江苏省南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试数学试卷.doc

南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试 数学 时间2013年3月 注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，均为非选择题（第1题第20题，共20题）。本试卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。3. 作答试题，必须用0.5毫米的黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。参考公式：球的表面积为，其中表示球的半径。一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上.1、已知集合，则= .2、若复数()是纯虚数，则= .3、已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为,两条渐近线的方程为,则该双曲线的标准方程为 .4、在等比数列中,若,则的值是 .5、在用二分法求方程的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为 .6.从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是 .7.已知等比数列的前项和为，若，则的值是 .8.已知双曲线的右焦点为若以为圆心的圆与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 .9.由命题“”是假命题，求得实数的取值范围是，则实数的值是 .10.已知实数满足约束条件（为常数），若目标函数的最大值是，则实数的值是 .11.已知函数，当时，则实数的取值范围是 .12、过定点(1,2)的直线在正半轴上的截距分别为,则4的最小值为 .13、已知是首项为a,公差为1的等差数列,.若对任意的,都有成立,则实数a的取值范围是 .14、已知，则 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定的区域内作答，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）在，已知（1） 求角值；（2） 求的最大值.16.（本小题满分14分）如图，在四棱柱中，已知平面平面且,.（1） 求证：（2） 若为棱的中点，求证：平面.第16题图17.（本小题满分14分）如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9和15，从建筑物的顶部看建筑物的视角.(1) 求的长度；第17题图(2) 在线段上取一点点与点不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点.（1） 求椭圆的方程；（2） 若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点（）设直线的斜率为直线的斜率为，求证：为定值；（）设过点垂直于的直线为.求证：直线过定点，并求出定点的坐标.19、(本小题满分16分)已知函数，(其中)，设.（）当时,试将表示成的函数,并探究函数是否有极值；(7分)（）当时，若存在，使成立，试求的范围. (9分)20、(本小题满分16分)已知为实数，数列满足，当时， （）；(5分)（）证明：对于数列，一定存在，使；(5分)（）令，当时，求证：(6分)南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试数学试题参考答案与评分标准一、填空题1. 2.2 3. 4.4 5.（说明:写成闭区间也算对） 6 78 9 10 11 12.32 13. 14.二、解答题15因为，由正弦定理，得，2分所以，所以，4分因为，所以6分 由，得，所以，10分因为，所以，12分当，即时，的最大值为 14分16在四边形中，因为，所以，2分又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，4分又因为平面，所以7分在三角形中，因为，且为中点，所以，9分又因为在四边形中，所以，所以，所以，12分因为平面，平面，所以平面14分17作，垂足为，则，设，则2分，化简得，解之得，或（舍）答：的长度为6分设，则，8分设，令，因为，得，当时，是减函数；当时，是增函数，所以，当时，取得最小值，即取得最小值，12分因为恒成立，所以，所以，因为在上是增函数，所以当时，取得最小值答：当为时，取得最小值 14分18由题意得 ，所以，又，2分消去可得，解得或（舍去），则，所以椭圆的方程为4分（）设，则，因为三点共线，所以， 所以，8分因为在椭圆上，所以，故为定值10分（）直线的斜率为，直线的斜率为,则直线的方程为，12分=，所以直线过定点 16分19. 解：（）, (3分) 设是的两根，则，在定义域内至多有一解,欲使在定义域内有极值，只需在内有解，且的值在根的左右两侧异号，得 (6分)综上：当时在定义域内有且仅有一个极值，当时在定义域内无极值 (7分)（）存在，使成立等价于的最大值大于0(9分)，,得.当时，得；当时，得 (12分)当时，不成立 (13分)当时，得；当时，得；综上得：或 (16分)20. 解:（）由题意知数列的前34项成首项为100,公差为3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,从而= (3分) =. (5分) （）证明：若,则题意成立(6分)若,此时数列的前若干项满足,即.设,则当时,.从而此时命题成立(8