4立体几何的创新视角(含答案).doc

4、立体几何试题的几个创新视角立体几何历来是高考改革的一块试验田.随着高考改革的不断深入，独具匠心的立体几何创新试题层出不穷，常令人目不暇接，望“题”赞叹.那么高考创新试题是从何处、用什么方法进行创新设计的呢？一、“大跨度组合”视角高考强调在知识的交会处设计试题，这就使实现大跨度组合成为了可能，近几年在许多地方的试卷中都出现了这样的试题，为逐步摆脱题海战术，起到了良好的导向作用. 例1（2004年北京卷理科）如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）。（A）直线 （B）圆 （C）双曲线 （D）抛物线分析：立体几何问题向平面几何转化是解决问题的一个途径.本题将立体几何中的“距离”与解析几何中的“轨迹”巧妙地组合起来，将解析几何问题转化为平面几何问题，揭示了不同数学分支之间的内在联系，令人倍感清新和谐、回味无穷.无独有偶,2004年重庆卷也有一道类似的高考题. 例2 (2004年重庆卷理科) 若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是（ ）.（A）（B）（C）（D）分析：利用普性遍与特殊性的关系，首先考虑特殊图形，当AC平面BCD时，问题化为点P到AB和BC距离相等的点的轨迹.显然，点P的轨迹是ABC的平分线.如图2所示. 当AC不垂直于平面BCD时，如图3所示，设点P到平面DBC、到边BC和到边AB的距离分别为h、dBC 、dAB，设ABCD的大小为，则=sin1，所以答案选D.【评注】 显然在这个相类似的问题中,重庆卷的题目比北京卷的要难一些二、“归纳、类比”视角开普勒说：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的.” 例3(2003年全国卷文科)在平面几何中，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 .”分析：关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面体多边形，体积面积，面积线段长，面边，二面角平面角勾股定理揭示了一个直角三角形的两条直角边与斜边三者之间的关系.由类比得知，要探讨的是题设的三棱椎ABCD的三个侧面与底面之间的面积关系.为了方便计算，可取一特殊三棱椎ABCD，它的三条侧棱两两垂直，且ABACAD1，则SACD=SABD =SABC=,SBCD=.由于()2+()2+()2=()2 ，由类比法得到S2ABCS2ACDS2ABDS2BCD.更一般的解法请读者自己完成.例4 (2004年春季高考上海卷)在DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DFEFcosDFE. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-A1B1C1的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.分析： 根据类比猜想得出.其中为侧面ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角.证明：作斜三棱柱ABC-A1B1C1的直截面DEF，则DFE为面ABB1A1与面BCC1B1所成角.在DEF中有余弦定理DE2=DF2+EF2-2DFEFcos，左右两边同乘以，得 ，即 .【评注】本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三棱柱的拓展推广，是合情推理的重要应用.三、“改变知识呈现方式”视角改变知识的呈现方式就成为高考创新试题设计的又一个新的视角.例5（1998年全国卷）如图4，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件 时，有A1CB1D1 (注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形)分析：本例中，告诉你结论，而要你探索结论成立的条件，改变了过去由条件导出结论的模式，有利于培养学生的探索能力和发散思维能力.其实，正话反说、陈述句改为疑问句、符号语言用图形语言给出等都是知识呈现方式的一种变化.例6 (1999年全国卷)、是两个不同的平面，m、n是平面和平面之外的两条不同直线.给出四个论断：mn；n；m.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： 。分析：本题通过改变条件与结论之间呈现的顺序与组合，使问题具备了探索性，将分析猜想证明的思维过程巧妙地融入了解题过程；同时也使问题具有了开放性，走出了数学答案唯一确定的误区.它们以新颖的知识呈现方式改变学生的常规思维，考查学生的创新能力.答案是或.四、“改变研究视角”视角高考数学命题一般是遵循“相对稳定，重点突出，稳中有变，变中求新，适度创新” 的基本原则高考要“稳”就是说有许多“常规题”，复习时应按“样题”进行训练高考有“重点”，就是说做到重点知识重点复习高考有“变”，就是说有一些“新问题”、“新方法”、“新知识”等高考求新是变化的必然趋势下面我们看看在高考中融入新方法的试题.