2014高考数学理二轮专题突破文档：6.1排列与组合、二项式定理.doc

河北饶阳中学2014年数学理二轮复习专题来源:中_国教_育出_版网第1讲排列与组合、二项式定理【高考考情解读】1.高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基本概念、基本方法(如“在”“不在”问题、相邻问题、相间问题)为主，主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、选取问题等；对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项，利用二项式定理展开式的性质求有关系数问题主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力.2.排列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查，一般以选择题、填空题形式出现，难度中等，还经常与概率问题相结合，出现在解答题的第一或第二个小题中，难度也为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在选择题或填空题中，难度为易或中等1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘2 排列与组合(1)排列：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列从n个不同元素中取出m个元素的排列数公式是An(n1)(n2)(nm1)或写成A.(2)组合：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式是C或写成C.(3)组合数的性质CC；CCC.3二项式定理(1)定理：(ab)nCanb0Can1bCan2b2CanrbrCa0bn(r0,1,2，n)(2)二项展开式的通项Tr1Canrbr，r0,1,2，n，其中C叫做二项式系数(3)二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，即CC，CC，CC，.来源:中教网最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数Cn取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数Cn，Cn相等，且同时取得最大值各二项式系数的和aCCCCC2n；bCCCCCC2n2n1.考点一两个计数原理例1(1)(2013山东)用0,1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A243 B252 C261 D279(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为()A240 B204 C729 D920 本题主要考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理的简单应用，解题的关键是合理分类，正确分步答案(1)B(2)A解析(1)无重复的三位数有：AAA648个则有重复数字的三位数有：900648252个(2)分8类，当中间数为2时，有122种；当中间数为3时，有236种；当中间数为4时，有3412种；当中间数为5时，有4520种；当中间数为6时，有5630种；来源:当中间数为7时，有6742种；当中间数为8时，有7856种；当中间数为9时，有8972种故共有26122030425672240种 (1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化 (1)在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有()A24种 B48种 C96种 D144种(2)如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的重复数字的四位数中，“好数”共有_个答案(1)C(2)12解析(1)首先安排A有2种方法；第二步在剩余的5个位置选取相邻的两个排B，C，有4种排法，而B，C位置互换有2种方法；第三步安排剩余的3个程序，有A种排法，共有242A96种(2)当相同的数字不是1时，有C个；当相同的数字是1时，共有CC个，由分类加法计数原理知共有“好数”CCC12个考点二排列与组合例2(1)(2013重庆)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用数字作答)(2)(2013浙江)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答)答案(1)590(2)480解析(1)分三类：选1名骨科医生，则有C(CCCCCC)360(种)选2名骨科医生，则有C(CCCC)210(种)；来源:中教网选3名骨科医生，则有CCC20(种)骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是36021020590.(2)分类讨论：A、B都在C的左侧，且按C的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这4类计算，再考虑右侧情况所以共有：2(AACAACAA)480. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数 (1)(2012山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A232 B252 C472 D484(2)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A36种 B42种 C48种 D54种答案(1)C(2)B解析(1)利用分类加法计数原理和组合的概念求解分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法CC264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C3C22012208(种)由分类加法计数原理知不同的取法有264208472(种)(2)分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C种排法，其他3个节目有A种排法，故有CA种排法依分类加法计数原理，知共有ACA42(种)编排方案考点三二项式定理来源:中国教育出版网例3(1)(2013辽宁)使n(nN)的展开式中含有常数项的最小的n为()A4 B5 C6 D7(2)若(12x)2 013a0a1xa2 013x2 013(xR)，则的值为()A2 B0 C1 D2答案(1)B(2)C解析(1)展开式的通项公式Tr1C(3x)nrr，Tr13nrCxnr，r0,1,2，n.令nr0，nr，故最小正整数n5.(2)(12x)2 013a0a1xa2 013x2 013，令x，则2 013a00，其中a01，所以1. (1)在应用通项公式时，要注意以下几点：它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；Tr1是展开式中的第r1项，而不是第r项；公式中，a，b的指数和为n且a，b不能随便颠倒位置；对二项式(ab)n展开式的通项公式要特别注意符号问题(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法 (1)2n的展开式的第6项的二项式系数最大，则其常数项为()A120 B252 C210 D45(2)若(1x)(2x)2 011a0a1xa2x2a2 011x2 011a2 012x2 012，则a2a4a2 010a2 012等于()A222 011 B222 012来源:z#zs#C122 011 D122 012答案(1)C(2)C解析(1)根据二项式系数的性质，得2n10，故二项式2n的展开式的通项公式是Tr1C()10rrCx5，根据题意50，解得r6，故所求的常数项等于CC210.