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2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数 学(理工农医类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.(1)设集合等于(A) (B) (C) (D)(2)设,则(A)y3y1y2(B)y2y1y3(C)y1y2y3(D)y1y3y2(3)“”是“”的(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件(4)已知,是平面,m,n是直线.下列命题中不正确的是 (A)若mn,m,则n(B)若m,=n,则mn(C)若m,m,则(D)若m,则(5)极坐标方程表示的曲线是(A)圆(B)椭圆(C)抛物线(D)双曲线(6)若且的最小值是(A)2(B)3(C)4(D)5(7)如果圆台的母线与底面成60角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为(A)(B)(C)(D)(8)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有(A)24种(B)18种(C)12种(D)6种(9)若数列的通项公式是,则 等于(A)(B)(C)(D)(10)某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权,他们的编号分别为1,2,k,规定:同意按“1”,不同意(含弃权)按“0”,令 , 其中i=1,2,k,且j=1,2,k,则同时同意第1,2号同学当选的人数为(A)(B)(C)(D)第卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.(11)函数中, 是偶函数.(12)以双曲线右顶点为顶点,左焦点为焦点的抛物线的方程是 (13)如图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是 .(14)将长度为1的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形,要使正方形与圆的面积之和最小,正方形的周长应为 .三、解答题:本大题共6小题,共84分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(15)(本小题满分13分)已知函数 ()求的最小正周期; ()若,求的最大值、最小值.(16)(本小题满分13分)已知数列是等差数列,且 ()求数列的通项公式; ()令求数列前n项和的公式.(17)(本小题满分15分) 如图,正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长的3,侧棱AA1=D是CB延长线上一点,且BD=BC. ()求证:直线BC1/平面AB1D; ()求二面角B1ADB的大小; ()求三棱锥C1ABB1的体积.(18)(本小题满分15分) 如图,椭圆的长轴A1A2与x轴平行,短轴B1B2在y轴上,中心为M(0,r)( ()写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率; ()直线交椭圆于两点直线交椭圆于两点求证:; ()对于()中的C,D,G,H,设CH交x轴于点P,GD交x轴于点Q. 求证:|OP|=|OQ|. (证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形)(19)(本小题满分14分) 有三个新兴城镇,分别位于A,B,C三点处,且AB=AC=a,BC=2b.今计划合建一个中心医院,为同时方便三镇,准备建在BC的垂直平分线上的P点处,(建立坐标系如图) ()若希望点P到三镇距离的平方和为最小, 点P应位于何处? ()若希望点P到三镇的最远距离为最小, 点P应位于何处?(20)(本小题满分14分) 设是定义在区间上的函数,且满足条件: (i) (ii)对任意的 ()证明:对任意的 ()证明:对任意的 ()在区间1,1上是否存在满足题设条件的奇函数,且使得 若存在,请举一例:若不存在,请说明理由.2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 数学(理工农医类)答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分,满分50分.(1)A (2)D (3)A (4)B (5)D (6)B (7)C (8)B (9)C (10)C二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.(11) (12) (13) (14)三、解答题:本大题共6小题,共84分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)满分13()解析:因为所以的最小正周期()解析:因为所以 当时,取得最大值;当时,取得最小值1. 所以在上的最大值为1,最小值为(16)满分13分. ()解析:设数列公差为,则 又所以()解:令则由得 当时,式减去式,得 所以当时, 综上可得当时, 当时,(17) 满分15分. ()证明:CD/C1B1,又BD=BC=B1C1, 四边形BDB1C1是平行四边形, BC1/DB1.又DB1平面AB1D,BC1平面AB1D,直线BC1/平面AB1D.()解析:过B作BEAD于E,连结EB1,B1B平面ABD,B1EAD ,B1EB是二面角B1ADB的平面角,BD=BC=AB,E是AD的中点, 在RtB1BE中,B1EB=60。即二面角B1ADB的大小为60 ()解法一:过A作AFBC于F,B1B平面ABC,平面ABC平面BB1C1C,AF平面BB1C1C,且AF= 即三棱锥C1ABB1的体积为 解法二:在三棱柱ABCA1B1C1中, 即三棱锥C1ABB1的体积为(18)满分15分. ()解析:椭圆方程为焦点坐标为 离心率()证明:将直线CD的方程代入椭圆方程,得整理得根据韦达定理,得 所以 将直线GH的方程代入椭圆方程,同理可得,由,得所以结论成立.()证明:设点P(p,0),点Q(q,0),由C、P、H共线, 得解得, 由D、Q、G共线,同理可得 变形得 即 所以(19).满分14分. ()解析:由题设可知,记设P的坐标为(0,),则P至三镇距离的平方和为 所以,当时,函数取得最小值. 答:点P的坐标是()解法一:P至三镇的最远距离为 由解得记于是 当即时,在上是增函数,而上是减函数. 由此可知,当时,函数取得最小值. 当即时,函数在上,当时,取得最小值,而上为减函数,且 可见, 当时, 函数取得最小值. 答当时,点P的坐标为当时,点P的坐标为(0,0),其中 解法二:P至三镇的最远距离为 由解得 记于是 当的图象如图,因此,当时,函数取得最小值. 当即的图象如图,因此,当时,函数取得最小值.答:当时,点P的坐标为当,点P的坐标为(0,0),其中解法三:因为在ABC中,AB=AC=所以ABC的外心M在射线AO上,其坐标为, 且AM=BM=CM. 当P在射线MA上,记P为P1;当P在射线MA的反向延长线上,记P为P2,若(如图1),则点M在线段AO上,这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C和P2A,且P1CMC,P2AMA,所以点P与外心M重合时,P到三镇的最远距离最小. 若(如图2),则点M在线段AO外,这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A, 且P1COC,P2AOC,所以点P与BC边中点O重合时,P到三镇的最远距离最小为.答:当时,点P的位置在ABC的外心;当时,点P的位置在原点O.(20)满分14分.()证明:由题设条件可知,当时,有即()证法
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