02 数学模型 - 04控制系统的传递函数VIP

自动化学院自动化学院 第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型 第第4讲 控制系统的传递函数讲 控制系统的传递函数 王燕舞王燕舞 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 2 传递函数传递函数 为何引入传递函数 为何引入传递函数 微分方程模型微分方程模型的优缺点 的优缺点 是时间域的数学模型 比较直观 是时间域的数学模型 比较直观 借助于电子计算机可以迅速而准确的求得结果 借助于电子计算机可以迅速而准确的求得结果 不便于分析结构或参数变化对系统性能的影响 因此 微分方程的方法研究控制系统对于参数变化或结构形式 的改变的分析具有 不便于分析结构或参数变化对系统性能的影响 因此 微分方程的方法研究控制系统对于参数变化或结构形式 的改变的分析具有局限性局限性 传递函数传递函数 复数域的数学模型复数域的数学模型 在研究系统结构或参数变化对性能的影响方面非常方便 在研究系统结构或参数变化对性能的影响方面非常方便 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 3 传递函数传递函数 定义定义 线性定常系统线性定常系统的传递函数 是的传递函数 是零初始条件零初始条件下系统输出下系统输出 量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比 量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比 几点说明 几点说明 线性定常系统线性定常系统 不是线性定常的系统是否有传递函数 不是线性定常的系统是否有传递函数 零初始条件的含义 零初始条件的含义 1 系统的输入在系统的输入在t 0时才作用于系统 即在时才作用于系统 即在t 0时系统输 入及其各项导数均为零 时系统输 入及其各项导数均为零 2 输入在加于系统之前 系统为稳态 即在输入在加于系统之前 系统为稳态 即在t 0时输出及 其所有导数为零 时输出及 其所有导数为零 不满足零初始条件的系统是否有传递函数 不满足零初始条件的系统是否有传递函数 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 4 传递函数传递函数 式中式中c t 是系统输出量 是系统输出量 r t 是系统输入量 是系统输入量 ai i 1 2 n 和和 bj j 1 2 m 是与系统结构和参数有关的是与系统结构和参数有关的常系数常系数 实数实数 令令C s L c t R s L r t 设 设r t 和和c t 及其各阶导数在及其各阶导数在 t 0时的值为时的值为0 即满足 即满足零初始条件零初始条件 对上式中各项分别求拉氏 变换 可得 对上式中各项分别求拉氏 变换 可得s的代数方程为 由定义得系统的传递函数的 的代数方程为 由定义得系统的传递函数的标准形式标准形式为为 sRbsbsbsCasasa m m m m n n n n0 1 10 1 1 0 1 1 0 1 1 asasa bsbsb sR sC sG n n n n m m m m trbtr dt d btr dt d b tcatc dt d atc dt d a m m m m m m n n n n n n 0 1 1 1 0 1 1 1 设线性定常系统由 下述 设线性定常系统由 下述n阶线性常微分 方程描述 阶线性常微分 方程描述 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 5 几个概念几个概念 其中 其中 ai i 1 2 n 和和bj j 1 2 m 是与系统结构和参数有关 的常系数 是与系统结构和参数有关 的常系数 M s 为分子多项式 为分子多项式 N s 为分母多项式 对于实际的物 理系统 为分母多项式 对于实际的物 理系统 ai和和bj为实数 为实数 系统的系统的特征多项式特征多项式 分母多项式 分母多项式 系统的系统的特征方程特征方程 N s 0 系统的系统的极点极点 特征根特征根 N s 0的根 的根 系统的系统的零点零点 M s 0的根 的根 系统的系统的阶次阶次 分母多项式的阶次 分母多项式的阶次 零极点分布图零极点分布图 在复数平面上 用 表示零点 用 表 示极点 在复数平面上 用 表示零点 用 表 示极点 sN sM asasa bsbsb sR sC sG n n n n m m m m 0 1 1 0 1 1 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 j 零极点分布图 示意图 零极点分布图 示意图 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 6 传递函数的标准形式传递函数的标准形式 n j j m i i ps zs k sR sC sG 1 1 零极点形式 