北京市东城区2015届高三上学期期末数学试卷(文科)(Word版含解析).doc

北京市东城区2015届高三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）已知集合A=xZ|1x2，集合B=0，2，4，则AB=（）A0，2B0，2，4C1，0，2，4D1，0，1，2，42（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+）上为增函数的是（）Ay=lnxBy=x3Cy=3xDy=sinx3（5分）若xR，则“x1”，则“x21”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件4（5分）当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A6B8C14D305（5分）已知cos=，（，0），则sin2的值为（）ABCD6（5分）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案：（ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）测量A，C，b测量a，b，C测量A，B，a测量a，b，B则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为（）ABCD7（5分）已知=（1，3），=（m，2m3），平面上任意向量都可以唯一地表示为=+（，R），则实数m的取值范围是（）A（，0）（0，+）B（，3）C（，3）（3，+）D3，3）8（5分）已知两点M（1，0），N（1，0），若直线y=k（x2）上至少存在三个点P，使得MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是（）A，0）（0，B，0）（0，C，D5，5二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）已知抛物线的方程为y2=4x，则其焦点到准线的距离为10（5分）若=1+mi（mR），则m=11（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为cm12（5分）已知x，y满足则z=2x+y的最大值为13（5分）设函数f（x）=则f（f（）=；若函数g（x）=f（x）k存在两个零点，则实数k的取值范围是14（5分）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定购物付款总额要求如下：如果一次性购物不超过200元，则不给予优惠；如果一次性购物超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；如果一次性购物超过500元，则500元按第条给予优惠，剩余部分给予7折优惠甲单独购买A商品实际付款100元，乙单独购买B商品实际付款450元，若丙一次性购买A，B两件商品，则应付款元三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（13分）已知函数f（x）=Asin（x）（A0，0）的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为（）求f（x）的解析式及最小正周期；（）设（0，），且f（）=1，求的值16（13分）已知数列an是等差数列，数列bn是公比大于零的等比数列，且a1=b1=2，a3=b3=8（）求数列an和bn的通项公式；（）记cn=abn，求数列cn的前n项和Sn17（14分）在三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA=90，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP（）求证：AC平面PBC；（）求证：CM平面BEF；（）若PB=BC=CA=2，求三棱锥EABC的体积18（13分）为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50，60），90，100的数据）（）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在90，100内的概率19（13分）已知椭圆C1：+y2=1，椭圆C2的中心在坐标原点，焦点在y轴上，与C1有相同的离心率，且过椭圆C1的长轴端点（）求椭圆C2的标准方程；（）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，若=2，求直线AB的方程20（14分）已知函数f（x）=alnxbx2，a，bR（）若f（x）在x=1处与直线y=相切，求a，b的值；（）在（）的条件下，求f（x）在，e上的最大值；（）若不等式f（x）x对所有的b（，0，x（e，e2都成立，求a的取值范围北京市东城区2015届高三上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）已知集合A=xZ|1x2，集合B=0，2，4，则AB=（）A0，2B0，2，4C1，0，2，4D1，0，1，2，4考点：交集及其运算 专题：集合分析：根据集合的交集运算进行求解解答：解：集合A=xZ|1x2=1，0，1，2，集合B=0，2，4，则AB=0，2，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础2（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+）上为增函数的是（）Ay=lnxBy=x3Cy=3xDy=sinx考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可解答：解：y=lnx的定义域为（0，+），关于原点不对称，即函数为非奇非偶函数y=x3是奇函数，又在区间（0，+）上为增函数，满足条件y=3X在区间（0，+）上为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件y=sinx是奇函数，但在（0，+）上不是单调函数，故选：B点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性3（5分）若xR，则“x1”，则“x21”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：常规题型分析：直接利用充要条件的判定判断方法判断即可解答：解：因为“x1”，则“x21”；但是“x21”不一定有“x1”，所以“x1”，是“x21”成立的充分不必要条件故选A点评：本题考查充要条件的判定方法的应用，考查计算能力4（5分）当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A6B8C14D30考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=54，退出循环，输出s的值为30解答：解：由程序框图可知：k=1，s=2k=2，s=6k=3，s=14k=4，s=30k=54，退出循环，输出s的值为30故选：D点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查5（5分）已知cos=，（，0），则sin2的值为（）ABCD考点：二倍角的正弦 