减少解析几何运算量的常用策略2

减少解析几何运算量的若干方法在解决有些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往导致计算量过大，如果不具备较高的解几运算能力，就不易得到正确的运算结果。那么如何正确地选择方法，减少解析几何题的计算量呢？下面介绍几种减少计算量的常用方法。一、 回归定义，以简驭繁 圆锥曲线的许多性质是由定义派生出来的。解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合的思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上。例1、在面积为1的PMN中，=,建立适当的坐标系，求以M、N为焦点且过点P的椭圆方程(93年高考题)分析：在该题的题设条件中，其实是给出了PMN的两内角的大小及它的面积。因此我们应考虑如何应用平几知识和椭圆定义将问题解决。解：建立如图1所示的坐标系，设所求的椭圆方程为，则由椭圆定义有，过点向轴作垂线，垂足为，。由平面几何知识有: ,，。所求的椭圆方程为说明：在上述解题过程中，是所求椭圆的长轴长，它是减轻本题运算量的关键。例2、长度为a的线段AB的两端点在抛物线=2py(a2p0)上运动，以AB的中点C为圆心作圆和抛物线的准线相切，求圆的最小半径（85年湖北省六市高考预选题）。图2分析:这里其实就是要求定长弦AB的中点C到准线的最小距离。由于AB中点到准线的距离等于AB两端点到准线的距离的算术平均值，所以问题就进一步转化为求A、B两点到准线距离之和的最小值。由抛物线的定义知：A、B两点到准线的距离分别等于它们到焦点的距离，所以当线段A、B过焦点时，A、B两点到焦点的距离之和取得最小值，这时A、B两点到准线的距离之和也取得最小值，所以点C到准线的距离取得最小值。解：如图2，过弦AB的两端分别作准线的垂线，垂足为G、H,又设圆C与抛物线的准线切于D,设抛物线的焦点F,连CD、AF、BF。由抛物线的定义，且a。上式中的等号当且仅当AB过焦点F时成立。所以圆C的最小半径是a.说明：因为过抛物线焦点的弦中，弦长最小的是通径（即过焦点且与对称轴垂直的弦），由于通径长为，所以抛物线的定长弦的长度大于等于时，本例的上述解法才成立，如果时，弦AB就不可能经过抛物线的焦点，这时应该是当AB与轴垂直时，AB中点C到准线的距离最小。设AB所在直线方程为，将它代入抛物线方程，得：，故点C到准线的距离为。所以这时圆C的最小半径为例3、设是曲线上三点，求证：的垂心也在该曲线上。分析：证垂心在曲线上，故只需求之值，而无需求、。解：、。则从而知同理，故有，并消去得：二、 设而不求，整体运算 在某些解析几何问题中，灵活把握曲线方程的特点，采用设而不求、整体代入、整体运算等方法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感到整体思维的和谐美。例4、椭圆上有两点P、Q，是原点，若OP、OQ斜率之积为。（1）求证：|OP|2+|OQ|2为定值。（2）求PQ的中点M的轨迹方程。解：（1）设P、Q的两点坐标分别为、Q,P、Q分别在椭圆上，且，得（3）代入（4）得，（1）+（2）得。（2）设P、Q的中点M的坐标为M，则有，（1）+（2）+（3）得，。即：，中点M的轨迹方程为三、 充分运用图形几何性质，简化（或避免）计算 解析几何中，曲线或图形都具有某些特殊的几何性质，若能发掘并充分运用这些几何性质，往往能简化运算或避免运算。例5、已知圆，动圆与轴相切，又与圆外切，过作动圆的切线，求切点的轨迹。图3解：设动圆与轴切于点，动圆与定圆切于点，切点在，故=，从而=，、共线。由切割线定理，（9）。又在中，故（10）。由（9）、（10），知。故的轨迹为圆（）说明：该题解题过程简捷，运算量小，主要得益于利用平几知识推导出 例6、已知是圆内的一定点，以为直角顶点作直角，、在圆上。求的中点M的轨迹方程。图4 解：如图所示，设，连结在中，是的中点，。在中，。 点的轨迹方程为。