传递函数的分子分母经因式分解后可得零极点形式 传递函数的分子分母经因式分解后可得 有理分式形式 有理分式形式 0 1 1 0 1 1 asasa bsbsb sR sC sG n n n n m m m m 时间常数形式 将传递函数的分子分母变为时间常数形式 将传递函数的分子分母变为尾一多项式尾一多项式 并在实数范围内因式分解 并在实数范围内因式分解 1 12 1 1 12 1 2 2 22 21 22 22 21 sTsTsTsTs sssss K sR sC sG n v m l k zi pj为常数 为常数 K i i Tj j为常数 非负整数为常数 非负整数l和和v不同时非零 不同时非零 ai和和bj为常数 为常数 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 7 传递函数的性质传递函数的性质 1 传递函数与微分方程 将微分方程算符传递函数与微分方程 将微分方程算符d dt用复数用复数s置换可 以得到传递函数 反之亦然 置换可 以得到传递函数 反之亦然 2 传递函数反映系统自身固有特性 与输入和初始条件无关 传递函数反映系统自身固有特性 与输入和初始条件无关 3 不同的物理系统可能有相同的传递函数 而同一系统可以 有不同的传递函数 不同的物理系统可能有相同的传递函数 而同一系统可以 有不同的传递函数 4 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系 如果是多输入多输出系统 可以用 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系 如果是多输入多输出系统 可以用传递函数阵传递函数阵表示 表示 微分方程微分方程传递函数传递函数 d dts 零初始条件零初始条件 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 8 传递函数 例传递函数 例1 已知某电枢控制直流电动机系统的微分方程模型如下 求系统 的传递函数 已知某电枢控制直流电动机系统的微分方程模型如下 求系统 的传递函数 La MKuK dt d T 21 解 解 系统有两个输入 一个输出 因此需要求两个传递函数 首先对方程两边求拉氏变换得 系统有两个输入 一个输出 因此需要求两个传递函数 首先对方程两边求拉氏变换得 sMKsUKssTs La21 令负载转矩为令负载转矩为0 则求得电枢电压 和输出间的传递函数 则求得电枢电压 和输出间的传递函数 1 1 Ts K sU s a 令电枢电压为令电枢电压为0 则求得负载转矩 和输出间的传递函数 则求得负载转矩 和输出间的传递函数 1 2 Ts K sM s L 写成矩阵的形式 传递函数矩阵写成矩阵的形式 传递函数矩阵 sM sU sGs L a 11 21 Ts K Ts K sG满足满足 对于对于m个输入 个输入 n个输出的线性定常系统 传递函数矩阵是 一个 个输出的线性定常系统 传递函数矩阵是 一个n m阶矩阵 阶矩阵 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 9 传递函数的性质传递函数的性质 5 传递函数传递函数与与单位脉冲响应单位脉冲响应之间是拉氏变换与拉氏反变换的关 系 之间是拉氏变换与拉氏反变换的关 系 单位脉冲响应单位脉冲响应 零初始条件零初始条件下单位脉冲输入作用下的输出响应 类似的定义还有 单位阶跃响应 下单位脉冲输入作用下的输出响应 类似的定义还有 单位阶跃响应 sRsGsC 由于单位脉冲输入信号的拉氏变换为由于单位脉冲输入信号的拉氏变换为 1 tLsR 所以所以 sGsC 则则 sGLtc 1 证明 证明 设线性定常系统的传递函数为设线性定常系统的传递函数为G s 输入的拉氏变换 为 输入的拉氏变换 为R s 在零初始条件下 系统的输出为 证毕 在零初始条件下 系统的输出为 证毕 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 10 6 一般情况下 传递函数分子的阶数一般情况下 传递函数分子的阶数m与分母的阶数与分母的阶数n满足满足 n m 称为称为物理现实性条件物理现实性条件 为什么为什么m n在实际中不可实现 因为能量有限 系统具有惯性 假设存在 在实际中不可实现 因为能量有限 系统具有惯性 假设存在G s s 当输入信号为单位阶跃信号 当输入信号为单位阶跃信号1 t 时 系统的输出 时 系统的输出c t L 1 C s L 1 G s R s L 1 s s t 即为单位脉冲函数 这在现实世界是不可能的 即为单位脉冲函数 这在现实世界是不可能的 传递函数的性质传递函数的性质 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 11 传递函数的求解 例传递函数的求解 例2 已知某系统在零初始条件下 在输入信号已知某系统在零初始条件下 在输入信号r t 1 t 作用下 测 得输出响应为 求系统的传递函数 作用下 测 得输出响应为 求系统的传递函数 解 解 