每箱产品的成本是300元 出厂价每箱900元 若售不出 则每箱以100元的保管费借冷库保存 问该企业每周生产多少产品能使获利的期望值最大 Ch3 165 设X与Y相互独立 且X B n p Y B m p 则 二项分布可加性的证明 附录 附录 X Y B n m p 证 Z X Y的可能取值为0 1 2 n m 证明中用到 Ch3 166 k 0 1 2 n m 所以X Y B n m p Ch3 167 1 设n m 当k n时 其中 证二 Ch3 168 2 当n k m时 Ch3 169 3 当m k n m时 故X Y B n m p 由二项分布背景 不难理解X Y表示做了n m次试验 事件发生的次数 Ch3 170 前例3已知 X Y 的联合密度函数为 Z X Y 求fZ z 解法三 令 前例3 Ch3 171 2 1 1 Ch3 172 Ch3 173 附例已知 X Y 的联合密度函数为 Z 3X 2Y 求fZ z 解 令 附例 Ch3 174 Ch3 175 Ch3 176 附例已知 X Y 的联合密度f x y 求Z aX bY c的密度函数 其中a b c为常数 a b 0 令 补作证 Ch3 177 由此得 Ch4 178 第四章 第四章随机变量的数字特征 Ch4 179 分布函数能完整地描述r v 的统计特性 但实际应用中并不都需要知道分布函数 而只需知道r v 的某些特征 判断棉花质量时 既看纤维的平均长度 平均长度越长 偏离程度越小 质量就越好 又要看纤维长度与平均长度的偏离程度 例如 Ch4 180 考察一射手的水平 既要看他的平均环数是否高 还要看他弹着点的范围是否小 即数据的波动是否小 由上面例子看到 与r v 有关的某些数值 虽不能完整地描述r v 但能清晰地描述r v 在某些方面的重要特征 这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义 Ch4 181 随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写 Ch4 182 4 1随机变量的数学期望 加权平均 3 3 42 3 52 2 6 73 770 066 8 73 270 167 8 甲乙乙 引例学生甲乙参加数学竞赛 观察其胜负 4 1 Ch4 183 为这3个数字的加权平均 称 数学期望的概念源于此 Ch4 184 设X为离散r v 其分布为 若无穷级数 其和为X的数学期望记作E X 即 定义 绝对收敛 则称 Ch4 185 设连续r v X的d f 为 若广义积分 绝对收敛 则称此积分为X的数学期望记作E X 即 数学期望的本质 加权平均它是一个数不再是r v 定义 Ch4 186 例1X B n p 求E X 解 特例若Y B 1 p 则E Y 例1 Ch4 187 例2X N 2 求E X 解 例3设X 参数为p的几何分布 求E X 解 例2 Ch4 188 常见r v 的数学期望 P159 Ch4 189 区间 a b 上的均匀分布 E N 2 Ch4 190 注意不是所有的r v 都有数学期望 例如 柯西 Cauchy 分布的密度函数为 它的数学期望不存在 Ch4 191 设离散r v X的概率分布为 若无穷级数 绝对收敛 则 设连续r v 的d f 为f x 绝对收敛 则 若广义积分 Ch4 192 设离散r v X Y 的概率分布为 Z g X Y 绝对收敛 则 若级数 Ch4 193 设连续r v X Y 的联合d f 为 f x y Z g X Y 绝对收敛 则 若广义积分 Ch4 194 例3设 X Y N 0 1 0 1 0 求 的数学期望 解 例3 Ch4 195 解 1 设整机寿命为N 五个独立元件 寿命分别为 都服从参数为 的指数分布 若将它们 1 串联 2 并联成整机 求整机寿命的均值 P 142例6 例4 例4 Ch4 196 即N E 5 2 设整机寿命为 Ch4 197 可见 