有效数字和不确定度.ppt

大学物理实验 讲授内容 1 物理实验的课程设置及考核办法2 与测量和误差相关的基础知识3 有效数字的概念及运算法则4 测量结果的评定5 常用的数据处理方法 绪论 一 为什么开设 大学物理实验 课物理学是许多应用学科的基础物理学本身是一门实验科学如电磁相互作用的发现 电磁波理论的确立 物理实验中应用到的实验知识 方法和技能是其他科学实验的基础 二 物理实验课的目的及任务 通过物理量测量 应用物理知识 验证理论 加深对物理学原理和规律的认识 学习实验基本知识 基本方法和基本技能 三基 培养科学实验能力 实验方法 测量技能 分析处理数据 养成实事求是的科学态度 培养创新意识 达到目的 会使用仪器 提高动手能力 善于总结实验 求实创新 任务 定性观察物理现象 定量测定物理量的大小 三 物理实验课的安排 分二学期完成第一学期为基础实验 共8次 一次理论课 不确定度及数据处理 和7个实验 着重基础实验技能和习惯的培养第二学期为自选题目 分为三个单元 基础性物理实验 综合性物理实验和设计性实验 共几十个题目 同学们可根据自己的学分 专业或兴趣选做 四 三个教学环节及基本要求 三个教学环节 1 课前预习 实验能否取得主动的关键 2 课堂实验 3 课后报告 实验的总结 课前预习 课前预习课前认真阅读实验教材 了解实验目的 原理 方法 内容 仪器等 主要预习原理 仪器的调整及注意事项 要求课前写好预习报告 预习报告 实验名称 实验目的 通过实验达到的要求 实验原理和内容 实验的理论依据 写出待测量计算公式的简要推导过程 忌会三条 a 照抄讲义b 只写一个代数式c 无图 实验仪器 列主要仪器的名称 型号 规格等 操作步骤 只写主要的 重要的 此外 在原始数据记录纸上画好表格 注意 未写预习报告 取消本次实验资格 未画表格 扣部分预习分 课堂实验 带上教材 写好预习的实验报告 还有坐标纸 计算器等 教师先简要讲解 学生调试仪器 测试记录数据 用钢笔 圆珠笔填写 不得随意涂改 注意遵守实验室规则 了解实验仪器的使用及注意事项 注意 原始数据 用钢笔或中性笔填写 须经教师检查签字后才能离开 离开前应整理实验仪器 打扫卫生 课后完成实验报告 课后报告 实验数据记录老师签字的原始数据附在实验报告上 切忌课后涂改数据 数据处理计算平均值 不确定度 写出最后的测量结果 作图 注意 数据计算要求写出中间过程 作图必须用坐标纸 结果分析一定要有实验的结论和对实验结果的讨论 分析 建议或完成思考题 五 成绩考核办法 每次实验报告的成绩平均 即为学期成绩 上课时必须向老师提交预习报告 未预习取消实验资格 成绩记0分 实验必须按时 迟到一分钟扣一分 15分钟以上则取消实验资格 成绩记0分 编造 抄袭原始数据或在报告中涂改原始数据 成绩记0分 预约实验而缺席 成绩记0分 成绩为0分或不及格者 在实验室有空位并获老师同意 给予一次重做机会 成绩按分数的80 计算 但最高不超过75分 迟交报告者 只按照80 记分 学生不按要求操作造成实验仪器损坏者 除按学校规定赔偿外 还可视情况扣除操作分 实验报告的上交和领取 实验报告在实验完成的下一周星期一之前交 分实验投入A座3楼大厅专用实验报告箱内 几周后 可在四楼实验柜中分班级取回 报告至少保存一学期 以备在成绩有误时核对查询 今天课后完成三页题 三周星期一前交到三楼楼道的不确定度报告箱内 以后的实验按实验题目交 实验报告纸到中心办公室323购买 电话85990273 测量不确定度与数据处理 一 测量误差1 测量 用实验方法找出物理量的量值叫测量 即把待测量与作为计量单位的同类已知量相比较 找出待测量的大小 比较的过程叫测量 实验数据 比较的结果记录下来原始数据 未经计算 须经老师签字 正确记录数据 待测量的名称 大小 单位 准确度如用游标卡尺测量钢球的直径 测量的分类 按测量方法分为 