第1讲　直线与圆

第1讲直线与圆 高考定位考查重点是直线间的平行和垂直的条件 与距离有关的问题 直线与圆的位置关系 特别是弦长问题 此类问题难度属于中低档 一般以选择题 填空题的形式出现 1 2018 全国 卷 直线x y 2 0分别与x轴 y轴交于A B两点 点P在圆 x 2 2 y2 2上 则 ABP面积的取值范围是 答案A 真题感悟 2 2019 北京卷 设抛物线y2 4x的焦点为F 准线为l 则以F为圆心 且与l相切的圆的方程为 解析抛物线y2 4x的焦点F的坐标为 1 0 准线l为直线x 1 所求的圆以F为圆心 且与准线l相切 故圆的半径r 2 所以圆的方程为 x 1 2 y2 4 答案 x 1 2 y2 4 3 2019 浙江卷 已知圆C的圆心坐标是 0 m 半径长是r 若直线2x y 3 0与圆C相切于点A 2 1 则m r 4 2019 全国 卷 已知点A B关于坐标原点O对称 AB 4 M过点A B且与直线x 2 0相切 1 若A在直线x y 0上 求 M的半径 2 是否存在定点P 使得当A运动时 MA MP 为定值 并说明理由 解 1 因为 M过点A B 所以圆心M在AB的垂直平分线上 由已知A在直线x y 0上 且A B关于坐标原点O对称 所以M在直线y x上 故可设M a a 因为 M与直线x 2 0相切 所以 M的半径为r a 2 连接MA 由已知得 AO 2 又MO AO 故可得2a2 4 a 2 2 解得a 0或a 4 故 M的半径r 2或r 6 2 存在定点P 1 0 使得 MA MP 为定值 理由如下 设M x y 由已知得 M的半径为r x 2 AO 2 由于MO AO 故可得x2 y2 4 x 2 2 化简得M的轨迹方程为y2 4x 因为曲线C y2 4x是以点P 1 0 为焦点 以直线x 1为准线的抛物线 所以 MP x 1 因为 MA MP r MP x 2 x 1 1 所以存在满足条件的定点P 1 两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1 l2的斜率k1 k2存在 则l1 l2 k1 k2 l1 l2 k1k2 1 若给出的直线方程中存在字母系数 则要考虑斜率是否存在 考点整合 2 两个距离公式 3 圆的方程 4 直线与圆的位置关系的判定 1 几何法 把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较 dr 相离 2 代数法 将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组 利用判别式 来讨论位置关系 0 相交 0 相切 0 相离 热点一直线的方程 例1 1 直线l1 3 m x 4y 5 3m l2 2x 5 m y 8 则 m 1或m 7 是 l1 l2 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 2 已知直线l1 kx y 4 0与直线l2 x ky 3 0 k 0 分别过定点A B 又l1 l2相交于点M 则 MA MB 的最大值为 解析 1 由 3 m 5 m 4 2 0 得m 1或m 7 但m 1时 直线l1与l2重合 当m 7时 l1的方程为2x 2y 13 直线l2的方程为2x 2y 8 此时l1 l2 m 7或m 1 是 l1 l2 的必要不充分条件 2 由题意可知 直线l1 kx y 4 0经过定点A 0 4 直线l2 x ky 3 0经过定点B 3 0 注意到kx y 4 0和直线l2 x ky 3 0始终垂直 M又是两条直线的交点 则有MA MB 所以 MA 2 MB 2 AB 2 25 探究提高1 求解两条直线平行的问题时 在利用A1B2 A2B1 0建立方程求出参数的值后 要注意代入检验 排除两条直线重合的可能性 2 求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解 同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意 训练1 1 2019 长沙一中月考 已知三条直线l1 4x y 1 l2 x y 0 