《数系的扩充》高中数学选修2—2教案.doc

数系的扩充高中数学选修22教案 数系的扩充高中数学选修22教案【目标】 1. 了解实数系扩充的原因和过程，理解虚单位i的概念，理解复数代数形式、实部、虚部、纯虚数、虚数等概念； 2. 理解复数相等概念，了解复数系与实数系的关系； 3. 感受数系的扩充和复数的诞生都是人类思想的创新和大解放，每次都引发对自然界更深层次的认识，推动了科学的进步.【重点】 复数的诞生及其概念. 复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等.【难点】虚单位i 的的概念. 虚单位i 的第二条性质.【程序】1.问题情境问题1 自然数集N、整数集Z、有理数集Q. 实数集R之间有怎样的包含关系呢？Key: N Z，Z Q，Q R, 总之 N Z Q R,（数系扩充之意自见）.接着问：这些数是怎样产生的？Key: 为了计数产生了自然数，为了表示各种具有相反意义的量产生了负数；为了测量等产生了分数为了度量正方形对角线的长产生了无理数.发现1：数集在按照某种“规则”不断扩充，（实践的需要、解决数学体系内部矛盾的推动）数系与运算联系紧密，（数集无运算，犹无弓之箭；运算离开数系，犹如无米之炊）.人们总希望数系中的运算能够在本数系中畅通无阻.数系的每一次扩充的效果，是解决了在原有数集中某种运算受阻的矛盾，负数解决了在正数集（如N）中不够减的矛盾，分数解决了在整数中不能整除的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.接着问：数系一般按照什么样的“规则”扩充？Key: “规则”就是在原有数系的基础上“添加”新的数.2.实数系也面临着问题（内部矛盾）数系扩到实数系R以后，因为没有一个实数的平方等于1.问题：这表明什么运算在实数系R中不能畅通无阻？（答：开方运算）从方程的观点看，像x2=1这样的方程在实数系R还是无解的.让我们尝试来克服这个矛盾.3.大胆类比、解放思想评：自然数N中“添加”新数-1，就“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”.在实数中引入了一个新数 ，也能取到这种效果吗？4.严格定义、理清思路我们引入一个新数 ，叫做虚数单位，并规定(1)它的平方等于-1，即 ; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.这就规定了虚数单位i的两条本质属性.5. “添加”虚数单位，诞生新的数系（1） i与实数相乘，得形如b i的数，当b0时，称b i为纯虚数. 这就“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”（2） 形如b i的数与实数 相加，得形如 的数叫复数.复数的定义：形如 的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示 复数通常用字母z表示，即 ，把复数表示成 的形式，叫做复数的代数形式 6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系 对于复数 ，当且仅当b=0时，复数 是实数 ；当b0时，复数 叫做虚数；当b0且 =0时， 叫做纯虚数；当且仅当 =b =0时，z= +b i就是实数0.7.例题解析例1请说出复数4， 0， ，6 的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？由学生回答：例2 实数m取什么数值时，复数z= m （m-1）+(m1)i是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？【分析】因为mR，所以m+1，m1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.解：(1)当m1=0，即m=1时，复数z是实数；(2)当m10，即m1时，复数z是虚数；(3)当m（m-1）=0，且m10时，即m=0时，复数z 是纯虚数. 8. 复数相等的定义 （2）相等的复数定义：设a，b，c，dR，abicdi .若 , .例3. 已知(x+y)+ (x 2y)i=(2x5)+(3x +y)i，其中x，yR，求x与y的值.解：根据复数相等的定义，得 ，所以x=3，y=2 复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.9.小结通过在实数中引入虚单位 ,我们将实数集扩张成了复数集. 1. 认识了虚单位i，i具有两条本质属性. 2. 理解了实数集扩充到复数集的原因和过程. 3. 知道了abi成为实数、虚数、纯虚数的条件.简单地说： b0 abi为实数； b0 abi为虚数； b0，a0 abi是纯虚数 复数实数虚数 4. 理解复数相等的定义.10.作业1.设计数集的文氏图，用它来表示实数、虚数、纯虚数等数集的包含关系.下面正确的是（ ） 2. a=0是复数z=a+bi为纯虚数的什么条件?答：必要非充分条件3. 与1的关系: 就是1的一个平方根，即方程x2=1的一个根，方程x2=1的另一个根是 ! 4. 复数2i+3.14的实