天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷(理科)(Word版含解析).doc

天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分）1（5分）复数z满足（zi）（2i）=5，则z=（）A22iB2+2iC22iD2+2i2（5分）已知全集U=R，A=y|y=2x+1，B=x|x1|+|x2|2，则（UA）B=（）ABx|x1Cx|x1Dx|0x13（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A2B4C5D204（5分）已知m，n为异面直线，m平面，n平面直线l满足lm，ln，l，l，则（）A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l5（5分）设x，yR，a1，b1，若ax=by=3，a+b=2的最大值为（）A2BC1D6（5分）设，则对任意实数a，b，a+b0是f（a）+f（b）0的（）A充分必要条件B充分而非必要条件C必要而非充分条件D既非充分也非必要条件7（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）ABCD8（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L距离”定义为|P1P2|=|x1x2|+|y1y2|则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）ABCD二、填空题：（每小题5分，共30分）9（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是10（5分）已知，则二项式的展开式中含x2项的系数是11（5分）如图，在ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BEAC于E，BE的延长线交DEC的外接圆于F，则EF的长为12（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（为参数） 则圆C上的点到直线l的距离的最大值为13（5分）如图，在四边形ABCD中，ABBC，AB=3，BC=4，ACD是等边三角形，则的值为14（5分）已知函数f（x）=ax+x2xlna，对x1，x20，1不等式|f（x1）f（x2）|a1恒成立，则a的取值范围三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分）15（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分（）求乙得分的分布列和数学期望；（）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率16（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx2cos2x+1（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值17（13分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB=3，BC=5（）求证：AA1平面ABC；（）求证二面角A1BC1B1的余弦值；（）证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值18（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8（）求椭圆E的方程（）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由19（14分）已知数列an的前n项和为Sn，若4Sn=（2n1）an+1+1，且a1=1（）证明：数列an是等差数列，并求出an的通项公式；（）设bn=，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn20（14分）设函数f（x）=lnx+x2ax（aR）（）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1（0，1，求证：f（x1）f（x2）+ln2；（）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a（2，4），总存在，使g（x）k（4a2）成立，求实数k的取值范围天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分）1（5分）复数z满足（zi）（2i）=5，则z=（）A22iB2+2iC22iD2+2i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：由复数z满足（zi）（2i）=5，变形为，再利用复数的运算法则即可得出解答：解：复数z满足（zi）（2i）=5，=2+2i故选：D点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题2（5分）已知全集U=R，A=y|y=2x+1，B=x|x1|+|x2|2，则（UA）B=（）ABx|x1Cx|x1Dx|0x1考点：绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算；函数的值域 专题：集合分析：求出两个集合，然后求解补集以及交集即可解答：解：全集U=R，A=y|y=2x+1=y|y1，UA=y|y1B=x|x1|+|x2|2=x|，则（UA）B=x|x1故选：B点评：本题考查函数的定义域，绝对值不等式的解法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力3（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A2B4C5D20考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件 的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+3y的最小值解答：解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+3y=z，显然当平行直线过点A（2，0）时，z取得最小值为4；故选B点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解4（5分）已知m，n为异面直线，m平面，n平面直线l满足lm，ln，l，l，则（）A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l考点：平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论 专题：空间位置关系与距离分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论解答：解：由m平面，直线l满足lm，且l，所以l，又n平面，ln，l，所以l由直线m，n为异面直线，且m平面，n平面，则与相交，否则，若则推出mn，与m，n异面矛盾故与相交，且交线平行于l故选D点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题5（5分）设x，yR，a1，b1，若ax=by=3，a+b=2的最大值为（）A2BC1D考点：基本不等式在最值问题中的应用 专题：不等式的解法及应用分析：将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值解答：解：ax=by=3，x=loga3=，y=logb3=，当且仅当a=b时取等号故选项为C点评：本试题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力6（5分）设，则对任意实数a，b，a+b0是f（a）+f（b）0的（）A充分必要条件B充分而非必要条件C必要而非充分条件D既非充分也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；奇函数 