方程法在山东高考题中的运用.doc

关于“方程思想”-对比：思考2005年山东文科22题。设A、B是轨迹C：上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为和当变化且时,证明直线AB恒过定点,并求出该定点的坐标.（法一）韦达定理如图,设由题意得（否则）且所以直线AB的斜率存在,设其方程为.显然将与联立消去得由韦达定理知由，得得：1=将（）式代入上式整理化简，得：即所以，AB恒过定点（法二）方程法由法一知：得：1=即：（*）设，由直线AB方程为：即：，将（*）式代入得：所以，AB恒过定点 注：此题将看成整体参数，作为一个变量处理！（法三）较麻烦，在此略！对比两种解法：（1） 体现方程思想的手段常见有：韦达定理、直接利用方程（抛物线设点）！（2） 体现运算能力：“量”与“式”的把握！法一是寻找两个变量的关系完全类似于2007山东理科21题；法二是对变量的整体把握（看成一个变量）！2005年山东理科22题与文科仅仅一点差别“”换成“=”，方法无异！2006山东高考理科21题：双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线。（1）求双曲线C的方程； （2）过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求点的坐标。解：（）双曲线的方程为（）解法一（韦达定理）由题意知直线的斜率存在且不等于零，设的方程：，则.，.，又，即，将代入得，否则与渐近线平行。解法二（方程法）：由题意知直线的斜率存在且不等于零。设的方程：，则在双曲线上，同理有：若则直线过顶点，不合题意.是二次方程的两根.，此时.所求的坐标为.（2008山东高考理科22题（3）问）如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为（）求证：三点的横坐标成等差数列；（）已知当点的坐标为时，求此时抛物线的方程；（）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由解：（）（法一：方程法）解：设，由题意得，则的中点坐标为，设直线的方程为，由点在直线上，并注意到点也在直线上，得若在抛物线上，则，因此或即或（1）当时，则，此时，点适合题意（2）当，对于，此时，又，所以，即，矛盾对于，因为，此时直线平行于轴，又，所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的点综上所述，仅存在一点适合题意（法二：数形结合）若则显然成立，为（0，-2p）若，显然此时，结果与前提矛盾！注意：此问目前为止没发现“韦达定理法”！2009山东高考理科22题（3）：椭圆E的方程为，已知圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且。求|AB |的取值范围. 解析：（法一：韦达定理法。略）（法二：方程法（函数法）再求是如果巧用“圆”的“数形结合”特性，也会是问题得到大大化简！通过题目不难发现，设直线与圆相切于T点，在直角三角形OAB中，,设，由射影定理知，又。可以解得下面求范围应该较答案法简单不少！此题充分说明“圆”与“椭圆”处理方式的区别，圆是“数形结合的精灵”，椭圆是体现“代数方法（坐标）研究几何问题的载体！”两者在高考考察是有明确（见考试说明-掌握椭圆方程几何性质性质；通过圆锥曲线理解数形结合的思想等）体现的！AOT此题还可以用三角代换法，还记得“三角代换”吗？像朵永不凋零的花。（法三）三角代换：如图，设，我觉得，函数既然是方程的一种形式，函数法或者导数法当然也属于“方程法”！（2009山东文22（3）设直线与圆C:(1R2)相切于A1,且与轨迹E：只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.解读：此题与2013山东理科22题（3）极为类似。法一联立判别式的方式不再展开了，也是运算量很大很大！法二：方程法+导数，由于直线是圆C与椭圆E公切线，由椭圆切线知：，椭圆切线的方程为：；同时作为圆的切线得：。2010山东高考理科21题（2）问解析（）设点P（，），则=，=，所以=，又点P（，）在双曲线上，所以有，。此处为典型的方程法。即，所以=1。2011山东理科22题（1）已知直线l与椭圆C: 交于P.Q两不同点，且OPQ的面积S=,其中Q为坐标原点。证明:和均为定值 解：（法一：韦达定理法简析）当直线的斜率不存在时，。 ，.当直线的斜率存在，设直线为，代入可得，即，即， 则，满足，综上可知，.（法二：方程法）：P Q 先讨论 。（1）；。（2）； 。（3）（2）+（3）（1） 同理时可证明结论同样成立！（法三）三角代换。令，（2012山东高考理科21题（2）问）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为。（）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；解析：（）假设存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M，而，由可得，则，即，解得，点M的坐标为.来源:学+科+网注：导数与函数也是方程的一部分。（2013山东高考数学理科22题）椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为 ，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l.