专题：计算题；三角函数的求值分析：由已知及同角三角函数的关系式可先求sin的值，从而有倍角公式即可代入求值解答：解：cos=，（，0），sin=，sin2=2sincos=2=故选：D点评：本题主要考查了同角三角函数的关系式，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题6（5分）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案：（ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）测量A，C，b测量a，b，C测量A，B，a测量a，b，B则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为（）ABCD考点：解三角形的实际应用 专题：计算题；解三角形分析：根据图形，可以知道a，b可以测得，角A、B、C也可测得，利用测量的数据，求解A，B两点间的距离唯一即可解答：解：对于可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离对于直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离对于测量a，b，B，sinA=，ba，此时A不唯一故选：A点评：本题以实际问题为素材，考查解三角形的实际应用，解题的关键是分析哪些可测量，哪些不可直接测量，注意正弦定理的应用7（5分）已知=（1，3），=（m，2m3），平面上任意向量都可以唯一地表示为=+（，R），则实数m的取值范围是（）A（，0）（0，+）B（，3）C（，3）（3，+）D3，3）考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：首先，根据题意，得向量，不共线，然后，根据坐标运算求解实数m的取值范围解答：解：根据平面向量基本定理，得向量，不共线，=（1，3），=（m，2m3），2m33m0，m3故选：C点评：本题重点考查了向量的共线的条件、坐标运算等知识，属于中档题8（5分）已知两点M（1，0），N（1，0），若直线y=k（x2）上至少存在三个点P，使得MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是（）A，0）（0，B，0）（0，C，D5，5考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 专题：直线与圆分析：当k=0时，M、N、P三点共线，构不成三角形，故k0MNP是直角三角形，由直径对的圆周角是直角，知直线和以MN为直径的圆有公共点即可，由此能求出实数k的取值范围解答：解：当k=0时，M、N、P三点共线，构不成三角形，k0，如图所示，MNP是直角三角形，有三种情况：当M是直角顶点时，直线上有唯一点P1点满足条件；当N是直角顶点时，直线上有唯一点P3满足条件；当P是直角顶点时，此时至少有一个点P满足条件由直径对的圆周角是直角，知直线和以MN为直径的圆有公共点即可，则，解得k，且k0实数k的取值范围是，0）（0，故选：B点评：本题考查直线与圆的位置关系等基础知识，意在考查运用方程思想求解能力，考查数形结合思想的灵活运用二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）已知抛物线的方程为y2=4x，则其焦点到准线的距离为2考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由抛物线y2=2px的焦点为（，0），准线为x=，可得抛物线y2=4x的焦点为（1，0），准线为x=1，再由点到直线的距离公式计算即可得到解答：解：抛物线y2=2px的焦点为（，0），准线为x=，则抛物线y2=4x的焦点为（1，0），准线为x=1，则焦点到准线的距离为2故答案为：2点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点和准线方程，同时考查点到直线的距离的求法，属于基础题10（5分）若=1+mi（mR），则m=2考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、复数相等即可得出解答：解：1+mi=12i，m=2故答案为：2点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题11（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为cm考点：由三视图还原实物图 专题：空间位置关系与距离分析：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案解答：解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中PA平面ABCD，PA=3，AB=3，AD=4，PB=3，PC=，PD=5该几何体最长棱的棱长为：故答案为：点评：本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键12（5分）已知x，y满足则z=2x+y的最大值为7考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即A（3，1），代入目标函数z=2x+y得z=23+1=6+1=7即目标函数z=2x+y的最大值为7故答案为：7点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法13（5分）设函数f（x）=则f（f（）=；若函数g（x）=f（x）k存在两个零点，则实数k的取值范围是（0.1考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：直接利用分段函数求解第一个空，利用函数的图象求解第二问解答：解：函数f（x）=则f（f（）=f（1）=；函数g（x）=f（x）k存在两个零点，即f（x）=k存在两个解，如图：可得a（0，1故答案为：；（0，1点评：本题考查函数的零点以及分段函数的应用，考查数形结合以及计算能力14（5分）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定购物付款总额要求如下：如果一次性购物不超过200元，则不给予优惠；如果一次性购物超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；如果一次性购物超过500元，则500元按第条给予优惠，剩余部分给予7折优惠甲单独购买A商品实际付款100元，乙单独购买B商品实际付款450元，若丙一次性购买A，B两件商品，则应付款520元考点：分段函数的应用 