专题：计算题；压轴题分析：由f（x）=x3+log2（x+）=x3+log2=x3log2（x+）=f（x），知f（x）是奇函数所以f（x）在R上是增函数，a+b0可得af（a）+f（b）0成立；若f（a）+f（b）0则f（a）f（b）=f（b）由函数是增函数知a+b0成立a+b=0是f（a）+f（b）=0的充要条件解答：解：f（x）=x3+log2（x+），f（x）的定义域为Rf（x）=x3+log2（x+）=x3+log2=x3log2（x+）=f（x）f（x）是奇函数f（x）在（0，+）上是增函数f（x）在R上是增函数a+b0可得abf（a）f（b）=f（b）f（a）+f（b）0成立若f（a）+f（b）0则f（a）f（b）=f（b）由函数是增函数知aba+b0成立a+b0是f（a）+f（b）0的充要条件点评：本题考查充要条件的判断，解题时要注意单调性的合理运用7（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）ABCD考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，点A为椭圆C1：+y2=1上的点，2a=4，b=1，c=；|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；又四边形AF1BF2为矩形，+=，即x2+y2=（2c）2=12，由得：，解得x=2，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|AF1|=yx=2，2n=2=2，双曲线C2的离心率e=故选D点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题8（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L距离”定义为|P1P2|=|x1x2|+|y1y2|则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）ABCD考点：轨迹方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案解答：解：设F1（c，0），F2（c，0），再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L距离”之和等于m（m2c0），由题意可得：|x+c|+|y|+|xc|+|y|=m，即|x+c|+|xc|+2|y|=m当xc，y0时，方程化为2x2y+m=0；当xc，y0时，方程化为2x+2y+m=0；当cxc，y0时，方程化为y=；当cxc，y0时，方程化为y=c；当xc，y0时，方程化为2x+2ym=0；当xc，y0时，方程化为2x2ym=0结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求故选：A点评：本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题二、填空题：（每小题5分，共30分）9（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是10考点：程序框图 专题：图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：Sn是否继续循环循环前01第一圈02是第二圈33是第三圈54是第四圈105否此时S值为10故答案为：10点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题10（5分）已知，则二项式的展开式中含x2项的系数是192考点：二项式定理的应用；定积分 专题：计算题；概率与统计分析：先求定积分得出a的值，再在二项式展开式的通项公式中，再令x的系数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x2项的系数解答：解：已知=（sinxcosx）=2，则二项式= 的展开式的通项公式为 Tr+1=（1）r=x3r令3r=2，解得 r=1，故展开式中含x2项的系数是 =192，故答案为192点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题11（5分）如图，在ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BEAC于E，BE的延长线交DEC的外接圆于F，则EF的长为考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆；推理和证明分析：由已知条件求出BD=2，BE=，再由切割线定理知BEBF=BDBC，由此能求出EF解答：解：在ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BEAC于E，BD=2，BE=，BEBF=BDBC，解得EF=故答案为：点评：本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用12（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（为参数） 则圆C上的点到直线l的距离的最大值为3考点：参数方程化成普通方程 专题：坐标系和参数方程分析：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为3x4y+4=0，圆C的参数方程为（为参数），利用cos2+sin2=1，可得圆的普通方程求出圆心到直线l的距离d即可得出圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r解答：解：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为3x4y+4=0，圆C的参数方程为（为参数），cos2+sin2=1，圆的普通方程为（x2）2+y2=1圆心（2，0）到直线l的距离d=2 则圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r=3故答案为：3点评：本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13（5分）如图，在四边形ABCD中，ABBC，AB=3，BC=4，ACD是等边三角形，则的值为考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：通过题意可知AD=AC=5，cosCAD=，cosBAC=，利用=，代入计算即可解答：解：ABBC，AB=3，BC=4，AC=5，cosBAC=，又ACD是等边三角形，AD=AC=5，cosCAD=，=（）=，故答案为：点评：本题考查平面向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于中档题14（5分）已知函数f（x）=ax+x2xlna，对x1，x20，1不等式|f（x1）f（x2）|a1恒成立，则a的取值范围ae考点：利用导数求闭区间上函数的最值 