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可降阶高阶微分方程 机动目录上页下页返回结束 第五节 一 型的微分方程 二 型的微分方程 三 型的微分方程 第七章 一 令 因此 即 同理可得 依次通过n次积分 可得含n个任意常数的通解 型的微分方程 机动目录上页下页返回结束 例1 解 机动目录上页下页返回结束 型的微分方程 设 原方程化为一阶方程 设其通解为 则得 再一次积分 得原方程的通解 二 机动目录上页下页返回结束 例2 求解 解 代入方程得 分离变量 积分得 利用 于是有 两端再积分得 利用 因此所求特解为 机动目录上页下页返回结束 三 型的微分方程 令 故方程化为 设其通解为 即得 分离变量后积分 得原方程的通解 机动目录上页下页返回结束 例3 求解 代入方程得 两端积分得 一阶线性齐次方程 故所求通解为 解 机动目录上页下页返回结束 例4 解初值问题 解 令 代入方程得 积分得 利用初始条件 根据 积分得 故所求特解为 得 机动目录上页下页返回结束 内容小结 可降阶微分方程的解法 降阶法 逐次积分 令 令 机动目录上页下页返回结束 P3231 5 7 10 2 3 6 3 4 作业 第七节目录上页下页返回结束 思考与练习 1 方程 如何代换求解 答 令 或 一般说 用前者方便些 均可 有时用后者方便 例如 2 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 答 1 一般情况 边解边定常数计算简便 2 遇到开平方时 要根据题意确定正负号 机动目录上页下页返回结束 为曲边的曲边梯形面积 上述两直线与x轴围成的三角形面 3 二阶可导 且 上任一点P x y 作该曲线的 切线及x轴的垂线 区间 0 x 上以 解 于是 在点P x y 处的切线倾角为 满足的方程 积记为 99考研 机动目录上页下页返回结束 再利用y 0 1得 利用 得 两边对x求导 得 定解条件为 方程化为 利用定解条件得 得 故所求曲线方程为 机动目录上页下页返回结束 速度 大小为2v 方向指向A 提示 设t时刻B位于 x y 如图所示 则有 去分母后两边对x求导 得 又由于 设物体A从点 0 1 出发 以大小为常数v 备用题 的速度沿y轴正向运动 物体B从 1 0 出发 试建立物体B的运动轨迹应满 足的微分方程及
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