(2)采用赋值法，令x1，得a0a1a2a2 011a2 0122，令x1，得a0a1a2a2 011a2 0120，把两式相加，得2(a0a2a2 012)2，所以a0a2a2 0121，又令x0，得a022 011，所以a2a4a2 010a2 012122 011.故选C.1 排列、组合应用题的解题策略(1)在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么(2)区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关(3)排列、组合综合应用问题的常见解法：特殊元素(特殊位置)优先安排法；合理分类与准确分步；排列、组合混合问题先选后排法；相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；定序问题倍缩法；多排问题一排法；“小集团”问题先整体后局部法；构造模型法；正难则反、等价转化法2 二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，在运用公式时要注意以下几点：(1)Canrbr是第r1项，而不是第r项(2)运用通项公式Tr1Canrbr解题，一般都需先转化为方程(组)求出n、r，然后代入通项公式求解(3)求展开式的特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求出所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系.1 有A、B、C、D、E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次A、B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为()A6 B18 C20 D24答案B解析由题意知，名次排列的种数为CA18.来源:中教网zzstep2 如图所示，在A、B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通今发现A、B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有()A9种 B11种 C13种 D15种答案C解析按照焊接点脱落的个数进行分类若脱落1个，有(1)，(4)，共2种；若脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6种；若脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4种；若脱落4个，有(1,2,3,4)，共1种综上共有264113种焊接点脱落的情况3 在(1x)na0a1xa2x2a3x3anxn中，若2a2an30，则自然数n的值是()A7 B8 C9 D10答案B解析易知a2C，an3(1)n3C(1)n3C，2a2an30，2C(1)n3C0，将各选项逐一代入检验可知n8满足上式，选B.4 在(1)2(1)4的展开式中，x的系数等于_(用数字作答)答案3解析因为(1)2的展开式中x的系数为1，(1)4的展开式中x的系数为C4，所以在(1)2(1)4的展开式中，x的系数等于3.(推荐时间：45分钟)一、选择题1 (2012重庆)(13x)5的展开式中x3的系数为()来源:z*zs*A270 B90 C90 D270答案A解析(13x)5的展开式通项为Tr1C(3)rxr(0r5，rN)，当r3时，该项为T4C(3)3x3270x3，故可得x3的系数为270.2 (2013课标全国)已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a等于()A4 B3 C2 D1答案D解析(1ax)(1x)5中含x2的项为：(CCa)x2，即CCa5，a1.3 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有()A11种 B20种 C21种 D12种答案C解析当第一组开关有一个接通时，电路接通为C(CCC)14种方式；当第一组有两个接通时，电路接通有C(CCC)7种方式所以共有14721种方式，故选C.4 高三某班6名同学站成一排照相，同学甲、乙不能相邻，并且甲在乙的右边，则不同的排法种数共有()A120 B240 C360 D480答案B解析先将其他4名同学排好有A种方法，然后将甲、乙两名同学插空，又甲、乙两人顺序一定且不相邻，有C种方法，所以共有AC240种排法5 某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有()A140种 B120种 C35种 D34种答案D解析从7人中选4人共有C35种方法，又4名全是男生的选法有C1种故选4人既有男生又有女生的选法种数为35134.来源:中教网6 若(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则a0a1a3a5的值为()A122 B123 C243 D244答案B解析在已知等式中分别取x0、x1与x1，得a01，a0a1a2a3a4a535，a0a1a2a3a4a51，因此有2(a1a3a5)351244，a1a3a5122，a0a1a3a5123，故选B.7 在二项式(x2)n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为()A32 B32 C0 D1答案C解析依题意得所有二项式系数的和为2n32，解得n5.因此，该二项展开式中的各项系数的和等于(12)50，选C.8 (2012湖北)设aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，则a的值为()A0 B1 C11 D12答案D解析化51为521，用二项式定理展开512 012a(521)2 012aC522 012C522 011C52(1)2 011C(1)2 012a.因为52能被13整除，所以只需C(1)2 012a能被13整除，即a1能被13整除，所以a12.9 (2012大纲全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A12种 B18种 C24种 D36种来源:中+国教+育出+版网答案A解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A种不同的排法再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法因此共有AA112(种)不同的排列方法10某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有()A504种 B960种C1 008种 D1 108种答案C解析由题意得不同的安排方案共有A(A2AA)1 008(种)二、填空题11(2013安徽)若8的展开式中，x4的系数为7，则实数a_.答案解析Tr1Cx8rrarCx8r，由8r4得r3，由已知条件a3C7，则a3，a.12(2013北京)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_答案96解析将5张参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法再分给4人，各有A种分法，不同的分法种类共有4A96.13(2012浙江)若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.答案10解析方法一将f(x)x5进行转化，利用二项式定理求解f(x)x5(1x1)5，来源:中国教育出版网它的通项为Tr1C(1x)5r(1)r，T3C(1x)3(1)210(1x)3，a310.方法二不妨设1xt，则xt