直接测量和间接测量如通过测量钢球直径D 直接测量 来计算钢球体积V D3 6 间接测量 按测量条件分为 重复性测量 等精度测量 和复现性测量 非等精度测量 按测量次数分为 单次测量和多次测量 2 误差 概念误差 有正负大小之分 称绝对误差 注意 绝对误差不是误差的绝对值 如测g单摆三线摆气垫导轨 ms 29 7829 7959 811 误差存在于一切实验过程中 并因主观因素的影响 客观条件的干扰及实验技术不同而不同 讨论误差目的 对自己的实验结果进行评定 即置信度 置信度越高 测量越准确分析测量中产生误差原因 找寻减小误差的方向 采取措施尽可能减小误差 如合理设计实验 选择仪器 采用一些测量方法 如比较法 复称法 修正公式 调节仪器等 都是为了减小测量误差 对测量中未能消除的误差作出估计 误差分类及来源 根据误差性质及产生原因 可将误差分为系统误差和随机误差 系统误差定义 在一定条件下多次测量同一量时 测量结果总向一个方向偏离 其数值一定或按一定规律变化 特点 具规律 大小 正负恒定 来源 仪器误差 仪器本身缺陷或没按规定使用仪器造成 如仪器零点不准 停表走得快 电表放置方式不对 理论误差 理论公式本身的近似性或实验条件不能达到所规定的要求 如 单摆 近似为 光栅dsin k 要求平行光垂直入射不满足 观测误差 由观测者本人生理或心理特点造成 如停表计时或读数 方法误差 电流表外接 电流表内接 2个特点 具规律 可减小或消除 系统误差又分 已定系统误差 如千分尺的零差未定系统误差 如给定级别的电表 减小方法校正仪器 如校零或记下零读数修正 改进实验方法 如对称测量减小理论误差 在公式中引入一些修正项 如单摆测g 须考虑摆球的体积大小及空气的浮力及阻力 调试仪器调试仪器重要 减小系统误差 随机误差 随机误差又称偶然误差由不可预测的随机因素造成定义 在一定条件下 多次测量同一量时 误差的大小 正负以不可预知的方式变化 时大时小 时正时负 无确定性 特点 误差出现无规律 不能消除 来源 操作者感官分辨率的不确定仪器性能的波动测量环境的干扰其它偶然因素如电压不稳定 操作读数时的视差影响但当测量次数很多时 大部分随机误差服从一定的统计规律 正态分布 后面讲 可用增加测量次数的方法来减小随机误差 但测量次数不可能无限多 故不能完全消除 随机误差 随机性可通过多次测量来减小系统误差 确定性可用特定方法来消除总之 误差的性质不同 来源不同 处理方法不同 有时系统误差与随机误差可以加以区别 有时又难以划分 但实验结果的总误差是随机误差与系统误差 误差的几个相关概念 精密度 测量数据分布的集中程度 反映随机误差的大小准确度 测量平均值与真值的符合程度 反映系统误差的大小精确度 精密度和准确度的综合反映 精确度高表明测量数据集中分布在真值附近 精密度高 准确度高 精确度高 一般 精度多指精确度 二 有效数字及其运算法则 1 有效数字的概念有效数字就是实验测量中记录的有意义的数字 它在一定程度上表明了测量误差的存在 如用米尺测物体的长度 如图所示 准确读出的是可靠数字 末尾一位是估读出来的 不准确的 叫欠准数 或可疑数 虽欠准 但有意义 使测量值更接近真实值 有效数字 几个可靠数字 末尾1 2位可疑数字 物体的长度在22 23之间 可靠数字是22 可疑数字为估读 0 6或0 7 0 8 测量到物体长度的有效数字为22 6 22 7或22 8 物体的长度为24 可靠数字是24 可疑数字为0 0 测量到物体长度的有效数字为24 0 末尾的0不能省略 6 53769cm 可疑数后的数字无意义 不能在报告中出现 估计数为零 也不能舍去 如6 50cm 不能写成6 5cm 可疑数字的位置由使用该种仪器测量时的绝对误差确定 可靠数字在测量仪器的刻度上获得 可疑数字在测量仪器的刻度之间估计读数 例如上页图 2 有效位数 有效数字 有意义数码的个数 如6 53cm 3位有效数字 