2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程讲义新人教A版选修2.doc

21.1曲线与方程曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)若以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上，则方程f(x，y)0即为曲线C的方程()(2)若曲线C上的点满足方程F(x，y)0，则坐标不满足方程F(x，y)0的点不在曲线C上()(3)方程xy20是以A(2,0)，B(0,2)为端点的线段的方程()答案(1)(2)(3)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)写出曲线xy4x3y0与坐标轴的交点的坐标_(2)直线C1：xy0与直线C2：xy20的交点坐标为_(3)(教材改编P37T2)点A在方程x2(y1)25表示的曲线上，则m_.(4)x2y21(x0)表示的曲线是_答案(1)(0,0)(2)(1,1)(3)3或(4)以(0,0)为圆心，1为半径的圆在y轴右侧的部分 探究1曲线与方程的概念例1分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程xy0之间的关系解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|2的解；但以方程|x|2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上因此，|x|2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy5；但以方程xy5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足xy0；反之，以方程xy0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是xy0.拓展提升判断方程是否是曲线的方程的两个关键点一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上【跟踪训练1】设方程f(x，y)0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A坐标满足方程f(x，y)0的点都不在曲线C上B曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)0C坐标满足方程f(x，y)0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程f(x，y)0答案D解析命题“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”是不正确的，即“坐标满足方程f(x，y)0的点不都在曲线C上”是正确的，“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A，C错误，而B显然错误，选D.探究2点与曲线的位置关系例2已知方程x2(y1)210.(1)判断P(1，2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若曲线y2xy2xk通过点(a，a)，aR，求k的取值范围解(1)12(21)210，()2(31)2610，P(1，2)在方程x2(y1)210表示的曲线上，Q(，3)不在此曲线上(2)因为曲线y2xy2xk过点(a，a)，所以a2a22ak.所以k2a22a22，所以k，所以k的取值范围是.拓展提升点与曲线位置关系问题的求解方法判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，将所给点的坐标代入曲线的方程，可求点或方程中的参数 【跟踪训练2】已知02，若点P(cos，sin)在曲线(x2)2y23上，求.解点P(cos，sin)在曲线(x2)2y23上，(cos2)2sin23，cos24cos4sin23，cos.又00，即a24a120，得2a6，此时有两不相等实根；当0得a6，此时无根综上所述，当a2或a6时有一个交点；当2a6时有两个交点；当a6时无交点 1.判断曲线与方程关系的思路 曲线与方程建立了对应，即把点和坐标的对应过渡到曲线和方程的对应，因此判断曲线与方程的关系时，需同时判断以方程的解为坐标的点是否都在曲线上，曲线上点的坐标是否都是方程的解. 2.点与曲线位置关系问题的求解方法 (1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上. (2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题. 3.研究两曲线交点问题的方法关于曲线的交点问题，通常表现为两种类型：一是判定两曲线是否存在交点；二是求解交点及和交点有关的问题在解决这些问题时，除要用到方程(组)的方法及相关知识外，有时还需综合应用各种曲线自身所具有的某些几何性质. 1下列选项中方程与其表示的曲线正确的是()答案C解析对于A，x2y21表示一个整圆；对于B，x2y2(xy)(xy)0表示两条相交直线；对于D，由lg xlg y0知x0，y0.2已知直线l：xy40及曲线C：(x3)2(y2)22，则点M(2,2)()A在直线l上，但不在曲线C上B在直线l上，也在曲线C上C不在直线l上，也不在曲线C上D不在直线l上，但在曲线C上答案A解析将点M(2,2)的坐标代入方程验证知Ml，MC.3方程(x24)2(y24)20表示的图形是()A两个点 B四个点C两条直线 D四条直线答案B解析由已知所以即或或或4方程(x1)20表示的是_答案点(1,2)解析由(x1)20，知(x1)20且0即x1，且y2，所以(x1)20表示的是点(1,2)5证明：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是yx.证明(1)如图所示，设M(x0，y0)是轨迹上任一点，因为点M到x轴的距离为|y0|，到y轴的距离为|x0|，所以|x0|y0|，即y0x0，所以轨迹上任一点的坐标都是方