2010年高考安徽卷一道试题的多解赏析.doc

2010年高考安徽卷一道试题的多解赏析罗风云（宿州学院附属实验中学,安徽 宿州 234000） 2010.12.25【摘 要】2010年高考安徽文科数学卷解答题第17题的第二问，出了一道求角平分线直线所在方程的题，但是学生得分率并不高。一般来说，求直线方程需要两个基本量，即一个点和一个方向（或通过两点），方向可以是倾斜角和斜率，也可以是方向向量或法向量。笔者就这道试题除了试卷参考答案以外又从六种不同的视角给出了求角平分线直线所在方程的六种方法，仅供参考。【关键词】角平分线 向量 斜率首先，我们来看2010年高考安徽文科数学卷解答题第17题：已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率（I）求椭圆E的方程；（II）求的角平分线所在直线的方程。本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力。第一小题比较常规，用待定系数法就可求解，第二小题可利用角平分线的性质之一（角平分线上的点到角的两边的距离相等）与求轨迹方程的思想来解题，试卷参考答案如下：解：（I）设椭圆E的方程为将A（2，3）代入上式，得椭圆E的方程为 （II）由（I）知，所以直线AF1的方程为：直线AF2的方程为：由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数.设上任一点，则若（因其斜率为负，舍去）.所以直线l的方程为：这道题的第二小题考生得分率并不高。大家知道，求直线方程需要两个基本量，即一个点和一个方向（或通过两点），方向可以是倾斜角和斜率，也可以是方向向量或法向量，下面笔者主要就这道题的第二小题，从不同的视角着手，探讨一下角平分线的直线方程的除上述解法之外的几种常见解法。【视角一】利用角平分线的性质之二（边长的比值相等）来解题。利用角平分线的性质：，确定角平分线与x轴的交点坐标，从而找到角平分线的斜率，然后用点斜式角平分线的直线方程。解法一：由（I）知，所以直线轴。此时，.设角平分线交轴与点P.由角平分线的性质可得,可得.因此，点P的坐标是（），此时直线AP的斜率是2.所以直线l的方程为：【视角二】利用角平分线的方向向量来解题。我们知道角平分线的方向向量是，从而求出角平分线斜率，以此来求出角平分线的直线方程。解法二：【视角三】利用三角函数的公式来解题。从图中可以看出，是直角三角形，先求出,而后利用半角公式来求出,又，从而求出角平分线的倾斜角所对应的正切值，以此来求出其斜率，最后求出角平分线的直线方程。解法三：由（I）知，所以直线轴。此时，.设角平分线交轴与点P.因此此时直线AP的斜率是2.所以直线l的方程为：【视角四】利用角平分线的对称性来解题。首先设出角平分线的斜率，由AP是角平分线，可知关于直线AP的对称点Q在直线上，而后求出点Q的坐标，因为A,Q三点共线，得到其斜率，从而求出角平分线的直线方程。解法四：设角平分线交轴与点P.由图形可知，直线AP的斜率存在。设其斜率为，直线AP的方程为，由角平分线的对称性可知，关于直线AP的对称点Q在直线上，所以，点Q的坐标是（）。因为A,Q三点共线，因此.所以，.所以直线l的方程为：【视角五】用向量的夹角公式来解题。由于AP是的平分线，因此向量与的夹角和向量与的夹角相等，用向量的夹角公式求解出点P的坐标，从而找到角平分线的斜率，然后求出角平分线的直线方程。解法五：角平分线与轴的交点记为点P，设点P的坐标是（）。向量与的夹角和向量与的夹角相等，因为=（），=（），=（）所以利用向量的夹角公式得因此，点P的坐标是（），此时直线AP的斜率是2.所以直线l的方程为：【视角六】用直线的到角公式解决斜率问题。首先设出角平分线的斜率，利用到角公式找到，又，从而由建立一个方程求出角平分线的斜率，以此求出角平分线的直线方程。解法六：由图形可知，直线AP的斜率存在。设其斜率为，直线的斜率是此时，又因此,，所以或(舍去).所以直线l的方程