例7（2008年北京卷理科）如图5，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M、N设BP=x，MN=y，则函数y=f(x)的图象大致是（ ）。分析：本题给出了变量自变量和因变量，给出了函数图象的选项，要求函数的大致图象。显然若能求出函数解析式，问题便解出，但却不是一件容易的事.改变研究视角是正确的选择：把MN向平面ABCD内作正投影，保持其长度不变，从而把空间问题转为平面问题，在平面内研究函数关系即可顺利完成.解：设正方体的棱长为a。由图形的对称性知点P始终是MN的中点，而且随着点P从点B向BD1的中点滑动，y的值逐渐增大到最大，再由BD1的中点向点D1滑动，y的值逐渐变小，由此排除选项A和C，如图6，把MN向平面ABCD内正投影得，则=MN=y,由于，所以，所以当时，为一次函数。故答案选B.【评注】MN向平面ABCD内作正投影是转化问题的关键.例8 如果一个n面体共有m个面是直角三角形，那我们称这个n面体的直度为.请构造一个直度是的四面体；是否存在直度为1的四面体？请说明理由；若一个n面体的直度为1，棱数为t，将t表示成n的函数；证明不存在直度为1的五面体.分析：本题的构造、归纳、抽象对一些考生而言都是全新的方法，既要研究问题给出的定义，又要寻找适合问题的模型，还要灵活运用反证法，对考生的学习能力和即时处理问题的能力是个考验.解：（1）直度是的四面体即为有且只有三个面是直角三角形的四面体，如图7，四面体PABC中，BAC=900，PA平面ABC，即PAB=PAC=BAC=900，此时，PBC为锐角三角形，满足题设. （2）存在直度为1的四面体，即四个面均为直角三角形的四面体PABC.只要PAABC且BCAB,由三垂线定理知PBBC.所以PAC=PAB=ABC=PBC=900。（3）由题意，n面体的n个面都是Rt，每个面有三条棱，每条棱在两个面上，所以，即.（4）若存在直度为1的五面体即五个面均为直角三角形，则棱数 . 因为 tN*，所以不成立.所以 不存在直度为1的五面体.五、“实验操作”视角数学在将获得的知识和结论按一定的逻辑体系整理后是一门演绎科学，但对知识的形成过程来说，又是一门实验科学.但数学实验有别于物理、化学实验，它更偏重于思维实验.以“实验操作”为视角设计的高考试题，亲身经历“做”数学的过程，体现了直观几何和论证几何的结合.它将空间想象能力的考查发挥到了极致.例9（2002年北京卷）关于直角AOB在定平面内的射影有如下判断：可能是0的角；可能为锐角；可能为直角；可能为钝角；可能为180的角.其中正确判断的序号是 （注：把你认为是正确判断的序号都填上）分析：本题一方面可用三角板做实验，从直观几何的角度猜测出结论；另一方面要求学生能从不同的角度思考问题，将运动的观点纳入立体几何的考查.答案为：。例10（2002年全国卷）（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图8、图9所示），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图8、图9中，并作简要说明；（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。分析：在当年，本题就像一股春风扑面而来，令人感到新鲜.其实本题主要考查的就是动手操作能力、空间想象能力、探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力，这是高考改革的命题方向，也是改变学生不重视实验操作的重要举措.解（I）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底（II）依上面剪拼方法，有推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为现在计算它们的高：，所以（III）如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱六、“新定义”视角给出新定义的问题，也叫信息迁移题，是指以考生已有的知识为基础，并给出一定容量的新信息，通过阅读获取有关信息，捕捉解题资料，发现问题的规律，找出解决方法，并应用于新问题解答的一类题目这类问题对考生的能力要求较高，可以考查考生临场阅读、提取信息和进行信息加工处理的能力，灵活运用基础知识的能力和分析问题、解决问题的综合能力.如今，“新定义”视角的高考题已经遍地开花，几乎每一套高考试题都能找到它的身影.例11 (2006年上海卷文科)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）（A）48 （B） 18 （C） 24 （D）36 分析：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”例12 (2006年江西卷文科)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（）。