0 在有效数字中中间或末尾的 0 应算有效位数如2 008cm4位3 6120Kg5位8 0200 103g5位注意 不能在数字的末尾随便加 0 或减 0 数学6 42 6 420 6 4200物理实验6 42 6 420 6 4200 有效数字前面的 0 不算有效位数0 0089m2位0 0375cm3位 单位换算有效位数不变5 03cm 0 0503m 50 3mm仍3位注意 大换小易出问题5 03cm 50300 m数据过大或过小时 常用科学计数法 数量级表示法 10n单位12 3m 1 23 104mm电阻值为30000保留3位有效数字时写成3 00 104 数显仪器所显示的数字 全部属于有效数字 有效位数与测量工具精度及被测物大小有关 对同一被测物 高精度仪器 测量有效位数多低精度仪器 测量有效位数少如测量同一个长约2 的物体用mm刻度的米尺测得数据为2 01 3位用20分度的游标卡尺测得数据为2 020 4位对同一精度仪器 被测物体大 有效位数多被测物体小 有效位数少 3 直接测量的有效数字记录 读数的一般规则 读至仪器误差所在位置 例 米尺测长度当物体长度在35mm与36mm之间时 读数为35 mm 当读数正好为35mm时 读数为35 0mm 例 用0 1级量程为100mA电流表测电流 当指针在82mA与83mA之间时 读为82 mA 当指针正好为82mA时 读为82 0mA 对于1 0级量程为100mA电流表 当指针在82mA与83mA之间时 读为82mA或83mA 当指针正好为82mA时 读为82mA 注意要点 测量数据的末位是欠准数 并与仪器误差位对齐 即使估读的是 0 也必须记下 仪器误差在哪一位发生 欠准位数记录到哪一位 不能多记 也不能少记 如用米尺测某一物体长度3 00cm不同仪器测量 误差位不同 对同一物理量 有效位数越多 表明测量结果越精确连续可读仪器 要估读 误差位一般在估读位非连续可读仪器 不估读 误差位一般在最小刻度位数字仪器 全部读 4 有效数字的运算法则 近似计算 加减法间接测量的计算结果也只能保留1 2欠准数 物理实验通常只取1位例12 53 0 3421 12 8721 12 87结论 和或差的结果的欠准位置 即末位 与参与运算的各量中欠准位置最高者相同 例32 1 26 65 3 926 54 8推论 和差计算时 选择具有同等精度的仪器最为合理 乘除法 例4 118 11 2 46 1212 46 1结论 积或商的结果的有效位数一般与参与运算的各量中有效位数最少者相同例5 348 20 5 37643 0 00291推论 各量参与乘除运算时 应按使测量值有效位数相同的原则来选择仪器 如测载玻片体积V abc厚2mm宽20mm长 200mm 乘方 开方一般与其底的有效位数相同9 863 959 3 676 自然数 1 2 3 无理数 等可看成无穷多位计算时取的值应比最少位数多取1位 这样使结果更准确 其他函数 如三角函数 的运算结果 则要用误差来确定有效位数 运算过程中 可以比上述规则多取一位 等计算出不确定度以后 再根据不确定度的所在位来确定最后结果的可疑位 有效数字的修约 四舍六入五凑偶补充 数字修约的国家标准规定 要修约的数大于5时入 小于5时舍 正好等于5时则视拟保留的最后一位是奇数时入 偶数时舍 四则混合运算 按运算规则分级进行 每进行一级运算 按规定取舍注意 不能按完计算器再取例 524 5 0 05 101 44 1 00 20 02 524 5 0 05 1 104 101 44 1 00 20 02 101 1 26 103 0 101 103 1 26 103 1 36 103 三 测量结果的不确定度 不确定度的概念及其估算方法测量结果的表达各种测量结果的评定 1 不确定度的概念 在真值未知因而误差也未知的条件下 根据测量数据和测量条件按一定的理论方法对测量可能的误差范围作出判断 