选修4－5 第2节 不等式的证明

第二节不等式的证明考纲传真通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法1基本不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a，b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立定理3：如果a，b，c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立定理4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立2不等式证明的方法(1)比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种.名称作差比较法作商比较法理论依据abab0 abab0abab0b0，1ab b0，1ab(2)综合法与分析法综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法即“由因导果”的方法分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法即“执果索因”的方法1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论()(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论()(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实()(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)若ab1，xa，yb，则x与y的大小关系是()AxyBxyCxyDxyAxyaab.由ab1得ab1，ab0，所以0，即xy0，所以xy.3(教材改编)已知ab0，M2a3b3，N2ab2a2b，则M，N的大小关系为_MN2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2b.4已知a0，b0且ln(ab)0，则的最小值是_4由题意得，ab1，a0，b0，(ab)2224，当且仅当ab时等号成立5已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.证明因为x0，y0，所以1xy230,1x2y30，8分故(1xy2)(1x2y)339xy.10分比较法证明不等式已知a0，b0，求证：.证明法一：()0，.10分法二：由于111.8分又a0，b0，0，.10分规律方法1.在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明ab转化为证明1(b0)2作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号提醒：在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号变式训练1(2017莆田模拟)设a，b是非负实数，求证：a2b2(ab). 【导学号：31222447】证明因为a2b2(ab)(a2a)(b2b)a()b()()(ab).6分因为a0，b0，所以不论ab0，还是0ab，都有ab与同号，所以(ab)0，所以a2b2(ab).10分综合法证明不等式设a，b，c均为正数，且abc1，证明： 【导学号：31222448】(1)abbcac；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca，由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1，所以3(abbcca)1，即abbcca.5分(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，则abc，所以1.10分规律方法1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：AB1B2BnB(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达式是“，”或“”2综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键变式训练2(2017石家庄调研)已知函数f(x)2|x1|x2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均为正实数，且满足abcm，求证：3.解(1)当x1时，f(x)2(x1)(x2)3x3；2分当1x2时，f(x)2(x1)(x2)x43,6)；当x2时，f(x)2(x1)(x2)3x6.综上，f(x)的最小值m3.5分(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足abc3，因为(abc)22(abc).8分(当且仅当abc1时取“”)所以abc，即3.10分分析法证明不等式(2015全国卷)设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd|的充要条件证明(1)a，b，c，d为正数，且abcd，欲证，只需证明()2()2，也就是证明ab2cd2，只需证明，即证abcd.由于abcd，因此.5分(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)，得.8分若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab|0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0，得ab1.2分(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.5分(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解(1)由，得ab2，当且仅当ab时等号成立.2分故a3b324，当且仅当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.5分(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.10分4(2017石家庄模拟)已知函数f(x)|x|x1|.(1)若f(x)|m1|恒成立，求实数m的最大值M；(2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2b2M，证明：ab2ab. 【导学号：31222449】解(1)f(x)|x|x1|x(x1)|1，当且仅当0x1时取等号，f(x)|x|x1|的最小值为1.3分要使f(x)|m1|恒成立，只需|m1|1，0m2，则m的最大值M2.5分(2)证明：由(1)知，a2b22，由a2b22ab，知ab1.又ab2，则(ab)2ab.8分由知，1.故ab2ab.10分5已知函数f(x)k|x3|，kR，且f(x3)0的解集为1,1(1)求k的值；(2)若a，b，c是正实数，且1.求证：a2b3c9. 【导学号：31222450】解(1)因为f(x)k|x3|，所以f(x3)0等价于|x|k，2分由|x|k有解，得k0，且解集为k，k因为f(x3)0的解集为1,1因此k1.5分(2)证明：由(1)知1，因为a，b，c为正实数所以a2b3c(a2b3c)332229.8分当且仅当a2b3c时等号成立因此a2b3c9.10分6(2017福州质检)已知函数f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)|2x1|1的解集M；(2)设a，bM，证明：f(ab)f(a)f(b)解(1)当x1时，原不等式可化为x12x2，解得x1；2分当1x时，原不等式可化为x12x2，解得x1，此时原不等式无解；当x时，原不等式可化为x12x，解得x1.综上，Mx|x1或x1.5分(2)证明：因为f(a