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“两个基本计数原理”教学案例苏州市第五中学 赵莉（215008）一、 目标定位计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想.本节课内容是学生在已有的利用列举法进行计数的基础上，进一步研究计数的规律，归纳出两种基本计数原理从思想方法的角度看,一个是将问题进行分类思考,一个是将问题进行分步思考,从而达到分解问题解决问题的目的本节课由浅入深、螺旋上升，由特殊到一般，培养学生的抽象概括能力所以，无论在知识的结构上，还是对学生的能力培养上，本节课都有十分重要的作用基于本节课在教材中的地位和作用，根据课程标准的要求，结合学生的认知特点，本节课的目标定位如下：(一) 知识与技能1. 准确理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理,弄清它们的区别；2. 会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题(二) 过程与方法1. 培养学生的归纳概括能力,提高他们分析问题和解决问题的能力；2. 培养学生比较,类比,归纳等数学思想方法和灵活运用的能力(三) 情感态度价值观1. 认识数学知识与现实生活的内在联系，激发学生的兴趣；2. 引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式二、 案例聚焦1. 用什么方法引导学生归纳出两个计数原理对分类计数原理和分步计数原理的理解，学生往往有困难，或是停留在一种朴素的阶段使学生切实理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理的概念是上好本节课的关键，可多设置问题情境,用一些具体的生活中的实例来帮助学生理解2. 如何让学生正确区分分类和分步的含义让学生自主去探索，获取结论通过比较分析分类加法计数原理与分步乘法计数原理的差异分类加法计数原理中每类方法都能独立完成某件事；分步乘法计数原理中必须每步都做了，才能完成某件事三、 教学示例1. 问题情境情境：春天来了,要从上海到杭州旅游,可以乘火车,也可以乘汽车.我们怎么选择自己的出行呢？把它抽象成一个简单的数学问题.问题1.1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.若一天中火车有3列,汽车有2辆.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的走法?2. 学生活动学生根据生活经验,解答问题1.1，并试图寻找规律.设问：从甲地到乙地的交通工具可分为_类方式？第一类方式，乘火车，有_种方法；第二类方式，乘汽车，有_种方法；所以从甲地到乙地有_种方法.问题1.2：若除了火车和汽车外,还可以乘飞机.一天中飞机有架.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的走法?问题1.3：上述每类方式的每种方法能否单独实现从甲地到乙地的目的?问题2.1：从甲地到乙地有3条道路，从乙地到丙地有2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的方法？学生根据生活经验,解答问题2，并试图寻找规律.设问：从甲地到丙地须经_再由_到丙地，有_个步骤？第一步，由甲地到乙地，有_种方法；第二步，由乙地到丙地，有_种方法；所以从甲地到丙地有_种方法. 问题2.2: 若从丙地到丁地的道路有条那么先从甲地到乙地，再从乙地到丙地，最后从丙地到丁地共有多少种不同的走法？问题2.3: 上述每步的每种方法能否单独实现从甲地到丁地的目的?3. 建构数学(1)分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有种不同的方法，在第2类方式中有种不同的方法，在第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法(2)分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法设计意图 引导学生找出两个原理的相同点和区别,从而使以往的生活经验抽象出来,上升为数学上的一般规律,用这一规律来解决更多的问题4. 数学运用例1 某班共有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会(1)若学校分配给该班1名代表,有多少种不同的选法?(2)若学校分配给该班2名代表,且男、女生代表各1名,有多少种不同的选法? 设计意图 例1(1)是单独用分类计数原理的例题,例1(2)是单独用分步计数原理的例题设计它们的目的是巩固所学的两个基本原理例2 (1)在图(1)的电路中,只合上一只开关以接通电路,有多少种不同的方法?(2)(1) (2)在图(2)的电路中,合上两只开关以接通电路,有多少种不同的方法? 分析 (1)在图(1)中按要求接通电路,只要在A中的两个开关或中的三个开关中合上一只即可,故有2+3=5种不同的方法. (2)在图(2)中,按要求接通电路,必须分两步进行;第一步,合上A中的一只开关;第二步,合上B中的一只开关.故有23 = 6种不同的方法. 设计意图 例2给出了这两个基本原理的一个直观模型,借助串连电路和并联电路来理解两个基本计数原理,弄清它们的区别例3 苏州的部分电话号码是051265,后面六个数字均来自09这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码?引申 若要求最后6个数字不重复,则又有多少种不同的电话号码?设计意图 例3可直接用分步计数原理来解决在处理时要引导学生对运用基本原理的探求过程进行分析,以深化对基本计数原理的理解例4 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种? 分析 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成，所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 2 11 = 6 种. 设计意图 例4是个难度较大的问题,要引导学生思考为什么完成这件事要分4个步骤,如何选择恰当的顺序来实现这4个步骤引申 若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢？课堂PK小测试(6题中选2题完成)（1） 为了对某农作物新品选择最佳生产条件,在分别有3种不同土质,2种不同施肥量,4种不同种植密度,3种不同时间的因素下进行种植试验,则不同的实验方案共有_种?（2） 一个商店销售某种型号的电视机，其中国产品牌有4种，合资品牌有7种，要买1台这种型号的电视机，有多少种不同的选法？（3） 设有5副不同的油画，2副不同的国画，7副不同的水彩画从这些油画、国画、水彩画中各选一副布置房间，有几种不同的选法？（4） 由数字1、2、3、4、5 可以组成多少个不同的三位数？（5） 我们班级里有4名同学参加学校里的京剧社、国画社、航模小组，每人限报其中的1个社团，不同的报名方法有多少种？（6） 如图,从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路,从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路从甲地到丁地共有多少种不同的走法？5. 回顾小结分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，它不仅是推导排列数与组合数计算公式的依据，而且其基本思想贯穿于解决本章应用问题的始终要注意“类”间互相独立，“步”间互相联系四、 案例反思1. 本节课的设计意图（1）通过问题形式，引导学生在解决问题的过程中获取新知；（2）由浅入深，螺旋上升，由特殊到一般，充分体现新课程的理念；（3）引导学生自主学习的过程中，渗透了思想方法教育.2. 课堂亮点本节课的高潮在于课堂练习的形式，从中央台“幸运52”中得到启发，让两个同学进行PK的游戏, 给出6道题,两位选手各自为对方选不同的一道题来回答，答对得1分，比比哪个同学的得分高。这个环节一引入，就得到了同学的强烈响应，他们踊跃参与都想露一手。这样极大的调动了学生的积极性，活跃了课堂气氛，而且还对本节课的教学效果做了及时的反馈，达到了预期的目的，效果良好。3. 教学活动充分发挥学生的参