2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题.doc

2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答（2017年4月9日）选择题答案123456AABDCD填空题答案123456782489.52504101一、选择题1集合A=2, 0, 1, 7，B=x| x22A, x2A，则集合B的所有元素之积为（A）36 （B）54 （C）72 （D）108答：A解：由x22A，可得x2=4，2，3，9，即x=2，3又因为x2A，所以x2，x3，故x= 2，3因此，集合B=2, , , , ，3所以，集合B的所有元素的乘积等于(2)()()()()(3)=362已知锐角ABC的顶点A到它的垂心与外心的距离相等，则tan()=（A） （B） （C）1 （D）答：AABCDOHKE解：作锐角ABC的外接圆，这个圆的圆心O在形内，高AD，CE相交于点H，锐角ABC的垂心H也在形内连接BO交O于K，BK为的直径. 连接AK，CK因为AD，CE是ABC的高，KAB，KCB是直径BK上的圆周角，所以KAB=KCB=90于是KA/CE，KC/AD，因此AKCH是平行四边形所以KC=AH=AO=BK在直角KCB中，由KC=BK，得BKC=60，所以BAC=BKC=60故tan()= tan30=3将正奇数的集合1, 3, 5, 7, 从小到大按第n组2n1个数进行分组：1，3, 5, 7，9, 11, 13, 15, 17，数2017位于第k组中，则k为（A）31 （B）32 （C）33 （D）34答：B.解：数2017是数列an= 2n 1的第1009项设2017位于第k组，则1+3+5+(2k1)1009，且1+3+5+(2k3)1009即k是不等式组的正整数解，解得k =32，所以2017在第32组中ABOyxy =4如图，平面直角坐标系x-O-y中，A, B是函数y =在第I象限的图象上两点，满足OAB=90且AO = AB，则等腰直角OAB的面积等于（A） （B） （C） （D）答：DABOyxy =DC解：依题意，OAB=90且AO = AB，AOB=ABO=45过点A做y轴垂线交y轴于点C，过点B做y轴平行线，交直线CA于点D易见COADAB设点A(a, )，则点B(a +, a)因为点B在函数y =的图象上，所以(a +)( a)=1，即 a2=1因此SABC =OA2=(+ a2) =5已知f (x) = x5 + a1x4 + a2x3 + a3x2 + a4x + a5，且当m =1, 2, 3, 4时，f (m)=2017m，则f (10)f (5)=（A）71655 （B）75156 （C）75615 （D）76515答：C解：因为 当m =1, 2, 3, 4时，f (m)=2017m，所以1, 2, 3, 4是方程f (x)2017x=0的四个实根，由于5次多项式f (x)2017x有5个根，设第5个根为p，则f (x)2017x = (x1)(x2)(x3)(x4)(xp)即 f (x) = (x1)(x2)(x3)(x4)(xp)+2017x所以f (10)=9876(10p)+201710，f (5)=6789(5+p)20175，因此f (10) f (5)=15(9876+2017)=756156已知函数若存在实数m，使得关于x的方程f (x)=m有四个不同的实根，则a的取值范围是（A） （B） （C） （D）答：D解：要使方程f (x)=m有四个不同的实根，必须使得y=m的图像与y=f(x)的图像有4个不同的交点而直线与y=|x|的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y=m与函数y=|x|, xa的图像和y=x24ax+2a, xa的图像的交点分别都是2个而存在实数m，使y=m与y=|x|, xa的图像有两个交点，需要a0，此时0ma；又因为y=x24ax+2a, xa顶点的纵坐标为，所以，要y=m与y=x24ax+2a, xa的图像有两个交点，需要m因此y=m的图像与y=f(x)的图像有4个不同的交点需要满足：0ma且m，解得二、填空题1. 用x表示不超过x的最大整数，设，求的值答：24解：因为121, 2, 322，所以1, , 2，因此，共3个1；同理，224, 5, 6, 7, 832，因此，共5个2；又329, 10, 11, 12, 13, 14, 1542，因此，共7个3；依次类推，共9个4；，共11个5；，共13个6；，共15个7；，共17个8；，共19个9. S = ()+()+()= 13+25+37+49+511+613+715+817+919=615因为242=576615=S625=252，即2425，所以，=242确定(20172017201720172017)的值答：8解：原式=(20172017201720172017) =(2481632)= (2122232425)=(21+2+3+4+5)=(215)=23=83已知ABC的边AB=厘米，BC=厘米，CA=厘米，求ABC的面积NAM BCP答：9.5平方厘米解：注意到13=32+22，29=52+22，34=52+32，作边长为5厘米的正方形AMNP，分成25个1平方厘米的正方形网格，如图根据勾股定理，可知，AB=厘米，BC=厘米，CA=厘米，因此ABC的面积可求ABC的面积=55352523=9.5（平方厘米）4. 设函数的最大值为M，最小值为N，试确定M+N的值答：2解：由已知得因为=，所以，因此，是奇函数进而可判定，函数为奇函数则g(x)的最大值M1和最小值N1满足M1+N1= 0因为M =M1+1，N = N1+1，所以 M + N = 25设A是数集1, 2, , 2017的n元子集，且A中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定n的最大值答：504解：在数集1, 2, , 2017中选取子集，使得子集中任意两个数不互质，最大的子集是偶数集2, 4, , 2016共1008个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于1010的2倍是2020，所以集合A=1010, 1012, 1014, , 2016中，任意两个数既不互质，又不存在整除关系，A中恰有504个元素事实上504是n的最大值因为若从1009, 1011, , 2017中任取一个奇数，会与A中的与它相邻的偶数互质；若从1, 2, 3, , 1008中任取一数，则它的2倍在A中，存在整除关系BFADCEO6如图，以长为4厘米的线段AB的中点O为圆心、2厘米为半径画圆，交AB的中垂线于点E和F. 再分别以A、B为圆心，4厘米为半径画圆弧交射线AE于点C，交射线BE于点D. 再以E为圆心DE为半径画圆弧，求这4条实曲线弧连接成的“卵形”的面积（圆周率用表示，不取近似值）答：(124)4平方厘米解：半圆(O, 2)的面积=22=2因为AO=OB=2，所以AB=AC=BD=4，AE=BE=2，ED=EC=42又AEB=CED=90，EAB =EBA=45，因此，扇形BAD的面积=扇形ACB的面积=42=2，AEB的面积=42=4，直角扇形的面积=(42)2= 64，卵形的面积 = 半圆(O, 2)的面积+扇形BAD的面积+扇形ACB的面积AEB的面积+直角扇形的面积 = 2+224+64 = (124)4（平方厘米）7. 已知，求f (1)+f (2)+f (100)的值答：101解：设g(x) = x2100x+5000，则g(100x) = (100x)2100(100x)+5000=1002200x+x21002+100x+5000= x2100x+5000= g(x)，即 g(k) = g(100k)所以 f (k) + f (100k) = =2，又 f (50) = f (100)所以， f (1)+ f (2)+ f (100) = (f (1)+ f (99)+ (f (2)+ f (98)+ (f (49)+ f (51)+ f (50)+ f (100) = 249+1+2=1018如图，在锐角ABC中，AC = BC = 10，D是边AB上一点，ACD的内切圆和BCD的与BD边相切的旁切圆的半径都等于2，求AB的长DACB答：解：线段AB被两圆与AB的切点及点D分成四段，由于两圆半径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于是可将这四段线段长度分别记为a, b, b, c，由于圆O2的切线长CE = CG，所以BC+a = CD+b = (ACc+b)+b，而AC = BC，所以a+c = 2bDACBEGFO1O2abbc由等角关系可得A