并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长11倍之多 Ch4 198 例5设X N 0 1 Y N 0 1 X Y相互独立 求E max X Y 解 D1 D2 例5 Ch4 199 其中称为概率积分 Ch4 200 一般地 若 X Y相互独立 则 所以 Ch4 201 E C C E aX aE X E X Y E X E Y 当X Y独立时 E XY E X E Y 若存在数a使P X a 1 则E X a 若存在数b使P X b 1 则E X b 期望性质 Ch4 202 性质4的逆命题不成立 即 若E XY E X E Y X Y不一定独立 反例见附录1 注 Ch4 203 设X连续 d f 为f x 分布函数为F x 则 故 证性质5 Ch4 204 例6将4个不同色的球随机放入4个盒子中 每盒容纳球数无限 求空盒子数的数学期望 解一设X为空盒子数 则X的概率分布为 例6 Ch4 205 解二再引入Xi i 1 2 3 4 Ch4 206 例7设二维r v X Y 的d f 为 求E X E Y E X Y E XY E Y X 解 例7 Ch4 207 由数学期望性质 Ch4 208 数学期望的应用 应用 Ch4 209 据统计65岁的人在10年内正常死亡 解 应用1 的概率为0 98 因事故死亡概率为0 02 保险 公司开办老人事故死亡保险 参加者需交纳 保险费100元 若10年内因事故死亡公司赔偿 a元 应如何定a 才能使公司可期望获益 若有1000人投保 公司期望总获益多少 设Xi表示公司从第i个投保者身上所得 的收益 i 1 1000 则 Xi 应用1 Ch4 210 由题设 公司每笔赔偿小于5000元 能使公司获益 公司期望总收益为 若公司每笔赔偿3000元 能使公司期望总获益40000元 Ch4 211 为普查某种疾病 n个人需验血 验血方案有如下两种 分别化验每个人的血 共需化验n次 分组化验 k个人的血混在一起化验 若结果为阴性 则只需化验一次 若为阳性 则对k个人的血逐个化验 找出有病者 此时k个人的血需化验k 1次 设每人血液化验呈阳性的概率为p 且每人化验结果是相互独立的 试说明选择哪一方案较经济 验血方案的选择 应用2 应用2 Ch4 212 解只须计算方案 2 所需化验次数的期望 为简单计 不妨设n是k的倍数 共分成n k组 设第i组需化验的次数为Xi 则 Ch4 213 例如 当时 选择方案 2 较经济 Ch4 214 市场上对某种产品每年需求量为X吨 X U 2000 4000 每出售一吨可赚3万元 售不出去 则每吨需仓库保管费1万元 问应该生产这中商品多少吨 才能使平均利润最大 解 设每年生产y吨的利润为Y 显然 2000 y 4000 应用3 应用3 Ch4 215 Ch4 216 显然 故y 3500时 E Y 最大 E Y 8250万元 Ch4 217 设由自动线加工的某种零件的内径X mm N 1 已知销售每个零件的利润T 元 与销售零件的内径X有如下的关系 问平均直径 为何值时 销售一个零件的平均利润最大 P 171习题四15题 应用4 应用4 Ch4 218 解 Ch4 219 即 可以验证 零件的平均利润最大 Ch4 220 作业P 169习题四 123457 习题 Ch4 221 补充作业设g x 是取正值的非减函数 X为连续型r v 且E g X 存在 证明 对任意常数a Ch4 222 柯西 Augustin LouisCauchy 1789 1857 柯西 法国数学家 Ch4 223 柯西简介 法国数学家27岁当选法国科学院院士 早在1811年就解决了拉格朗日向他提出的一个问题 凸多面体的角是否被它的面所决定 柯西作了肯定的回答 这一直是几何学中一个精彩的结果 在概率论中他给出了有名的柯西分布 然而他一生中最重要的数学贡献在另外三个领域 微积分学 复变函数和微分方程 Ch4 224 柯西在代数学 几何学 误差理论以及天体力学 光学 弹性力学诸方面都有出色的工作 