导数与微分课件.ppt

第2章导数与微分 结束 本章共六节 大体上分为两部分 其中第一部分是导数 第二部分是微分 从结构上来说它们是平行的 2 1 1引出导数概念的实例 例1平面曲线的切线斜率曲线的图像如图所示 在曲线上任取两点和 作割线 割线的斜率为 2 1导数的概念 这里为割线MN的倾角 设是切线MT的倾角 当时 点N沿曲线趋于点M 若上式的极限存在 记为k 则此极限值k就是所求切线MT的斜率 即 当趋向于0时 如果极限 设某产品的总成本C是产量Q的函数 即C C Q 当产量Q从变到时 总成本相应地改变量为当产量从变到时 总成本的平均变化率 存在 则称此极限是产量为时总成本的变化率 例2产品总成本的变化率 定义设y f x 在点x0的某邻域内有定义 属于该邻域 记若存在 则称其极限值为y f x 在点x0处的导数 记为 或 2 1 2导数的概念 导数定义与下面的形式等价 若y f x 在x x0的导数存在 则称y f x 在点x0处可导 反之称y f x 在x x0不可导 此时意味着不存在 函数的可导性与函数的连续性的概念都是描述函数在一点处的性态 导数的大小反映了函数在一点处变化 增大或减小 的快慢 书上50页还有几个常见的形式 值得注意的是其中的第二个一般来说只能在已知导数存在的时候使用 另外 导数为无穷只是个记号 不代表导数存在 三 左导数与右导数左导数 右导数 显然可以用下面的形式来定义左 右导数 定理3 1y f x 在x x0可导的充分必要条件是y f x 在x x0的左 右导数存在且相等 三 导数的几何意义 当自变量从变化到时 曲线y f x 上的点由变到 此时为割线两端点M0 M的横坐标之差 而则为M0 M的纵坐标之差 所以即为过M0 M两点的割线的斜率 曲线y f x 在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲线y f x 无限接近时的极限位置M0P 因而当时 割线斜率的极限值就是切线的斜率 即 所以 导数的几何意义是曲线y f x 在点M0 x0 f x0 处的切线斜率 M0 M 设函数y f x 在点处可导 则曲线y f x 在点处的切线方程为 而当时 曲线在的切线方程为 即法线平行y轴 当时 曲线在的法线方程为 而当时 曲线在的法线方程为 例3求函数的导数解 1 求增量 2 算比值 3 取极限 同理可得 特别地 例4求曲线在点处的切线与法线方程 解 因为 由导数几何意义 曲线在点的切线与法线的斜率分别为 于是所求的切线方程为 即法线方程为 即 2 1 4可导性与连续性的关系 定理2若函数y f x 在点x0处可导 则f x 在点x0处连续 证因为f x 在点x0处可导 故有 根据函数极限与无穷小的关系 可得 两端乘以得 由此可见 即函数y f x 在点x0处连续 证毕 例5证明函数在x 0处连续但不可导 证因为 所以在x 0连续 而 即函数在x 0处左右导数不相等 从而在 x 0不可导 由此可见 函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件 但不是充分条件 即可导定连续 连续不一定可导 2 2 1函数的和 差 积 商的求导法则 2 2导数的运算 特别地 如果 可得公式 注 法则 1 2 均可推广到有限多个可导函数的情形 例 设u u x v v x w w x 在点x处均可导 则 解 例2设 解 例1 解 即 类似可得 例3求y tanx的导数 解 即 类似可得 例4求y secx的导数 2 2 2复合函数的导数 例7 解 解 例6 证因为的反函数 或 2 2 3反函数的求导法则 因此在对应的区间 1 1 内有 即 同理 基本导数公式表 2 2 4基本初等函数的导数 n阶导数 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数 2 3高阶导数 解 特别地 例9 解 即 同理 例8 简单介绍下求高阶导数的Leibniz公式 特别指出它和二项式展开的形式上的类似之处与差别 1 隐函数的导数 例10求方程所确定的函数的导数 解 方程两端对x求导得 2 5隐函数和由参数方程确定的函数的导数 隐函数即是由所确定的函数 其求导方法就是把y看成x的函数 方程两端同时对x求导 然后解出 即 例9 解一 例11 两边对x求导 由链导法有 解二称为对数求导法 可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数 开方及其它适用于对数化简的函数的求导 注 解二 两边对x求导得 例12 此即参数方程所确定函数的求导公式 2 参数方程所确定的函数的导数 变量y与x之间的函数关系有时是由参数方程 确定的 其中t称为参数 曲线t 1在处的切线斜率为 于是所求的切线方程为y x 简单介绍一下对由方程确定的函数求二阶导数的方法 关键是正确写出一阶导数的正确形式 2 6 1微分的概念 2 6微分 所以上式可写成 于是 2 3 1 式可写成 记为 于是函数 称自变量的微分 上式两端同除以自变量的微分 得 因此导数也称为微商 可微函数 如果函数在区间 a b 内每一点都可微 则称该函数在 a b 内可微 f x 在点x0处的微分又可写成 f x 在 a b 内任一点x处的微分记为 解 于是 面积的微分为 解 面积的增量 2 6 2微分的几何意义 2 6 3微分的运算法则 1 微分的基本公式 续前表 2 微分的四则运算法则 设u u x v v x 均可微 则 C为常数 3 复合函数的微分法则 利用微分形式不变性 可以计算复合函数和隐函数的微分 而 解 解 对方程两边求导 得 即导数为 微分为 例4 由以上讨论可以看出 微分与导数虽是两个不同的概念 但却紧密相关 求出了导数便立即可得微分 求出了微分亦可得导数