不确定度 测量的可能误差范围表明了测量结果 近真值 的可疑程度 由于测量误差存在而对被测量值不能肯定的程度 是指测量值 近真值 附近的一个小范围 是被测量真值在某个量值范围内的评定 是测量质量的表征 不确定度小 测量结果可信赖程度高 不确定度大 测量结果可信赖程度低 不确定度比以前评定方法更科学 更全面标准偏差 只包含统计误差不确定度 除包含统计误差 还包含非统计误差分类 A类不确定度 统计方法估算B类不确定度 非统计方法估算如天平称质量 天平的变动性为A类不确定度 随机误差 砝码的准确性 标尺刻度的准确性为B类不确定度 仪器误差 国际标准化组织 ISO 1993 测量不确定度表示指南 中国国家技术规范JJF1059 1999 测量不确定度评定与表示 2 A B类不确定度及合成不确定度 A类不确定度如随机误差 可通过统计方法估算出 设对某物理量进行了n次重复测量 可证算术平均值是的最佳估计值 即近真值 对有限次 具随机性 当测量次数n无限多时 结果服从一定的统计规律 正态分布 如图 x代表某一物理量的实测值 p x 为测量值的概率分布 为数学期望值 横轴上任一点x 即为测量值相应的随机误差分量 标准差 决定全部测量值的离散程度 图中阴影区域 的面积是随机误差在 范围内的概率即测量误差落在该区间内的概率 p 68 3 正态分布特点 单峰性 小误差出现概率比大误差出现的概率大对称性 以 为对称轴 具有抵偿性 取多次测量的平均值有利于消减随机误差归一性 p x 函数具有归一性 值越大 曲线越扁平 无论 的值是多少 在区间 对p x 积分的值等于0 683 即x值出现在该区间的几率或称该区间的置信概率为68 3 的不确定度 贝塞尔公式 实验标准差 表测量结果的分散性 式中偏差 偏差不等于误差 但同样反映误差 误差不可计算 但偏差可计算 用偏差代替误差 多次测量的平均值比单次测量更准确的不确定度 即A类不确定度 为平均值的实验标准差 时 n应充分多 一般n 5 对学生实验n 3 记为 B类不确定度 不能用统计方法估算 一般由系统效应导致 它的来源比较多 要完整 准确评定B类不确定度相当复杂 由于某些仪器是非标准仪器 没定期校正 没在规定条件下使用 同学们的经验所限等 定量评定B类不确定度很困难 对一些简单实验 仪器误差视为B类不确定度的主要来源 从仪器的极限误差估计B类不确定度 学生实验仪器未按规定按期校验 误差可能大于出厂误差 而且误差要从最不利情况考虑 作为近似取K 1 K 1 3 仪器误差的确定 由仪器的准确度表示如数字仪器 测量周期0 01s由仪器的准确度级别来计算 电学仪器 指针式电表 Am 量程a 准确度级别 电阻箱 测量值 例 电流表 0 5级 电压表 0 1级 未给出仪器误差时 非电表 连续可读仪器 最小分度非连续可读仪器 最小分度例 温度计 最小分度 1 米尺 最小分度 1mm 千分尺 最小分度 0 01mm 游标卡尺 50分度最小分度 0 02mm电子秒表 最小分度 0 01s 合成不确定度 A B两类不确定度互不相关标准不确定度 形式为方和根 反映测量结果的可信赖程度 3 测量结果的表达 测量某物体体积V 242 6cm3 按国家标准 测量结果可表示为 aV 242 6cm3 bV 242 6 5 cm3cV 242 6 0 5 cm3dV 242 6 0 5 cm3国内物理学界习惯用d种表达方式本课规定实验报告一律采用d种方式 单位 注意 意义 测量结果的标准表达式 给出了一个范围 表示待测量的真值落在 之间的概率为68 3 不要误认为真值为或 也不要误认为真值一定在 之间 近真值 不确定度 单位三要素缺一不可 规定只取1位或2位有效位数 学生实验只取1位即可 多余位数按四舍五入 如与的三个一致 单位一致 数量级一致 近真值与不确定度的末位一致 即近真值与不确定度二者的末位对齐 所以的末位数由决定 