2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题08概率统计.doc

专题8 概率统计苏州市吴县中学 张文海【课标要求】1.课程目标(1)通过概率学习，使学生在具体情景中了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，了解概率的某些基本性质和简单的概率模型.(2)通过统计学习，使学生了解抽样的操作步骤、统计分析的基本流程、变量的相关性分析、线性回归的基本方法；使学生了解用样本估计总体及其特征的思想.2.复习要求(1)随机抽样 在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法. (2)用样本估计总体 在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点. 理解样本数据平均值和方差的意义和作用，学会计算平均值、方差和标准差. (3)变量的相关性 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系. 经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. (4)概率 理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率理解几何概型的概率计算公式，了解测度的简单含义，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题；了解两个互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论并会计算.3.复习建议(1)概率、统计部分除了“总体特征数的估计”和“古典概型”是B级要求外，其余均为A级要求.(2)概率在160分卷中主要以古典概型和几何概型为主兼顾互斥事件、对立事件等公式的运用.由于没有计数原理的支撑，概率很难再出现解答题，在利用等可能事件的概率公式计算概率时,计数的方法局限于枚举法.几何概型的计算应抓住其直观性较强的特点.(3)概率复习应着重基础知识和基本概念，理解概率计算的基本思想，注意书写的完整性和规范性,尤其要关注几何概型（以二维为主）.(4)统计与统计案例的教学课时不少，又是应用能力考查的重要载体，所以统计问题只在小题中出现的状况有可能改变，09年山东和广州高考卷中，在解答题中都出现了统计的内容.这样文理合卷的解答题中少了概率，多了统计，这也是一种平衡.(5)在附加卷中依然要注意考查概率的知识，复习时应重视数学思想方法的渗透.应注意培养学生善于从普通语言中捕捉信息、将普通语言转化为数学语言的能力，使学生能以数学语言为工具进行数学思维与数学交流.【典型例题】例1(填空题)(1)投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为m和n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为_.解析:因为为实数，所以故则可以取1、26，共6种可能，所以.(2)现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为_.解析: 从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2. (3)在平面直角坐标系中，设是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域，是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向中随机投一点，则落入中的概率 解析：(4)在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为_ 解析：当时，在区间上，只有或，根据几何概型的计算方法，这个概率值是(5)已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员每次投篮命中的概率约为_ 解析:由随机数可估算出每次投篮命中的概率(6)某校有学生2000人，其中高三学生500人为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本则样本中高三学生的人数为_ 解析: 高三学生的人数为 (7)地区为了解岁的老人的日平均睡眠时间（单位：），随机选择了50开始S0输入Gi，Fii1S SGiFii5i i1NY输出S结束位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为_序号分组（睡眠 时间）组中值（）频数（人数）频率（）1621032041054解析:由流程图 (8)已知总体的各个体的值依次为2，3，3，7，a，b，12，137，183，20，且总体的中位数为105若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是_ 解析: 根据总体方差的定义知，只需且必须时，方差最小(9)一般来说，一个人脚越长，他的身高就越高现对10名成年人的脚长与身高进行测量,得如下数据(单位:cm): 20212223242526272829141146154160169176181188197203画出散点图后,发现散点在一条直线附近，经计算得到数据：某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印,量得每个脚印长265cm,请你估计案发嫌疑人的身高为 cm解析：据线性回归方程的系数公式，所以(10)假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为，其中列联表如右；对于以下数据：；,对同一样本能说明X和Y有关的可能性最大一组为_（填序号）总 计abcd总计解析：利用，由题设数据，只要使最大即可，填例2已知函数：，其中：，记函数满足的事件为A，求事件A发生的概率解：由，可得，知满足事件A的区域的面积为：10，而满足所有条件的区域的面积从而得例3某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是019(1)求的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名；(3)已知245，245,求初三年级中女生比男生多的概率初一年级初二年级初三年级女生373xy男生377370z解:(1) (2)初三年级人数为，用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：名(3)设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为；由(2)知 ，且,共有基本事件11个即事件A包含5个基本事件所以女生比男生多的概率为.