雨中行走问题难点.docx

数学建模课程作业 论文题目：雨中行走问题一、问题重述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。二、问题分析本题针对人的淋雨量问题，从下列三种情况考虑：（1） 雨垂直下落，人以速度v前行，此时降雨淋遍全身；（2） 雨迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，与人的正面夹角为，此时后背淋不到雨；（3） 雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，与人的背后夹角为，此时正面淋不到雨；针对每种假设，建立模型求解。三、模型假设1. 将人体简化为一个长方体，高1.5m（颈部以下），宽0.5m，厚0.2m；2. 跑步距离为1000m，跑步的最大速度5m/s；3雨速为4m/s且方向不变，降雨量为2cm/h；4. 考虑雨的方向与人体前进的方向在同一平面内。四、符号说明t淋雨时间（s）u雨速（m/s）雨迎面吹来与人的夹角（）雨背面吹来与人的夹角（）v跑步速度（m/s）vm最大跑步速度（m/s）a人的高度（m）b人的宽度（m）c人的厚度（m）d跑步距离（m）w降雨量（cm/h）Q总淋雨量（L）s淋雨面积(m2）五、模型建立先考虑如下情形，现有一块土地面积为s，雨垂直降落，雨速及方向不变，且降雨量为一常数w，则有时间t内该土地的淋雨量为 Q=stw。若雨速发生变化，则降雨量也会相对发生改变，设雨速从u变为u+u，则降雨量相对变化为u+uuw，从而可求得此时的淋雨量为 Q=stwu+u。若雨速不变，降雨的方向发生改变，设其与原方向的夹角为，那么此时的淋雨量为 Q=stwcos。类似我们可以求得在问题分析中出现的三种情况下人体的总淋雨量如下： 5.1 雨垂直下落的情况，人以最大速度奔跑淋雨面积：淋雨时间：总淋雨量: （1）5.2 雨从迎面吹来，雨线与人体夹角为当雨迎面吹来时，只有顶部和人体的迎面部分为有效淋雨面积，记顶部面积为，迎面部分面积为，则，分别计算其淋雨量如下： 淋雨时间：雨速垂直分量：雨速水平分量：，且方向与相反，故合速度=顶部淋雨量：迎面淋雨量： 总淋雨量为： （2）5.3雨从背面吹来，雨线与人体夹角为当雨从背面吹来时，只有顶部和人体的背面部分为有效淋雨面积，记顶部面积为，背面部分面积为，则，分别计算其淋雨量如下：淋雨时间：雨速垂直分量：雨速水平分量：，方向与相同，故合速度=顶部淋雨量：背面的淋雨量： 总淋雨量为：六、模型求解6.1 雨垂直下落给定，根据（1）式，可得全身面积s=2.2m2，淋雨时间t=200s,降雨量w=2cm/h=10-4/18 m/s,总淋雨量为Q=stw2.44L6.2 雨从迎面吹来对（2）式，关于v求导可得：，故关于v是单调递减函数，故此种情况下，当时，最小；6.2.1 当=0时，带入给定数据，可得6.2.2当=30时，带入给定数据，可得6.3 当雨从背面吹来时对（3）（4）式，分以下两种情况讨论如下： 此时对（3）式关于v求导可得 ，可知v越大，淋雨量越小，又因为，故知当时，Q最小； 当，即，对（4）关于v求导，故关于v是单调递减函数，同样可得，当时，最小；当，对（4）关于v求导，故关于v是单调递增函数，又，故时，最小。6.3.1 当时，结果为： 因为，故时，淋雨量最少。 带入数据后可得七、模型分析对于雨垂直下落的情况，由于不考虑风向所带来的影响，所求得的结果是非常大的，不符合现实中的实际情况。对于雨从正面吹来的情况，因为考虑风向所带来的影响时，求得的结果迅速减小，具有一定的实际意义，并且在这种情况下如果想淋到最少的雨，就应该尽量跑得快些，因为淋雨量和人跑的速度为减函数关系。对于雨从背面吹来的情况进行分析，根据对（3）（4）的分析，取（=30）和（=5）两种情况运用MATLAB软件对函数图像进行绘制，所得结果符合上述讨论。可以看出，雨从背面吹来，只要不太小，满足 (a=1.5m，c=0.2m，7.6即可)，v=usin时，Q最小，此时人体背面不淋雨，只有顶部淋雨。由上面三种情况的求解过程我们可看出，当雨垂直落下和迎面吹来时，跑的速度越快淋雨越少；而当雨从背面吹来时，当人跑的速度大于等于雨速的水平分量的大小且此时夹角满足时，跑得越快淋雨越少，除此之外的其它情况下有当时，淋雨量最小。八、模型推广本文将雨线方向与跑步方向设定在同一平面内，对问题起到一定的简化作用。若雨线的方向与跑步方向不在同一平面内，此时需建立空间直角坐标系，只需再增加一个角度来描述雨线的偏移方向，并计算侧面的淋雨量即可，问题本质上没有区别，故本文不再赘述。将雨线推广至三维空间，会使得模型根据有实际意义，所得结果也更加精确，更加符合实际情况。附录MATLAB源程序程序一：clearclcv=0:0.1:5b=0.5;c=0.2;d=1000;w=0.02/3600;a=1.5;u=4,alpha=30/180*pi;Q=(b*d*w*(c*cos(alpha)+a*sin(alpha)*v.(-1)-b*d*w*a/u)*1000.*(vu*sin(alpha);plot(v,Q,b-)axis(0,5,0,5)grid onxlabel(跑步速度v);ylabel(淋雨量Q);title(雨从背面吹来时夹角为30);程序二：clearclcv=0:0.1:5b=0.5;c=0.2;d=1000;w=0.02/3600;a=1.5;u=4,alpha=5/180*pi;Q=(b*d*w*(c*cos(alpha)+a*sin(alpha)*