l3 2x my 3 若l1关于l2对称的直线与l3垂直 则实数m的值是 2 已知l1 l2是分别经过A 1 1 B 0 1 两点的两条平行直线 当l1 l2间的距离最大时 则直线l1的方程是 解析 1 易知直线l1 4x y 1关于直线l2 x y 0对称的直线方程为x 4y 1 又直线l3的方程为2x my 3 2 当直线AB与l1 l2垂直时 l1 l2间的距离最大 答案 1 D 2 x 2y 3 0 热点二圆的方程 例2 1 在平面直角坐标系中 经过三点 0 0 1 1 2 0 的圆的方程为 圆C的方程为 x 1 2 y 1 2 2 答案 1 x2 y2 2x 0 2 x 1 2 y 1 2 2 探究提高1 直接法求圆的方程 根据圆的几何性质 直接求出圆心坐标和半径 进而写出方程 2 待定系数法求圆的方程 1 若已知条件与圆心 a b 和半径r有关 则设圆的标准方程 依据已知条件列出关于a b r的方程组 从而求出a b r的值 2 若已知条件没有明确给出圆心或半径 则选择圆的一般方程 依据已知条件列出关于D E F的方程组 进而求出D E F的值 温馨提醒解答圆的方程问题 应注意数形结合 充分运用圆的几何性质 解析 1 由题意知 椭圆顶点的坐标为 0 2 0 2 4 0 4 0 由圆心在x轴的正半轴上知圆过顶点 0 2 0 2 4 0 设圆的标准方程为 x m 2 y2 r2 2 圆C的圆心在x轴的正半轴上 设C a 0 且a 0 热点三直线 圆 与圆的位置关系角度1圆的切线问题 例3 1 1 2019 苏州调研 在平面直角坐标系xOy中 已知过点M 1 1 的直线l与圆 x 1 2 y 2 2 5相切 且与直线ax y 1 0垂直 则实数a 2 2019 衡水中学质检 已知 O x2 y2 1 点A 0 2 B a 2 从点A观察点B 要使视线不被 O挡住 则实数a的取值范围是 2 易知点B在直线y 2上 过点A 0 2 作圆的切线 设切线的斜率为k 则切线方程为y kx 2 即kx y 2 0 解析 1 设圆 x 1 2 y 2 2 5的圆心为C 1 2 又点M 1 1 在圆 x 1 2 y 2 2 5上 l CM kl kCM 1 探究提高1 直线与圆相切时利用 切线与过切点的半径垂直 圆心到切线的距离等于半径 建立关于切线斜率的等式 所以求切线方程时主要选择点斜式 2 过圆外一点求解切线段长的问题 可先求出圆心到圆外点的距离 再结合半径利用勾股定理计算 训练3 过点A 1 3 作圆x2 y2 2的两条切线 切点为B C O为坐标原点 则四边形OBAC的面积为 解析由切线的性质 AOB为直角三角形 且S四边形OBAC 2S OAB 答案4 角度2圆的弦长相关计算 例3 2 在直角坐标系xOy中 曲线y x2 mx 2与x轴交于A B两点 点C的坐标为 0 1 当m变化时 解答下列问题 1 能否出现AC BC的情况 说明理由 2 证明过A B C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值 1 解不能出现AC BC的情况 理由如下 设A x1 0 B x2 0 则x1 x2满足方程x2 mx 2 0 所以x1x2 2 又C的坐标为 0 1 所以不能出现AC BC的情况 即过A B C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值 解析 1 圆C的标准方程为 x 1 2 y 1 2 1 圆心C 1 1 半径r 1 故所求直线l的方程为y x 3 即x y 3 0 答案 1 1 2 x y 3 0 2 圆C的标准方程为 x 4 2 y 1 2 9 圆C的圆心C 4 1 半径r 3 又直线l y a x 3 过定点P 3 0 1 解决直线方程问题应注意 1 要注意几种直线方程的局限性 点斜式方程不能表示与x轴垂直的直线 截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线 两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线 2 求直线方程要考虑直线斜率是否存在 3 求解两条直线平行的问题时 在利用A