2013年高考数学知识点：三角函数最值与值域.doc

三角函数最值与值域专题三角函数的最值问题是高考的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。类型一：利用这一有界性求最值。例1：求函数的值域。解：由变形为，知，则有，则此函数的值域是例2,若函数的最大值是1，最小值是，求a,b练习：1，求函数的值域 2,函数的定义域为a，b，值域为，则b-a的最大值和最小值之和为bA B C D类型二：型。此类型通常可以可化为求其最值（或值域）。例1：求函数的最值。解：2,求函数（）的最值。解法:，函数的最大值为，最小值为。练习：1,函数y=3sin(x+20) +5sin(x+80)的最大值是： （ c ） A、B、C、7 D、82,已知函数，直线xt（t）与函数f(x)、g(x)的图像分别交于M、N两点，则|MN|的最大值是 类型三：型。此类型可化为在区间上的最值问题。例1：求函数（）的最值解：函数的最大值为，最小值为例2：求函数（，）的最大值。解：转化为配方得：当，即时，在sinx=1，当时，即时，在sinx=1，当，即时，在时，综上： 练习：函数的值是dA0BCD类型四：型。例：求函数的最值，并求取得最值时x的值。解：， ，的最小值为，此时，无最大值。练习：已知：求的最大值及此时的集合解：，当时， 此时，即 所以的最大值为，此时的集合为类型五：型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：转化为再利用辅助角公式求其最值；采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。例：求函数的值域。解法1：将函数变形为，由，解得：，故值域是解法2：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx, sinx)与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数得最值，由几何知识，易求得过Q的两切线得斜率分别为、。结合图形可知，此函数的值域是。练习：求函数的最值。 y/2即为单位圆上的点(cos，sin)与定点(3，1)连线的斜率，由数形结合可知y/20，3/4, y0，3/2类型六：含有的最值问题。解此类型最值问题通常令，再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题。例：求函数的最大值并指出当x为何值时，取得最大值。解法1：设t=sinx+cosx，则 。解法2：，练习：1,求函数的最大、最小值解：原函数可化为：，令，则，且函数在上为减函数，当时，即时，；当时，即时，2,函数的值域是dABCD类型七:型（转化为对号函数）函数最值问题。例：求函数的最大、最小值1sinx0 y0,当sinx=1时Ymin=0,当1sinx0时,1sinx+2, ymax=1/2已知 ，则函数的最大值与最小值的和为 .当时,函数的最小值4练习：1,已知，求函数的最大值；2,当时，函数的最小值为 4 类型八：条件最值问题。例1：已知，求的取值范围。解：， sin=0时，； 时， 。2, 练习：1,已知Sinx+Siny=，求Sinycos2x的最大值2,已知，因式cosx+cosy的最大值为A2 B0 CDD类型九：其他问题例1：函数在的最小值为 2,求函数的最大值和最小值，并指出当x分别为何值时取到最大值和最小值。解：定义域为0x1，可设且，即当或，即 =0或（此时x=1或x=0），y=1；当，即时，（此时），当x=0或x=1时，y有最小值1；当时，y有最大值。练习：