5.1 5.2两点边值问题.doc

第一章，边值问题的变分形式1.1 二次函数的极值定理1.1 设矩阵A对称正定，则下列两个问题等价： （1）求使其中 （2）求下列方程组的解： 1.2 两点边值问题1. 弦的平衡用表示在荷载force作用下弦的平衡位置。Balance position of string根据力的平衡条件，满足微分方程 （2）其边值条件为 （4）其中为弦的张力。tension另一方面，由力学的“极小位能原理”，弦的平衡位置是在满足（4）的一切可能位置中，使位置能量取得最小者。应变能为strain外力所做的功为work从而总位能为根据极小位能原理，是下列变分问题的解：2. 极小位能原理principle of minimum potential energy 变分Variation 问题精确地叙述为：求使引进微分算子则于是例如，对于两点边值问题： （10.1） （10.2）其中，。类似地，构造泛函利用分部积分integration by parts，并由（10.2），得到令 （12）得到问题（10）的变分问题：求使。可以验证（12）定义的具有两个性质：bilinear form（1）对称性： symmetry（2）正定性： positive definite 对任意令从而 （14）变分原理：设，是边值问题（10）的解，则使达到极小值；反之，若使达到极小值，则是边值问题（10）的解。证明：注意当时， （16）如果是边值问题（10）的解，则，从而 ， 对任意由（14），有这说明使达到极小值。反之，若使达到极小值，则由（14）及（16），得 对任意 （18）取，则 ， 对任意根据变分法基本原理，满足方程 ，所以，（18）化为 对任意注意，取，则，且，从而必须满足右边边值条件 3. 虚功原理principle of virtual work 以乘以方程（10.1）的两端，再积分，得到 （20）利用分部积分，得到 代到（20），得到 即 （22）这是方程（10）的变分形式。对，由（16），得到 假如是边值问题（10）的解，则对任意，满足（22）；反之，若对任意，满足（22），则可按前边变分原理的证明，推出是边值问题（10）的解。 定理 设是边值问题（10）的解的充要条件是：且满足变分方程。5.3 二阶椭圆边值问题1. 变分原理考虑Poisson方程的第一边值问题： （1）作泛函functional 利用Green公式，我们得到 若满足边值条件，则 定义双线性形式 则 变分问题：求，使 双线性形式具有如下性质：（1） 对称性： symmetry（2） 正定性：对有 对，令 易算出 进一步，假设，则 若是问题（1）的解，则 ， 对任意 从而 ， 对任意 即使达到极小。总结成下面的极小位能原理。 定理1 设是边值问题（1）的解，则使达到极小值；反之，若使达到极小值，则是边值问题（1）的解。2. 虚功原理principle of virtual work 考虑混合边值问题。在上满足 在上满足 以乘（1.1）两端multiply by，得到 （6）利用边值条件，得到 定义双线性形式：则（6）可写成 。 定理2 设是上述边值问题的解的充要条件是：且满足变分方程。 对任意 5.3 Ritz-Galerkin方法思想：有穷空间维近似代替无穷维空间。变分原理：求，使 （8）其中为某类内积空间。 虚功原理：满足变分方程。 对任意 （9）这和Ritz法导出的方程组（14）一致，因此，习惯上称之为Ritz-Galerkin方法。Galerkin法还可进一步推广。在中取两个子空间和，其基底分别为及，在中求形如 使其满足 （16）即 当时，就是Galerkin法。（16）成为广义Galerkin法，其中试探函数空间trial space，称为检验函数空间Test space。对于Ritz-Galerkin方程（14），其系数矩阵 显然，矩阵对称symmetrical，且 从而矩阵正定，Ritz-Galerkin方程（14）惟一可解。定理3 设是变分原理（7）或虚功原理（8）的解，是Ritz-Galerkin方程（14）的解，则有与与无关的常数，满足 如果于完全，即的一切可能的线性组合于稠密，则进一步得到 例 利用Ritz-Galerkin方法求解边值问题： 本问题有精确解： Ritz-Galerkin方法通常选取的子空间有两种，一种其基底选为 另外一种基底选为 为使满足边值条件，取 将表成 ：，满足方程 从而得到 ：，代到方程（14），得到Ritz-Galerkin方程： 解得，故 表1 计算结果比较0.0440.0520.0440.0700.0690.0690.0600.0520.0605.3 二阶椭圆边值问题1. 变分原理考虑Poisson方程的第一边值问题： （1）作泛函functional 利用Green公式，我们得到 若满足边值条件，则 定义双线性形式 则 变分问题：求，使 双线性形式具有如下性质：（1） 对称性： symmetry（2） 正定性：对有 对，令 易算出 进一步，假设，则 若是问题（1）的解，则 ， 对任意 从而 ， 对任意 即使达到极小。总结成下面的极小位能原理。 定理1 设是边值问题（1）的解，则使达到极小值；反之，若使达到极小值，则是边值问题（1）的解。2. 虚功原理principle of virtual work 考虑混合边值问题。在上满足 在上满足 以乘（1.1）两端multiply by，得到 （6）利用边值条件，得到 定义双线性形式：则（6）可写成 。 定理2 设是上述边值问题的解的充要条件是：且满足变分方程。 对任意 5.3 Ritz-Galerkin方法思想：有穷空间维近似代替无穷维空间。变分原理：求，使 （8）其中为某类内积空间。 虚功原理：满足变分方程。 对任意 （9）这和Ritz法导出的方程组（14）一致，因此，习惯上称之为Ritz-Galerkin方法。Galerkin法还可进一步推广。在中取两个子空间和，其基底分别为及，在中求形如 使其满足 （16）即 当时，就是Galerkin法。（16）成为广义Galerkin法，其中试探函数空间trial space，称为检验函数空间Test space。对于Ritz-Galerkin方程（14），其系数矩阵 显然，矩阵对称symmetrical，且 从而矩阵正定，Ritz-Galerkin方程（14）惟一可解。定理3 设是变分原理（7）或虚功原理（8）的解，是Ritz-Galerkin方程（14）的解，则有与与无关的常数，满足 如果于完全，即的一切可能的线性组合于稠密，则进一步得到 例 利用Ritz-Galerkin方法求解边值问题： 本问题有精确解： Ritz-Galerkin