（）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2,设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；解读（2）问：（只能运用法二：方程法）方式一：（）设点满足：点到的距离注意1：若不能合理使用方程，就只能平方，运算量巨大。注意2：分别就是，也就是椭圆的焦半径，此处恰好又给出了焦半径的一种推导方式，即对于椭圆：的焦半径：建议焦半径公式：可以补充给尖子生；（未必用第二定义，方程法即可推导出来！）（2013山东高考数学理科22题）椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为 ，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l.（）求椭圆C的方程； （）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2,设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；（）在（）的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1,PF2的斜率分别为k1，k2，若k0，试证明为定值，并求出这个定值.解读第（3）问：（法一：韦达定理）如图，由题意知：（法二：方程法）导数方式一：，以下略。导数方式二：结论法：椭圆的在点处的切线方程为：，所以，以下略。注意：椭圆切线的一般性结论：（可类比原点圆的切线：）对比：切线问题巧解2009山东文科22题（3）！2013山东高考数学文科22题（2）。A,B为椭圆C：上满足的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设，求实数的值解析： 法一：（韦达定理法，通法）见标准答案，运算量太大，过程惊人的与2011山东高考理科22题（1）问相似。法二：（方程法，通法）思维难度较大，全省甚至全国可能只有我们研究到此程度！ 法三：（方程法+三角代换法）我们知道，三角代换不是通法，只能解决部分解析几何问题。下面品味2011年青岛一模22题（2）问：设是椭圆：上的两个不同点,且点在第一象限,点在第三象限,若,为坐标原点,求直线的斜率；法一：（方程法，4个量与4个式，可以求出所有值）解析：从思路上看：4个量与4个式已经足够；从运算上看：消掉3个量剩1个自然解决！具体如下： 法二：利用向量加法的平行四边形法则（数形结合）推出直线恒过，注：此处也可以通过代数方式推出：设直线方程：与连理得：相对于法一，法二运算量更大，并且需要数形结合作为辅助，同样需要分析“量”与“式”，想想此种方法似乎较法一更加“间接”！而且我们做个变化可能法二就更加“无能为力”了！如：将“”改成“”然后改求的取值范围。此时，法一只是数值的变化而已；法二用形就很难处理了，还好找出定点吗？当然，法二用数依旧可以处理！其实运用这4个式与4个量得方式还有很多。总之：此题充分体现了解析几何的另一只被学生甚至老师 “隐形“的翅膀！很多学生甚至老师在处理解析几何问题时一旦无法运用韦达定理就会“束手就擒”，其实，韦达定理只是方程思想的一种处理方式而非全部，我们还有一双“翅膀“-直接运用方程！这种方法是被“隐形”的。其实，这种方法需要对“量”与“式”进行把握，是对方程思想的更直接运用，也是对运算能力尤其是符号运算的深度理解，是考查学生运算能力、方程思想的很好载体。（2011青岛二模22题）已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上.()求抛物线和椭圆的标准方程；()过点的直线交抛物线于、两不同点,交轴于点，已知为定值.()直线交椭圆于两不同点，在轴的射影分别为，若点满足：，证明：点在椭圆上.解：（）由焦点在圆上得:，所以：椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上可解得：，得椭圆：（）设直线的方程为，则.联立方程组 消去得:， 故 由，得， 整理得， （）设则11分由得：（1） ;（2）; （3）. 12分由（1）+（2）+（3）得：13分所以满足椭圆的方程，命题得证.14分（2011重庆理科20题（2）如图，椭圆，设动点P满足,其中M,N是椭圆上的点。直线OM与ON的斜率之积为。问：是否存在两个定点，使得为定值。若存在，求的坐标；若不存在，说明理由。解：设，,则由得，即，设分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，因此，因为点M,N在椭圆上，所以，（共6个量，5个式子，目的是找到的关系-即求出的轨迹应该是椭圆）故 ，所以，所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左右焦点为，则由椭圆的定义：为定值，又因，因此两焦点的坐标分别为关键是把握“量”与“式”。个人总结：对比这两种方法，我们不难发现：大部分解析几何题目都可以用这两种方法来处理；“联立韦达定理”不一定运算量小，只是我们比较熟悉而已；“直接用方程”不一定运算量大，只是往往他的运算更体现“运算能力”而非纯算数！注意：从这个对比特点来看，尽管山东高考数学解析几何的解答题6年来全部都能够用“联立未达定理”的方法来处理，但是由于“直接用方程”更能够体现运算能力，因此不排除山东高考调整的可能性，运算能力是山东高考数学要求的第一能力！ 2008青岛一模理科22题(2)、2009青岛一模理科21题（2）问、2010青岛一模理科22题(2)问、2011青岛一模文理科22题（2）问均重点对“直接用方程”进行了考察且都不方便用“联立韦达定理”； 2005山东高考文理科22题、2006山东高考理科21题、2009山东高考理科22题第（3）、2011山东理科22题（1）问均可以不通过韦达定理处理；现在我们很多同学一旦遇到不能