取 例子 L 76 240mm 2mmL 76 2 mm改错 或 相对不确定度 常用于比较不同测量结果的好坏 E越小测量结果质量越好 规定 取2位有效数注意 不带单位 常用百分数表示评价测量结果好坏 只能看相对不确定度的大小 单纯从 不能衡量测量结果好坏 的测量质量较好 例 可从E求 评价测量结果 有时用百分偏差表示 B 规定取2位有效位数 不带单位 百分数 表示测量值偏离公认值的程度 B越小 测量的准确度越高 已知的准确度较高的公认值 如 3 各种测量结果的估计方法单次测量 有些测量较准确 随机效应影响很小或最终结果中该物理量影响较小 上述情况只需进行单次测量 以仪器误差作为测量的不确定度例 用20分度的游标卡尺单次测量某物的长L 测量值为3 750cm 此单次测量的结果应写为 L 3 750 0 005 cm 单位 多次直接测量 计算近真值 中间过程可多保留一位 A类不确定度 可简写为 B类不确定度 标准不确定度 测量结果的表达式 可简写为 可简写为 单位 例子 例1用毫米刻度的米尺 测某物体长度5次 其测量值分别为 L cm 53 27 53 23 53 29 53 24 53 21 试计算合成不确定度 并写出测量结果 解 计算 计算A类不确定度 计算B类不确定度 标准不确定度 测量结果L 53 25 0 05 cm例2书P19例子 间接测量 函数关系N F x y z 其中x y z为已测得的数据间接测量的与由直接测量结果通过函数式计算出来 计算并写出各直接测定量的测量结果 计算间接测量的近真值 间接测量的标准不确定度上式为不确定度的传播公式 各直接测量的u乘函数对各自变量的偏导 再求方和根 注意 最基本式子 可计算所有 方和根形式偏导数的求法 例 当函数式为积商 或含和差的积商形式 或较复杂的函数 为运算方便 也可先求相对不确定度测量结果 单位 例子 例1已知电阻 求它们的串联电阻R及合成不确定度解 R 200 0 0 7 例2 已知m 27 06 0 02 gm0 17 03 0 02 g 0 0 9997 0 0003 g cm3利用下列函数关系求 的测量结果 解 计算 的平均值 计算 的不确定度 写出 的测量结果 2 697 0 006 g cm3 例3用物距象距法求凸透镜的焦距已知 求 解 若用传播基本公式 数学计算相当复杂 先对函数取自然对数 复现性测量 复现性测量 改变测量条件所做的多次测量例 已测得同一电阻两端施加不同电压U时产生的电流I 求电阻的阻值R R U I 可求各次测量对应的 再求 复现性测量是改变测量条件做的多次测量 其A类不确定度已经包含某些未定系统误差测量结果 注意 复现性测量不须考虑如复摆为复现性测量 例子例 用伏安法测电阻 得出以下数据 求测量结果 计算R值 R1 R2 R3 R4 近真值 9 91 A类不确定度 SR 0 2 测量结果 R 9 9 0 2 各种实际测量中不确定度的计算或估算 单次直接测量 只估算B类不确定度多次直接测量 u按照合成不确定度计算间接测量 通过计算解析式的全微分方和根求得复现性测量 只算A类不确定度 四 常用数据处理方法 物理实验中常用的数据处理方法有 列表法 作图法 图解法 最小二乘法等 见P26列表法 要求 要把原始数据和必要的中间运算过程的结果列入表中 必须标明每个符号所代表的物理意义 并写明单位 表中的数据要正确的反映测量结果的有效数字 作图法 作图规则 作图一定用坐标纸 测量数据中的可靠数字在图上也应是可靠的 即图纸上一小格对应数据中可靠数字的最后一位 而误差位在小格之间估计 标明坐标轴和图名标点连线 光滑 注意剔除 坏点 霍耳电压与工作电流的关系 用数学表达式来描述一种物理现象 是最为精确和简明的方式 获得经验公式的方法很多 常用以下两种 图解法 直观简便 但主观随意性较大线性回归 最小二乘法及其相关系数r定义 由数理统计的方法处理