系统满足零初始条件 因此 只要分别求出系统输入和 输出的拉氏变换 求二者之比即得 系统输入的拉氏变换 系统满足零初始条件 因此 只要分别求出系统输入和 输出的拉氏变换 求二者之比即得 系统输入的拉氏变换 s 1 s R 2 1 1 21 sss sC 23 2 2 1 2 2 sssssR sC sG 输出的拉氏变换 则系统的传递函数 输出的拉氏变换 则系统的传递函数 0 21 2 teetc tt 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 传递函数的求解传递函数的求解 12 当不满足零初始条件时 如何求当不满足零初始条件时 如何求传递函数 传递函数 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 asasa sRbsb asasa r dt rd bsgc dt cd asf sC n n n n m m n n n n n n j n n i 传递函数传递函数 初始条件非初始条件非0 13 trbtr dt d btcatc dt d a m m m n n n00 如果如果初始条件不为初始条件不为0 根据拉氏变换的微分定理 由系统的微分方程模型 根据拉氏变换的微分定理 由系统的微分方程模型 kn n k k k n n n sc dt d sCs dt tcd L 0 1 1 1 对微分方程模型求拉氏变换可得 其中 对微分方程模型求拉氏变换可得 其中f 和和g 分别是输出及其各阶导数在零时刻的值和分别是输出及其各阶导数在零时刻的值和ai 输 输 入及其各阶导数在零时刻的值和入及其各阶导数在零时刻的值和bj 以及 以及s的函数 的函数 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 0 1 1 0 asasa sRbsb n n n n m m 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 asasa r dt rd bsgc dt cd asf sC n n n n n n j n n i 传递函数传递函数 初始条件非初始条件非0 14 当与输入有关的初始条件为当与输入有关的初始条件为0 时 仅由时 仅由输出的初始条件输出的初始条件和和传 递函数的分母多项式 传 递函数的分母多项式N s 决定 决定 trbtr dt d btcatc dt d a m m m n n n00 sN sM asasa bsbsb sG n n n n m m m m 0 1 1 0 1 1 由由初始条件初始条件产生 与输入无关 称为 产生 与输入无关 称为零输入响应零输入响应 改变输入不会改变零输入响应 改变输入不会改变零输入响应 21 sCsC 微分方程模型 该微分方程模型对应的 传递函数 微分方程模型 该微分方程模型对应的 传递函数 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 0 1 1 0 asasa sRbsb n n n n m m 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 asasa r dt rd bsgc dt cd asf sC n n n n n n j n n i 传递函数传递函数 初始条件非初始条件非0 15 由于线性系统满足叠加原理 系统的响应等于由于线性系统满足叠加原理 系统的响应等于零输入响应零输入响应和和零 状态响应 零 状态响应之和 之和 由输入信号产生 与由输入信号产生 与初始条件初始条件无关 称为 无关 称为零状态响应零状态响应 21 sCsC 传递函数传递函数 2 sR sC sG 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 传递函数传递函数 初始条件非初始条件非0 16 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 asasa sRbsb asasa c dt cd asf sC n n n n m m n n n n n n i 不失一般性 利用留数定理对不失一般性 利用留数定理对C s 进行部分分式展开可得进行部分分式展开可得 n jj ps ps C sC j 1 1 1 s Res 21 sCsC l k k m n m qs sR sR sR sR 1 令令 零输入响应 零状态响应 零输入响应 零状态响应 pj为为分母多项式分母多项式N s 0的根的根 系统的特征根系统的特征根 qk为为输入拉式变换表达式的分母等于输入拉式变换表达式的分母等于0的解的解 当与输入有关的初始条件为当与输入有关的初始条件为0时时 l k k qs n j j ps qs C ps C sC k j 1 2 1 2 2 s Res s Res 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 已知某系统初始条件为 在