说明：这里利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，因此有。从而不必进行复杂的运算就可将问题解决。在初中平面几何中详细介绍过直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的一些性质，所以在解有关直线与圆、圆与圆的有关问题时更要注意充分利用图形的几何性质，这样必将大大减少运算量。四、 用“降维法”减少计算量变量的个数也称“维数”。确定直角坐标平面上的点只需两个量，因而直角坐标平面称为二维空间；但确定直线上的点只需一个量，直线称为一维空间。某些解析几何问题能通过投影等方法化为只与横坐标（或纵坐标）有关的问题，这种把高维空间问题转化为低维空间的方法称为降维法。 例7、已知；直线和曲线交于、两点，是这条直线上的点，且。求当变化时，点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（85年上海考题）解：设、在轴上的射影分别是、，这里是直线的倾斜角，。，即，（此式只与有关）也就是（1）将代入得：（2），。将它们代入（1），得（3）再将代入（3）以消去，即得轨迹方程。由于方程（2）当且仅当0时有实根（即直线与二次曲线有交点），因此。所以所求的轨迹是夹在两条平行直线和之间的椭圆的一部分，以及点。例8：如图，给出定点和直线，B是直线上的动点，的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的关系。解：设点C的坐标为，则AC的方程为：，于是B。由角平分线性质知：。设C在轴上的射影为，于是AC与CB之比等于它们在轴上的射影之比，即。又由于OB有。点C的轨迹方程为：。（）当时，点C的轨迹为椭圆；（）当时，点C的轨迹为抛物线（）当时，点C的轨迹为双曲线。说明：将AC与CB之比转化为它们在轴上的射影之比，从而转化为A、C、B三点横坐标有关的比值，是该例解题过程中能够减少运算量的关键。五、 利用韦达定理化繁为简 某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由韦达定理求出两根间的关系或有关线段长度间的关系。后者往往计算量小，解题过程简捷。例9、一直线截双曲线和它的渐近线，证明夹在渐近线与双曲线间的线段相等。（数学通报80年第6期）分析：如图，要证夹在渐近线间的线段相等，即证，只要证，即证：，于是只要证：AD的中点与BC的中点重合即可图5证明：如图设双曲线方程为（），则它的渐近线方程为设直线与双曲线的两支和它的两条渐近线交于（从左到右）、。由，消去得：。设其两根为、，依韦达定理，有：。由，消去得：。设其两根为、，依韦达定理，有：。因此，即。由于， 。当直线垂直于轴时结论显然成立。说明：A、D两点是直线与双曲线的两交点，所以将直线方程与双曲线联立，不解方程可以求出AD中点的坐标；而B、C两点是直线与双曲线两渐近线的两交点，方程是两渐近线的合成，因此只要将直线方程与两渐近线的合成方程联立，不解方程可以求出B、C中点的坐标，而不必分别求直线与两条渐近线的交点。例10、已知圆，及直线交于、，圆的动弦的中点在上，是否存在抛物线，恒与直线相切。图6解：连。令,则,。故。（1）视（1）为的一元二次方程，点在直线上0（2）。由（2）知直线上的点在抛物线的外部区域（不含焦点的区域）或在抛物线上。将的方程代入中得，。故存在抛物线恒与相切。六、 换元引参，功于渗透 换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等换元引参，往往起到化难为易、事半功倍之效。在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或变原题条件。 例11、已知椭圆，、是椭圆上的两点，线段的垂直一平分线与轴交于点，证明（92高考题） 分析：要证的是不等差数列式，由此联想到正余弦函数的有界性，联想到三角换元。 证明：、两点在椭圆上，设、，则中点,又,故，的垂直平分线的方程为。点在直线上，其坐标满足上面的方程，又，且。