2003北京高考数学真题与答案.doc

2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.（1）设集合等于（A） （B） （C） （D）（2）设，则（A）y3y1y2（B）y2y1y3（C）y1y2y3（D）y1y3y2（3）“”是“”的（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件（4）已知，是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是 （A）若mn，m，则n（B）若m，=n，则mn（C）若m，m，则（D）若m，则（5）极坐标方程表示的曲线是（A）圆（B）椭圆（C）抛物线（D）双曲线（6）若且的最小值是（A）2（B）3（C）4（D）5（7）如果圆台的母线与底面成60角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（A）（B）（C）（D）（8）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（A）24种（B）18种（C）12种（D）6种（9）若数列的通项公式是，则 等于（A）（B）（C）（D）（10）某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 , 其中i=1，2，k，且j=1，2，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（A）（B）（C）（D）第卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.（11）函数中， 是偶函数.（12）以双曲线右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 （13）如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 .（14）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 .三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）已知函数 （）求的最小正周期； （）若，求的最大值、最小值.（16）（本小题满分13分）已知数列是等差数列，且 （）求数列的通项公式； （）令求数列前n项和的公式.（17）（本小题满分15分） 如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=D是CB延长线上一点，且BD=BC. （）求证：直线BC1/平面AB1D； （）求二面角B1ADB的大小； （）求三棱锥C1ABB1的体积.（18）（本小题满分15分） 如图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（0，r）（ （）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； （）直线交椭圆于两点直线交椭圆于两点求证：； （）对于（）中的C，D，G，H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q. 求证：|OP|=|OQ|. （证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）（19）（本小题满分14分） 有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图） （）若希望点P到三镇距离的平方和为最小， 点P应位于何处？ （）若希望点P到三镇的最远距离为最小， 点P应位于何处？（20）（本小题满分14分） 设是定义在区间上的函数，且满足条件： （i） （ii）对任意的 （）证明：对任意的 （）证明：对任意的 （）在区间1，1上是否存在满足题设条件的奇函数，且使得 若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.（1）A （2）D （3）A （4）B （5）D （6）B （7）C （8）B （9）C （10）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.（11） （12） （13） （14）三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）满分13（）解析：因为所以的最小正周期（）解析：因为所以 当时，取得最大值；当时，取得最小值1. 所以在上的最大值为1，最小值为（16）满分13分. （）解析：设数列公差为，则 又所以（）解：令则由得 当时，式减去式，得 所以当时, 综上可得当时, 当时，（17） 满分15分. （）证明：CD/C1B1，又BD=BC=B1C1， 四边形BDB1C1是平行四边形， BC1/DB1.又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，直线BC1/平面AB1D.（）解析：过B作BEAD于E，连结EB1，B1B平面ABD，B1EAD ，B1EB是二面角B1ADB的平面角，BD=BC=AB，E是AD的中点， 在RtB1BE中，B1EB=60。即二面角B1ADB的大小为60 （）解法一：过A作AFBC于F，B1B平面ABC，平面ABC平面BB1C1C，AF平面BB1C1C，且AF= 即三棱锥C1ABB1的体积为 解法二：在三棱柱ABCA1B1C1中， 即三棱锥C1ABB1的体积为（18）满分15分. （）解析：椭圆方程为焦点坐标为 离心率（）证明：将直线CD的方程代入椭圆方程，得整理得根据韦达定理，得 所以 将直线GH的方程代入椭圆方程，同理可得，由，得所以结论成立.（）证明：设点P（p,0），点Q（q,0），由C、P、H共线， 得解得， 由D、Q、G共线，同理可得 变形得 即 所以（19）.满分14分. （）解析：由题设可知，记设P的坐标为（0，），则P至三镇距离的平方和为 所以，当时，函数取得最小值. 答:点P的坐标是（）解法一：P至三镇的最远距离为 由解得记于是 当即时，在上是增函数，而上是减函数. 由此可知,当时,函数取得最小值. 当即时,函数在上,当时,取得最小值,而上为减函数,且 可见, 当时, 函数取得最小值. 答当时,点P的坐标为当时,点P的坐标为(0,0),其中 解法二:P至三镇的最远距离为 由解得 记于是 当的图象如图，因此，当时，函数取得最小值. 当即的图象如图，因此，当时，函数取得最小值.答：当时，点P的坐标为当，点P的坐标为（0，0），其中解法三：因为在ABC中，AB=AC=所以ABC的外心M在射线AO上，其坐标为， 且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，若（如图1），则点M在线段AO上，这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C和P2A，且P1CMC，P2AMA，所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小. 若(如图2),则点M在线段AO外,这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A， 且P1COC，P2AOC，所以点P与BC边中点O重合时，P到三镇的最远距离最小为.答：当时，点P的位置在ABC的外心；当时，点P的位置在原点O.（20）满分14分.（）证明：由题设条件可知，当时，有即（）证法