例4(2009山东卷文)汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型有标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆）：轿车A轿车B轿车C舒适型100150标准型300450600按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车的10辆(1)求的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下: 94,86,92,96,87,93,90,82,把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过05的概率解:(1)设该厂这个月共生产轿车辆,由题意得:,所以,则(2)设所抽样本中有辆舒适型轿车,由题意:,得,因此抽取的容量为5的样本中,有2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车用表示2辆舒适型轿车,用表示3辆标准型轿车,用E表示事件“在该样本中任取2辆,其中至少有1辆舒适型轿车”,则基本事件空间包含的基本事件有: , 共10个，事件E包含的基本事件有:,共7个，故，即所求概率为(3)样本平均数,设D表示事件“从样本中任取一数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过05”,则基本事件空间中有8个基本事件,事件D包括的基本事件有:94,86,92,87,93,90,共6个,所以,即所求概率为.例5在半径为的圆围上随机取三点，求为锐角三角形的概率解：设为锐角三角形的事件为如图，设则， 作出的区域如右图，若为锐角三角形则作出的区域如右图影阴部分,所以为锐角三角形的概率例6在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：(1)在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；(2)估计纤度落在中的概率及纤度小于的概率是多少？(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（如区间的中点值是）作为代表据此，估计纤度的期望分 组频 数频 率130,1,34)4004134,1,38)25025138,1,42)30030142,1,46)29029146,1,50)10010150,1,54)2002合 计100100解：样本数据频率/组距130134138142146150154(2)纤度落在中的概率约为，纤度小于140的概率约为(3)总体数据的期望约为【新题备选】1.已知一组抛物线，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是_解：共有44=16条抛物线，这些抛物线中任意抽取两条共有种， ，它们在与直线交点处的切线相互平行的抛物线符合相等当时，有1种；即当时，有3种；当时，有6种；当时，有3种；当时，有1种2.已知集合，在平面直角坐标系中，点的坐标计算：(1)点正好在第二象限的概率；(2)点不在轴上的概率； (3)点正好落在区域内的概率解：满足条件的点共有个 (1)正好在第二象限的点有,， 故点正好在第二象限的概率 (2)在轴上的点有,， 故点不在轴上的概率 (3)在所给区域内的点有, 故点在所给区域上的概率 答:略. 3.设有一个44网格，其各个最小的正方形的边长为，现用直径为的硬币投掷到此网格上,设每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点(1)求硬币落下后完全在最大的正方形内的概率；(2)求硬币落下后与网格线没有公共点的概率解：考虑圆心的运动情况(1)因为每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点，所以圆心的最大限度为原正方形向外再扩张1个小圆半径的区域，且四角为四分之圆弧；此时总面积为：1616416112=320；完全落在最大的正方形内时，圆心的位置在14为边长的正方形内，其面积为：1414=196；故硬币落下后完全在最大的正方形内的概率为：；(2)每个小正方形内与网格线没有公共点的部分是正中心的边长为2的正方形的内部，一共有16个小正方形，总面积有：1622=64；故硬币落下后与网格线没有公共点的概率为：答略4.若连续掷三次骰子，分别得到的点数为作为三角形三条边的长度，求能组成三角形的概率解：基本事件有种三边相等有6种；二边相等有种；三边不等有组成三角形的概率为【专题训练】一、填空题1某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验产品的质量.现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 , ， 辆 2抛掷一枚质地均匀的硬币2次，出现一次正面一次反面的概率为 3某暗盒中有大小相同的小球，一红两白，甲、乙依次从中各摸出一个（甲摸出后放回），则甲、乙摸到的球颜色不同的概率为 4已知集合，在集合任取一个元素，则事件“”的概率是 5在袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 _6如图6是两名篮球运动员在10场比赛中得分的茎叶图，从图中可以看出 的水平更高.7为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量产品数量的分组区间为，由此得到频率分布直方图如图7，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是_图6 图78某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为=_9已知一组数据的平均数为22，标准差为36，数据的平均数与标准差分别为 ， 10有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2 和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 11从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 12一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数之和等于16的概率为 13假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家,你父亲离家去工作的时间在早上7:008:00之间,则你父亲在离家前能得到报纸的概率是 14在区间0，1上任意取两个实数a，b，则函数在区间1，1上有且仅有一个零点的概率为 二、解答题15某热水瓶胆生产厂生产的10件产品中，有8件一级品，2件二级品，一级品和二级品在外观上没有区别从这10件产品中任意抽检2件，计算：(1)2件都是一级品的概率； (2)至少有一件二级品的概率16为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表，解答下列问题：分组频数频率60.570.50.1670.580.51080.590.5180.3690.5100.5合计50(1)若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，799，试写出第二组第一位学生的编号；(2)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内) ，并作出频率分布直方图；(3)若成绩在85.595.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的约多少人？