特别是他弄清了弹性理论的基本数学结构 为弹性力学奠定了严格的理论基础 在这三个领域中我们常常能见到以柯西名字命名的定理 公式和方程等 微积分在几何上的应用 1826年 柯西的著作大多是急就章 但都朴实无华 有思想 有创见 他所发现和创立的定理和公式 往往是一些最简单 最基本的事实 因而 他的数学成就影响广泛 意义深远 柯西是一位多产的数学家 一生共发表论文800余篇 著书7本 柯西全集 共有27卷 其中最重要的为 分析教程 1821年 无穷小分析教程概论 1823年 Ch4 225 Ch4 226 若X服从柯西 Cauchy 分布 其p d f 为 简记X C 分布 Ch4 227 性质4的逆命题不成立 即 若E XY E X E Y X Y不一定独立 反例1 p j pi 附录1 附录1 Ch4 228 但 Ch4 229 反例2 Ch4 230 但 Ch4 231 几个重要的r v 函数的数学期望 X的k阶原点矩 X的k阶绝对原点矩 X的k阶中心矩 X的方差 附录2 附录2 Ch4 232 X Y的k l阶混合原点矩 X Y的k l阶混合中心矩 X Y的二阶原点矩 X Y的二阶混合中心矩X Y的协方差 X Y的相关系数 Ch4 233 引例甲 乙两射手各打了6发子弹 每发子弹击中的环数分别为 甲10 7 9 8 10 6 乙8 7 10 9 8 8 问哪一个射手的技术较好 解首先比较平均环数 4 2方差 4 2方差 Ch4 234 再比较稳定程度 甲 乙 乙比甲技术稳定 故乙技术较好 Ch4 235 进一步比较平均偏离平均值的程度 甲 乙 E X E X 2 Ch4 236 若E X E X 2存在 则称其为随机 定义 即D X E X E X 2 变量X的方差 记为D X 或Var X 概念 D X 描述r v X的取值偏离平均值的平均偏离程度 数 Ch4 237 若X为离散型r v 分布律为 若X为连续型r v 概率密度为f x 计算方差的常用公式 Ch4 238 D C 0 D aX a2D X D aX b a2D X 特别地 若X Y相互独立 则 性质 Ch4 239 则 若X Y相互独立 对任意常数C D X E X C 2 当且仅当C E X 时等号成立 D X 0 P X E X 1 称为X依概率1等于常数E X Ch4 240 性质1的证明 性质2的证明 Ch4 241 性质3的证明 当X Y相互独立时 注意到 Ch4 242 性质4的证明 当C E X 时 显然等号成立 当C E X 时 Ch4 243 例1设X P 求D X 解 例1 Ch4 244 例2设X B n p 求D X 解一仿照上例求D X 解二引入随机变量 相互独立 故 例2 Ch4 245 例3设X N 2 求D X 解 例3 Ch4 246 常见随机变量的方差 P 159 方差表 Ch4 247 区间 a b 上的均匀分布 E N 2 Ch4 248 例4已知X Y相互独立 且都服从N 0 0 5 求E X Y 解 故 例4 Ch4 249 例5设X表示独立射击直到击中目标n次为止所需射击的次数 已知每次射击中靶的概率为p 求E X D X 解令Xi表示击中目标i 1次后到第i次击中目标所需射击的次数 i 1 2 n 相互独立 且 例5 Ch4 250 Ch4 251 故 本例给出了几何分布与巴斯卡分布的期望与方差 Ch4 252 例6将编号分别为1 n的n个球随机地放入编号分别为1 n的n只盒子中 每盒一球 若球的号码与盒子的号码一致 则称为一个配对 求配对个数X的期望与方差 解 则 例6 Ch4 253 Ch4 254 Ch4 255 Ch4 256 标准化随机变量 设随机变量X的期望E X 方差D X 都存在 且D X 0 则称 为X的标准化随机变量 显然 Ch4 257 仅知r v 的期望与方差并不能确定其分布 与 有相同的期望方差但是分布却不相同 例如 Ch4 258 例7已知X服从正态分布 E X 1 7 D X 3 Y 1 2X 求Y的密度函数 解 例7 在已知某些分布类型