，又因，从而七、 选用方程适当形式，减少运算量 例12、离心率为的圆锥曲线中，过焦点F的对称轴与相应准线交于，过F的弦交曲线于M、N两点，过A而平行于MN的直线交曲线于B、C两点。求证：（摘自数学通报） 解：设圆锥曲线的方程为：（1）MN的方程为：（为参数）（2）将（2）代入（1），有：，设AC的方程为（为参数）（3）将（3）代入（1）有：，。图7 例13、过椭圆（）的中心O作互成角的三条半径、，求证：为定值。 解：椭圆的普通方程化为极坐标方程：。设与轴所成的角为，由题意知、与轴分别成、的角。 （定值）。由例12、例13可见，方程形式的选择要适当（读者可对照数学通报85年第3期第15页的解法）。一般地，涉及过定点的同一直线上的线段的和、差、积等问题，用直线的参数方程较好；涉及过圆锥曲线的焦点（或中心）的线段问题，曲线用极坐标方程为好。八、巧用圆心，避免复杂运算当我们需求解圆周上一动点到二次曲线上一动点距离的最值问题时，如用“心”去解，则可避免复杂运算，达到化繁为简的效果。PQOQxyO图8例14、己知点P是椭圆上一动点，点Q是圆上一动点，试求|PQ|的最大值。分析：如图8，当点、Q不共线时，因此，要求|PQ|的最大值，就应该使达到最大，即圆的圆心到椭圆上的动点P之间距离达到最大，将该最大值加半径就得所求。解：先求点到椭圆上任一点P的距离的最大值。设，于是,=当时，取最大值，取最大值，于是。说明：、若该题直接设、，则是一个含有与的二元最值问题，我们不易对它作进一步的运算，因此不能直接计算。、若我们从图形的特点出发，认为图8中（即圆与轴上方的交点）十分特殊，它与椭圆上点P的距离，则会产生错误，所以在该题求解过程中，没有利用价值。、若在例题中增加求当达到最大值时，P、Q两点的坐标，则应先求P点坐标。的延长线与圆的交点就是达到最大值时Q点的坐标。、从本例题的求解过程中，可以发现圆心的作用十分突出。当我们求解这类最值时，就应用“心”去解，才能避免复杂运算，化繁为简。练习：1、己知为椭圆的两个焦点，过作椭圆的弦AB。（1）求证：的周长为常数（2）若的周长为16，椭圆离心率，求椭圆的方程。xyOAB图92、已知双曲线上的三点、的横坐标、成等差数列，求证：、到焦点（右焦点）的距离也成等差数列。3、设A，B是抛物线上的点，且满足（是坐标原点，见图9）。求证：直线AB过定点，并求该定点的坐标。图104、在中，在直线上移动，求外心的轨迹方程，并说明是什么图形？5、若抛物线上存在两点关于直线对称，求的取值范围。6、如图10，已知曲线，直线，、从左到右的交点依次是、，（1） 求证：是定值；yxOQRP图11（2）为何值时，有最小值，最小值是多少？7、如图11所示，己知椭圆，直线。P是上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足，当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程。8、己知：点P是椭圆上一动点，点Q是圆上一动点。试求的最小值。9、己知：点P是抛物线上一动点，点Q是圆上一动点。试求|PQ|的最小值，及达到最小值时P、Q的坐标。练习解答：xyP3P2P3O图121、（1）证明：由椭圆定义，得的周长=（常数）（2）解：由第（1）小题结论知：，。又有，。所求椭圆方程为。2、证明：如图12,设点、到右准线的距离分别为、，椭圆的离心率为，则由双曲线的第二定义，得，。，。故、成等差数列3、证：设，则，即。，。过，的直线AB：，AB：， ,故直线AB恒过定点。4、解：设为的外心，又，是等腰三角形，过作于，则，。，。外心的轨迹为双曲线的左支。上述解法利用了平几知识大大减少了运算量给人耳目一新之感。xyOAB图135、解：如图13，设抛物线上两点关于直线对称，AB中点为，显然。，-，中点在直线上，。，-由、并根据韦达定理的逆定理知：是方程两相异实根，有，即，整理得：。6、解：本题涉及上的线段的和、差问题，的方程宜选用参数方程。设（为参数）代入中得：，。代入中得：，。图中，（1）为定值。令，则。0。当时，有，从而。故的最小值为，对应的的值为。7、解：以直角坐标原点为极点