专题：计算题；导数的综合应用分析：对x1，x20，1不等式|f（x1）f（x2）|a1恒成立等价于|f（x1）f（x2）|maxa1，而|f（x1）f（x2）|max=f（x）maxf（x）min，利用导数可判断函数的单调性，由单调性可求得函数的最值，解不等式即可解答：解：f（x）=axlna+2xlna=（ax1）lna+2x，当a1时，x0，1时，ax1，lna0，2x0，此时f（x）0；当0a1时，ax1，lna0，2x0，此时也有f（x）0，综上知，f（x）在0，1上单调递增，f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=a+1lna，而|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min=alna，由题意得，alnaa1，解得ae，故答案为：ae点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问难的能力三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分）15（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分（）求乙得分的分布列和数学期望；（）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率考点：离散型随机变量的期望与方差 专题：概率与统计分析：（）确定乙得分的取值，求出相应的概率，即可求得分布列和数学期望；（）利用对立事件的概率公式，即可求得甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率解答：解：（）设乙的得分为X，X的可能值有0，10，20，30（1分），（5分）乙得分的分布列为：X0102030P（6分）所以乙得分的数学期望为15（8分）（）乙通过测试的概率为（9分）甲通过测试的概率为（11分）甲、乙都没通过测试的概率为因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为（13分）点评：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题16（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx2cos2x+1（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；余弦定理 专题：三角函数的图像与性质；解三角形分析：（）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出的值代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，由正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调递增区间；（）由f（）=2，得到sin（A）=1，确定出A的度数，求出cosA的值，再由b，c的值，利用余弦定理即可求出a的值解答：解：（）f（x）sin2xcos2x=2（sin2xcos2x）=2sin（2x），=2，最小正周期T=；由2k2x2k+，kZ得，kxk+，kZ，则f（x）的单调递增区间为k，k+（kZ）；（）f（）=2，2sin（A）=2，即sin（A）=1，A=+2k，kZ，即A=+2k，kZ，又0A，A=，由余弦定理及b=1，c=2，cosA=得：a2=b2+c22bccosA=7，即a2=1+4+2=7，解得：a=点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，余弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键17（13分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB=3，BC=5（）求证：AA1平面ABC；（）求证二面角A1BC1B1的余弦值；（）证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（II）利用勾股定理的逆定理可得ABAC通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III）设点D的竖坐标为t，（0t4），在平面BCC1B1中作DEBC于E，可得D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出解答：（I）证明：AA1C1C是正方形，AA1AC又平面ABC平面AA1C1C，平面ABC平面AA1C1C=AC，AA1平面ABC（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3AC2+AB2=BC2，ABAC建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2）则，令y1=4，解得x1=0，z1=3，令x2=3，解得y2=4，z2=0，=二面角A1BC1B1的余弦值为（III）设点D的竖坐标为t，（0t4），在平面BCC1B1中作DEBC于E，可得D，=，=（0，3，4），解得t=点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力18（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8（）求椭圆E的方程（）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 专题：综合题；压轴题分析：（）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2c2=3，即可求得椭圆E的方程（）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m0，=0，进而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可解答：解：（）过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为84a=8，a=2e=，c=1b2=a2c2=3椭圆E的方程为（）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）m0，=0，（8km）24（4k2+3）（4m212）=04k2m2+3=0此时x0=，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x2）2+（y）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x）2+（y）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）点评：本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题19（14分）已知数列an的前n项和为Sn，若4Sn=（2n1）an+1+1，且a1=1（）证明：数列an是等差数列，并求出an的通项公式；（）设bn=，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（）利用4Sn=（2n1）an+1+1，写出4Sn1=（2n3）an+1，两式相减，得，利用累加法求解an，判断数列an是首项为1，公差为2的等差数列（）利用放缩法以及裂项法，直接证明求解即可解答：（）证明：因为4Sn=（2n1）an+1+1，所以当n2时，4Sn1=（2n3）an+1，两式相减，得4an=（2n1）an+1（2n3）an（n2），所以（2n+1）an=（2n1）an+1，即，在4Sn=（2n1）an+1+1中，令n=1，得a2=3，所以=，所以anan1=（2n1）（2n3）=2（n2），故数列an是首项为1，公差为2的等差数列，且an=2n1（）解：由（）知，当n=1时，；当n1时，所以点评：本题考查等差数列的判定，数列的递推关系式的应用，放缩法以及裂项求和的应用，考查分析问题解决问题的能力20（14分）设函数f（x）=lnx+x2ax（aR）（）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1（0，1，求证：f（x1）f（x