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研究中考、把握规律、力求突破 - 西安市近几年中考数学压轴题分析一、压轴题的命题规律与趋势 中考都是以函数和几何图形的综合作为压轴题的主要形式，用到三角形、四边形、和圆的有关知识。09年、10年、11年、12年的动态几何探究性问题，在图形的变换过程中，探究图形中某些不变的因素，把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起在这类问题中，往往把锐角三角比作为几何计算的一种工具。它的重要作用有可能在压轴题中初露头角。特点一：题目都很长，需要学生很有耐心的阅读完题目，考验学生独立克服困难和运用知识解决问题的勇气和自信心；并能从题干中提取相关有效信息，转化为数学中的数、符号、图，或者建立函数模型，把认识到的通过观察、实验（动手操作）、归纳、类比、推断获得数学猜想的探索方法运用到数学问题的解决中去，真正体现数学来源于生活，服务于生活 强化学习数学的应用意识。特点二：主要以解决生活中的实际问题或趣味数学问题为目的，让学生抽象思维，实验探究，最终找到解决问题的方法。其中涉及图形最值问题，结合三角形、特殊四边形创设问题，主要考察学生综合运用所学的知识解决生活中的最优化问题，设计的内容有函数、几何最值、面积最值等，是对学生较高的数学素养的综合检验与考察。几何最值中注意构建模型，比如直线距离最短，垂线距离最短，包括将军饮马”模型的建构等。面积方面的最值要注意引进自变量，利用二次函数的性质解决最值问题。当然方程式与图形的综合也是常见的综合方式。特点三：综合性强，（1）、(2)问难度不大，(3)解题思路未完全打开，运算量较大，解题技巧强，同时也要求对函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想、整体及转化思想的灵活运用。下面以10、11、12中考压轴题为例简要分析：【2010陕西25】 问题探究 (1)请你在图中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分； （2）如图点M是矩形ABCD内一点，请你在图中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。 问题解决（3）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DCOB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处。为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由分析 对比08、09陕西中考第25题，2010年中考第25题仍然是平行式问题，其关键词是矩形，梯形面积等分问题。问题（1）回顾矩形性质，如图，过矩形对称中心的任意一条直线均可。问题（2）如图连结AC 、BC交与P则P为矩形对称中心。作直线MP，直线MP即为所求。问题（3）如图存在直线l，过点D作 DAOB与点A 则点P(4，2)为矩形ABCD的对称中心过点P的直线只要平分DOA的面积即可易知，在OD边上必存在点H使得PH将DOA 面积平分。从而，直线PH平分梯形OBCD的面积即直线 PH为所求直线l设直线PH的表达式为 y=kx+b 且点P(4,2)2=4k+b 即b=2-4k y=kx+2-4k直线OD的表达式为y=2x y=kx+2-4k 解之 y=2x 点H的坐标为（，）PH与线段AD的交点F（2,2-2k）02-2k4-1k1SDHF=解之，得。（舍去）b=8-直线l的表达式为y=总结此题在解题分析中拟定方案上没有太大的难度，但在实施方案时可能比较困难，这就需要勇敢地写出你的过程，真正将想法落实到底。因此，在解题训练中就要面对一些繁复的运算，培养解决困难的决心和勇气。 【2011陕西25】如图、在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F,然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕BEF”是一个_三角形(2)如图、甲在矩形ABCD,当它的“折痕BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕BEF”，并求出点F的坐标；（3）、如图，在矩形ABCD中， AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？ 分析 分析问题（1）的折叠，联想由轴对称的性质可知FB=FE，所以BEF是等腰三角形。同时关注轴对称的条件与性质可能是本题考察的重要内容。 分析（3）的一个关键考量是由折叠可知BEF的面积小于等于矩形ABCD面积的一半，也就是说BEF的最大面积是4。下面就算算BEF面积是4时点E的坐标。 【2012陕西25】 如图，正三角形的边长为（1）如图，正方形的顶点在边上，顶点在边上在正三角形及其内部，以为位似中心，作正方形的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形的边长；（3）如图，在正三角形中放入正方形和正方形，使得在边上，点分别在边上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由分析 本道题是以学生熟悉的正三角形和正方形为载体的几何综合题。问题设置具有明确的指向性和连续性，顺应学生的思维展开，不断深入，梯度较为明显。第一问，在考查学生观察、归纳推理能力同时，也为后续的解答起知识铺垫与方法启示作用；第三问突出转化与化归思想的考查，而且突出知识和方法迁移、类比推理能力的考查；问题由浅入深，层层递进，难度适宜。再考查函数知识、推理能力、运算能力等核心内容的同时，也考查了学生数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想以及分类与整合思想。二、解压轴题的具体措施 1.1要注意分析它的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是“并列”的还是“递进”的，这一点非常重要。一般说来，如果综合题（1）、（2）、（3）小题是并列关系，它们分别以大题的已知为条件进行解题，如果是“递进”关系，（1）的结论又是解（2）所必要的条件之一，（3）与（2）也是同样的关系。在有些较难的综合题里，这两种关系经常是兼而有之。 1.2事实证明：有相当一部分学生在压轴题的失分，并不是没有解题思路，而是错在非常基本的概念和简单的计算上，或是输在“审题”上。应当把功夫花在夯实基础、总结归纳、打通思路、总结规律、提高分析能力上。 1.3教学中可以试着把一些中考压轴题分解为若干个“合题”，进行剪裁和组合，或把一些较难的“填空题”，升格为“简答题”，把一些“熟题”变式为“陌生题”让学生进行练习。这样做，花的时间不多，却能取得比较理想的效果，并且还能使学生的思路“活”起来，逐步达到遇到问题会分析，碰到沟坎，会灵活运用已经学过的知识去解决这样的较高水平。3、 对备考复习的启示1、适当增加探究性、开放性题目的训练在复习中适当增加开放性题目，通过开放性的基本练习可以更好地理解并掌握知识的真谛；通过开放性的发散练习，打破思维定势，培养学生求异思维和灵活运用知识的能力。 2.1在教学中，渗透数学思想方法 数学思想方法是学生形成良好认知结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁，是培养学生数学观念，形成优良思维素质的关键。而灵活运用各种数学思想方法是提高解题能力的根本所在。同时要认识到数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的。为此，在教学中，首先要特别强调解决问题以后的“反思”，因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法，对学生来说才是易于体会、易于接受的。其次要注意渗透的长期性，应该看到，对学生数学思想方法的渗透不是一朝一夕就能见到学生数学能力的提高，而是有一个过程。记住：数学思想方法在教学中的渗透必须经过循序渐进和反复训练，才能使学生真正地有所领悟。 只要我们在教学中大胆实践，持之以恒，寓数学思想方法于平时的教学中，