（A）等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等（B）等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补（C）等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆（D）等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上分析：本题的新定义中，其最大特点是侧棱相等，从而可推出与其等价的性质因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故选项A、C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故选项D正确，选项B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立.故答案选B.【评注】 自定义题也是近年来受命题者青睐的题型，源于它能较好地考查学生对新知识的阅读理解能力，而这恰是学生后续学习必须具备的能力.如本题，自定义“等腰四棱锥”这个概念，在理解这个概念的基础上，逐个判断所给问题，难度不大，但具较新的形式.七、“陈题翻新”视角可以说，“陈题翻新”历来是高考考题的主要来源，这是考题源于教材又高于教材的需要，也是稳定和创新的需要.回顾近年来的试题，那些最有冲击力的题目，往往是在我们的意料之外，而又在情理之中的问题，即“陈题翻新”的试题.例13（2009年安徽卷理科）对于四面体ABCD，下列命题正确的是_.（写出所有正确命题的编号） 相对棱AB与CD所在的直线异面；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点;最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱.分析：本题的设问方式早就出现过了，四面体也是我们最熟悉的模型，但问题中的研究方法却是创新的，比如命题5的设问和求解就有一定的难度.解：其他问题比较简单，我们就命题进行解答.第个命题可以等价为：在四面体中，以过最长棱的任意一个端点的两条棱和最长棱为边长可以构成一个三角形.先证明这样一个辅助命题：任一四面体ABCD中，总存在一个顶点，以四面体交于该点的三条棱为边长，可以组成一个三角形.分析四面体有四个顶点，直接推证哪个顶点符合题意比较困难，我们不妨从问题的反面入手，即用反证法证明.假设这样的顶点不存在，是否有矛盾呢？不妨设四面体ABCD六条棱中最长的一条是AB，若过点A的三条棱AB、AC、AD不能构成三角形，过点B的三条棱BA、BC、BD也不能构成三角形.因为AB是所有棱中最长的一条，且AB、AC、AD不能构成三角形，所以AD+ACAB，同理BD+BCAB，相加得2AB（AD+AC）+（BD+BC）=（AC+BC）+（AD+BD），又因为在ABD中，AD+BDAB， 在ABC中，AC+BCAB,所以（AC+BC）+（AD+BD）2AB，显然矛盾.因此，A、B两点中必有一点符合题意，命题得证.本题答案应填.例14一只小船以10 m/s的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s的速度前进（如图10），现在小船在水平面上的P点以南的40米处，汽车在桥上Q点以西的30米处（其中PQ水平面），则小船与汽车间的最短距离为 .（不考虑汽车与小船本身的大小）.分析：本题是我们非常熟悉的一个数学模型，通过植入实际问题给予包装，给了我们全新的感觉.其实，解决问题的实质是没有变化的.解：设经过时间t汽车在A点，船在B点（如图11），则AQ=3020t,BP=4010t,PQ=20,且有AQBP，PQAQ，PQPB。设小船所在平面为,AQ,QP确定的平面为,记=l,由AQ,AQ得AQl。又PQ水平面，即PQ。作ACPQ，则AC.连接CB，则ACCB .再由AQBP，CPAQ得CPBP，所以AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+（4010t）2+(3020t)2=1005(t2)2+9,所以t=2时AB最短，最短距离为30 m.八、立体几何中的动态问题例15、下图1表示一个正方体的展开图，图中AB、CD、EF、GH这四条直线在原正方体中相互异面的有（ ）A 2对 B 3对 C 4对 D 5对AHCDEB(G)AHGFEDCB(F)图2图1分析：将展开图1翻折成正方体后，如图2，可知共有3对异面直线：AB和CD；EF和GH；AB和GH，所以选择B例16：在透明长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌一些水，固定底面一边于地面BC上，将容器倾斜，随着倾斜度的不同，判断下列命题真假：（1）水的部分始终呈棱柱形（2）水面四边形EFGH的面积不会改变（3）棱A1D1始终与水面EFGH平行A1B1AD1C1BCDHGFE（4）如图2倾斜时，BEBF为定值A1B1AD1C1BCDHGFE图2图1分析：命题1，由于在倾斜过程中，长方体两侧面ABB1A1与CDD1C1的平行关系始终保持不变，所以有水部分几何体的两底面总平行，而其余各面为四边形，所以有水部分始终为棱柱。真命题！BPAC命题2，显然水平放置是的水面面积与略倾斜时的水面面积是不同的。假