“震撼”的动感地带.doc

“震撼”的动感地带在数学学习中，我们常用到数学变换平移、旋转或翻折（对称），数学的运动变换给人以“动感”的美，堪称数学中的“动感地带”。数学变换的运用，正体现了数学思维方法的生动活泼性及灵活多样性。下面仅就旋转变换，结合实例和大家共同体验“旋转”所带给我们的动感吧！例1：如图所示，abc为等边三角形，点p为正三角形内一点，且ap=3，bp=4，cp=5，求abc的边长是多少？分析与思考：结合abc为正三角形及ap=3，bp=4，cp=5的特殊性（3，4，5为勾股数）考虑到利用旋转变换，进行转化。1.将apb绕点a逆时针旋转60，得adc，则可以判定apd为等边三角形。则pd=3，再注意到pdc中，pd=3，dc=pb=4，pc=5，则由此判定pdc为直角三角形，pdc=90，所以 并且等边三角形apd的面积可求，因为其边长pd=pa=ad=3所以： 。2.将cpa绕点c逆时针旋转60，得ceb，则可判定pce为等边三角形，且边长pe=5，观察pbe中，pb=4，be=ap=3，又pe=5，所以由此判定pbe为直角三角形。其中pbe=90，所以 且等边三角形pec面积为：。3.同理，将bpc绕点b逆时针旋转60，得bfa。则可判定bpf为等边三角形，且边长pf=4，观察apf这里我们通过旋转，巧妙的运用了旋转后所得到的特殊图形的“面积”及其它们之间的关系，顺利的解决了此处的问题。当然，我们还有更为简捷的方法解决这里的问题。等到今后的更高的年级里我们再进一步学习“余弦定理”之后，我们就可以利用“余弦定理”轻松地加以解决了。下面我们再看一例。例2：如图，abc为等边三角形，点p在abc内部，apbbpccpa=567，则以ap、bp、cp为边的三角形的三个内角各为多少？分析与思考：显然apb、bpc、cpa均可求出，因为apb+bpc+cpa=360，且apb：bpccpa=567。所以apb=100，bpc=120，cpa=140。考虑利用旋转，将pa、pb、pc三边集中到同一个三角形中去，将apb绕点a逆时针旋转60，得adc。则可以判定apd为等边三角形。于是ap=pd，且dc=pb，此时在pdc中的三个内角即为题中所要求的三个内角。显然：dpc=apc-adp=140-60=80。且pdc=adc-adp=apb-adp=100-60=40，所以：pdc=180-dpc-pdc=180-80-40=60。这样以ap，bp，cp为三边的三角形各内角分别为：40、60、80。例3：最后，再来看一个利用旋转变换求1到n的连续n个自然数的平方和的精彩的例子。如图（图中）将1、2、3、n作正三角形排列，排列的规则是：第k行的共k个位置上的所有数均为k，显然第k行所有数的和为k2，这样所有的第一到第n行的所有数的和应为s平方和=12+22+32+k2+n2。下面我们探求如何求出s平方和。将图绕正三角形的中心逆时针旋转120得图，再将图绕中心逆时针旋转120得图。现在将图、图、图三个正三角形再加以叠合，则叠合后对应的三个数的和为（2n+1），显然这样的“和”共有个，因此所有的数字的和应为： ，而另一方面所有的这些数字的和又可表示为：3（12+22+32+n2），比较上述的关系，我们自然得到以下关系式：3s平方和=。所以可得：s平方和=。利用此式可以很