北师大版高中数学选修一第三章：《导数的概念及其几何意义-平均变化率的概念及几何意义》教案.doc

北师大版高中数学选修一第三章：导数的概念及其几何意义-平均变化率的概念及几何意义教案 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 二、知识讲解 本节课主要知识点解析，中高考考点、易错点分析 考点1：平均变化率概念 1上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 2若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样) 3则平均变化率为 考点2导数的概念 从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: 我们称它为函数在出的导数，记作或，即 说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 （2），当时，所以 考点/3导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率， 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: 求出P点的坐标; 求出函数在点处的变化率，得到曲线在点的切线的斜率； 利用点斜式求切线方程. 三、例题精析 【例题1】已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 【答案】 【解析】解：， 【例题2】求在附近的平均变化率 【答案】 【解析】解：，所以 所以在附近的平均变化率为 【例题3】求函数y=3x2在x=1处的导数. 【答案】6 【解析】：先求f=y=f(x)-f()=6x+(x)2 再求再求 【例题4】:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. 【答案】 【解析】, 所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为即 四、课堂运用 【基础】 1.求在到之间的平均变化率，并求，时平均变化率的值. 【解析】当变量从变到时，函数的平均变化率为 当，时，平均变化率的值为：. 2.求函数y=5x2+6在区间2，2+内的平均变化率 【解析】， 所以平均变化率为 【巩固】 1.自由落体运动的运动方程为，计算t从3s到3.1s，3.01s，3.001s各段内的平均速度（位移s的单位为m）。 【解析】要求平均速度，就是求的值，为此需求出、。 设在3，3.1内的平均速度为v1，则 所以。 同理。 2.过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率. 【解析】当时 【拔高】 1.用导数的定义，求函数在x=1处的导数 2.已知函数可导，若，求 【解析】（） （令t=x2，x1，t1） 课程小结 1函数yf(x)从x1到x2的平均变化率 函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为x2x1(x1). 若xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示为x(y). 2函数yf(x)在xx0处的导数 (1)定义 称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率lix(y) lix(x0)为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)lix(y). (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处切线的斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0) 课后作业 【基础】 1.利用导数的定义求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）。 【解析】（1）， （2）， （3）， （4）， 【巩固】 1.求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. 【解析】, 所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为即 2.求函数y=3x2在点处的导数. 【解析】因为 所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为即 【拔高】 1.已知函数可导，若，求 【解析】 2.在曲线y=x2上过哪一点的切线： （1）平行于直线y=4x5； （2）垂直于直线2x6y+5=0； （3）与x轴成135的倾斜角。 【解析】， 设所求切点坐标为P（x0，y0），则切线斜率为k=2x0 （1）因为切线与直线y=4x5平行，所以2x0=4，x0=2，y0=4， 即P（2，4）。 （2）因为切线与直线2x6y+5=0垂直，所以，得， （3）因为切线与x轴成135的倾斜角，所以其斜率为1。即2x0=1，得