专题：应用题；函数的性质及应用分析：单独购买A，B分别付款100元与450元，而450元是优惠后的付款价格，实际标价为4500.9=500元，若丙一次性购买A，B两件商品，即价值100+500=600元的商品，按规定（3）进行优惠计算即可解答：解：甲单独购买A商品实际付款100元，乙单独购买B商品实际付款450元，由于商场的优惠规定，100元的商品未优惠，而450元的商品是按九折优惠后的，则实际商品价格为4500.9=500元，若丙一次性购买A，B两件商品，即价值100+500=600元的商品时，应付款为：5000.9+（600500）0.7=450+70=520（元）故答案为：520点评：本题考查了应用函数解答实际问题的知识，解题关键是读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的解题途径，从而解答问题，是基础题三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（13分）已知函数f（x）=Asin（x）（A0，0）的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为（）求f（x）的解析式及最小正周期；（）设（0，），且f（）=1，求的值考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（）由最大值为2可求A的值，由图象相邻两条对称轴之间的距离为，得最小正周期T，根据周期公式即可求，从而得解；（）由得，由，得，从而可解得的值解答：（共13分）解：（）因为函数f（x）的最大值为2，所以A=2由图象相邻两条对称轴之间的距离为，得最小正周期T=所以=2故函数的解析式为（6分）（），由得因为，所以所以，故（13分）点评：本题主要考查了由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查了周期公式的应用，属于基本知识的考查16（13分）已知数列an是等差数列，数列bn是公比大于零的等比数列，且a1=b1=2，a3=b3=8（）求数列an和bn的通项公式；（）记cn=abn，求数列cn的前n项和Sn考点：等差数列与等比数列的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（）设出等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，且q0由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（）由cn=abn结合数列an和bn的通项公式得到数列cn的通项公式，结合等比数列的前n项和求得数列cn的前n项和Sn解答：解：（）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，且q0由a1=2，a3=8，得8=2+2d，解得d=3an=2+（n1）3=3n1，nN*由b1=2，b3=8，得8=2q2，又q0，解得q=2，nN*；（），=32n+1n6点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是中档题17（14分）在三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA=90，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP（）求证：AC平面PBC；（）求证：CM平面BEF；（）若PB=BC=CA=2，求三棱锥EABC的体积考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 专题：证明题；空间位置关系与距离分析：（）由PB底面ABC，可证ACPB，由BCA=90，可得ACCB又PBCB=B，即可证明AC平面PBC （）取AF的中点G，连结CG，GM可得EFCG又CG平面BEF，有EF平面BEF，有CG平面BEF，同理证明GM平面BEF，有平面CMG平面BEF，即可证明CM平面BEF（）取BC中点D，连结ED，可得EDPB，由PB底面ABC，故ED底面ABC，由PB=BC=CA=2，即可求得三棱锥EABC的体积解答：（共14分）证明：（）因为PB底面ABC，且AC底面ABC，所以ACPB由BCA=90，可得ACCB又PBCB=B，所以AC平面PBC （5分）（）取AF的中点G，连结CG，GM因为AF=2FP，G为AF中点，所以F为PG中点在PCG中，E，F分别为PC，PG中点，所以EFCG又CG平面BEF，EF平面BEF，所以CG平面BEF同理可证GM平面BEF又CGGM=G，所以平面CMG平面BEF又CM平面CMG，所以CM平面BEF（11分）（）取BC中点D，连结ED在PBC中，E，D分别为中点，所以EDPB因为PB底面ABC，所以ED底面ABC由PB=BC=CA=2，可得 （14分）点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，三棱锥体积公式的应用，正确做出相应的辅助线是解题的关键，考查了转化思想，属于中档题18（13分）为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50，60），90，100的数据）（）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在90，100内的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 专题：概率与统计分析：（）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（）由题意可知，分数在80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在90，100内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，列举法易得解答：解：（）由题意可知，样本容量，x=0.1000.0040.0100.0160.040=0.030；（）由题意可知，分数在80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在90，100内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）其中2名同学的分数都不在90，100内的情况有10种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）所抽取的2名学生中至少有一人得分在90，100内的概率点评：本题考查列举法求古典概型的概率，涉及频率分布直方图，属基础题19（13分）已知椭圆C1：+y2=1，椭圆C2的中心在坐标原点，焦点在y轴上，与C1有相同的离心率，且过椭圆C1的长轴端点（）求椭圆C2的标准方程；（）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，若=2，求直线AB的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）通过设椭圆C2的方程为：，由C1方程可得，计算即得结论；（）通过及（）知可设直线AB的方程为y=kx，并分别代入两椭圆中、利用，计算即可解答：解：（）由C1方程可得，依题意可设椭圆C2的方程为：，由已知C1的