17袋中有1个白球，2个黄球，问(1)从中一次性地随机摸出2个球，都是黄球的概率是多少？(2)先从中摸出一球，再从剩下的球中摸出一球，两次都是黄球的概率是多少？(3)先从中摸出一球，将它放回口袋中后，再摸一次，两次都是黄球的概率是多少？18栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为06，05，移栽后成活的概率分别为07，09(1)求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；(2)求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率19已知关于的一元二次函数(1)设集合P=1，2， 3和Q=1，1，2，3，4，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间上是增函数的概率；(2)设点（，）是区域内的随机点，求函数上是增函数的概率.20为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议.现对他前7次考试的数学成绩、物理成绩进行分析下面是该生7次考试的成绩数学888311792108100112物理949110896104101106(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；(2)已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议数据的线性回归方程为 参考公式： 【专题训练参考答案】1.16、30、10 2. 3. 4. 5. 6.乙 7.13 8. 9.5，12 10. 11.0.75 12. 13. 14. 解析1:，在上为增函数 ，作出图象易知解析2:函数在区间上有且仅有一个零点,所以,即,也就是,故满足图中阴影部分的面积为所以,函数在区间上有且仅 有一个零点的概率为15解:(1)设2件都是一级品为事件A从10件产品中抽取2件，共有45个基本事件，且都是等可能的而事件A的结果（即包含的基本事件数）有28种， 2件都是一级品的概率为P(A)=(2)设至少有一件二级品为事件B，则B是两个互斥事件“抽取的2件产品中包含了一件一级品，一件二级品（记为B1）”与“抽取的2件产品均为二级品（记为B2）”的和而P(B1）=，P(B2)=， P(B)=P(B1+B2)=P(B1)+ P(B2)=至少有一件二级品的概率为16解: (1)编号为016； (2) 分组频数频率60.570.580.1670.580.5100.2080.590.5180.3690.5100.5140.28合计501 分数频率组距 (3)在被抽到的学生中获二奖的人数是9+7=16人，占样本的比例是，即获二等奖的概率约为32%，所以获二等奖的人数估计为80032%=256人。答：获二等奖的大约有256人。 17解:(1)从袋中一次性地摸出2个球，作为一次实验，此实验就此一步，从袋中一次性地摸出2个球的结果总数为3，都是黄球的结果数为1，所以概率为(2)先从中摸出一球，再从剩下的球中摸出一球，作为一次实验，此实验分为两步，第一步为：从袋中摸出一球，第二步为：再从剩下的球中摸出一球法一：画树状图 由树状图可看出，总结果数为6，两次都是黄球的结果数为2，所以两次都是黄球的概率为法二：第一步从袋中摸出一个黄球的概率为，当第一步摸出了黄球时，剩下的两个球为1个白球，1个黄球，所以此时第二步再从剩下的两个球中摸出一个黄球的概率为,所以两次都是黄球的概率为(3)法一：因为每次摸球都是从三个球中摸出一个，所以每次摸黄球的概率都为，二次都摸到黄球的概率为法二：每次摸球的结果都是3，对于第一次的每个结果，第二次都有3个结果与之对应，所以两次摸球的结果总数为两次结果的乘积，每次摸黄球的结果数都为2，所以两次都摸到黄球的结果数为，概率为18解:分别记甲、乙两种果树成苗为事件；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件,(1)甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为；(2)解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件，则，恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为19解:(1)函数的图象的对称轴为要使在区间上为增函数，当且仅当0且 若=1则=1；若=2则=1，1；若=3则=1，1； 事件包含基本事件的个数是1+2+2=5 所求事件的概率为 (2)由(1)知当且仅当且0时，函数上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为构成所求事件的区域为三角形部分. 由 得交点坐标为所求事件的概率为 20解:(1)； ； ， 从而，所以物理成绩更稳定. (2)由于与之间具有线性相关关系， 线性回归方程为.当时，.【专题训练】(理科内容)一、填空题1. 设随机事件A、B，则= 2.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球.从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是 （用数字作答）.3.在某项测量中，测量结果服从正态分布若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为 4.一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，设停止时,取球次数为随机变量,则 _（只需列式，不需计算结果）5.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是_（元）。二、解答题6.为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.7.如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2.当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90.分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2. 8.某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示：市场情形概率价格与产量的函数关系式好0.4中0.4差0.2设分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量，表示当产量为而市场前景无法确定的利润(1)分别求利润与产量的函数关系式；(2)当产量确定时，求期望；(3)试问产量取何值时，取得最大值9. 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是。()若袋中共有10个球，()求白球的个数； ()从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望。()求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于。并指出