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第六节无穷小的比较无穷小的阶 一 无穷小的比较 二 等价无穷小 三 小结 一 无穷小的比较 例如 观察下列极限 当时 都是无 穷小 不可比 型 极限不同 反映了无穷小趋向于零的速度的 快慢 程度不同 定义 1 如果 设是同一过程中的两个无穷小 且 记作 2 如果 则称是比低阶的无穷小 3 如果 则称与是同阶的无穷小 特殊地 如果 记作 4 如果 例如 因为 与 是等价无穷小 即 是比 高阶的无穷小 因为 即 而 所以当时 证明因为 二 等价无穷小代换 定理 等价无穷小代换定理 证 存在 则 几个常见的等价无穷小 上述等价无穷小中的可以是函数形式 当时 但在所考虑的极限过程中 例2 解 例3求极限 解因为 所以 有 求 例4 解 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积 不能滥用等价无穷小代换 切记 只可对函数的乘积因子作无穷小等价代换 注意 而不会改变原式的极限 对于代数和中各无穷小不能分别代换 解 当时 原式 原式 例6计算 解 因为 所以 于是 原式 解 解 由与等价得 原式 三 小结 1 无穷小的比较 反映了同一过程中 两无穷小趋于零的速度快慢 但并不是所有的无穷小都可进行比较 2 等价无穷小的代换 求极限的又一种方法 注意适用条件 高 低 阶无穷小 等价无穷小 无穷小的阶 练习 030104 解 练习 解 而 所以 任何两个无穷小都可以比较吗 思考题 思考题解答 都是无穷小量 但 不存在且不为无穷大 不能 一 填空题 1 2
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