贵州省贵阳市普通高中2017届高三(上)8月摸底数学试卷(理科)(解析版).doc

.2016-2017学年贵州省贵阳市普通高中高三（上）8月摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|y=log2（x1），B=x|x2，则AB=（）Ax|0x2Bx|1x2Cx|1x2DR2已知i为虚数单位，若复数z满足z+zi=2，则z的虚部为（）AiB1CiD13已知实数x，y满足，则函数z=x+3y的最大值为（）A10B8C5D14已知双曲线的离心率为2，焦点是（4，0），（4，0），则双曲线方程为（）ABCD5在各项都为正数的等比数列an中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（）A33B72C84D1896在边长为1的正三角形ABC中， =2，则=（）ABCD17函数y=sinx+cosx（0x2）取得最大值时，x=（）ABCD8若函数f（x）=3x+lnx的图象在点（1，f（1）处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=（）ABC4D49已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A，mmB，m，nmnCmn，nmDm，n，m，n10阅读右边的程序，若输出的y=3，则输入的x的值为（）A1B2C2D1或211已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x），且当x0，f（x）=3x+1，若a=2，b=4，c=25，则有（）Af（a）f（b）f（c）Bf（b）f（c）f（a）Cf（b）f（a）f（c）Df（c）f（a）f（b）12设正实数x，y，z满足x23xy+4y2z=0，则当取得最小值时，x+2yz的最大值为（）A0BC2D二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13（x2+）6的展开式中常数项是（用数字作答）14如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a=15已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的8个顶点都在球O的表面上，AB=1，AA1=2，则球O的半径R=；若E、F是棱AA1和DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为16已知直线l：y=k（x+1）与圆x2+y2=（2）2交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，若|AB|=4，则|CD|=三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足3asinC=4ccosA， =3（）求ABC的面积S；（）若c=1，求a的值18通过随机询问100性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下22列联表：男女总计爱好40不爱好25总计45100（）将题中的22列联表补充完整；（）能否有99%的把握认为断爱好该项运动与性别有关？请说明理由；（）利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建了“运动达人社”，现从“运动达人设”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为X，求X的分布列和数学期望附：K2=，p（K2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.82819如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上（）求证：平面AEC平面PDB；（）当PD=2AB，且E为PB的中点，求二面角BAEC的余弦值20已知椭圆C： +=1（a0，b0）的离心率为，点A（0，2）与椭圆右焦点F的连线的斜率为（）求椭圆C的方程；（）O为坐标原点，过点A的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，当OPQ的面积最大时，求直线l的方程21已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（其中aR）（）求函数f（x）的极值；（）设函数h（x）=f（x）+g（x）1，试确定h（x）的单调区间及最值；（）求证：对于任意的正整数n，均有e成立（注：e为自然对数的底数）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图所示，AC为O的直径，D为的中点，E为BC的中点（）求证：DEAB；（）求证：ACBC=2ADCD选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为=2sin（）求圆C的直角做标方程；（）圆C的圆心为C，点P为直线l上的动点，求|PC|的最小值选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|x+1|2x4|；（）解不等式f（x）1；（）若对xR，都有f（x）+3|x2|m，求实数m的取值范围还未学选修4-1、4-4、4-5的学生可选作此题25等比数列an的各项均为正数，且2a3是a2与a6的等比中项，2a1+3a2=16（）求数列an的通项公式；（）设bn=log2a1+log2a2+log2an，求数列的前n项和Sn2016-2017学年贵州省贵阳市普通高中高三（上）8月摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|y=log2（x1），B=x|x2，则AB=（）Ax|0x2Bx|1x2Cx|1x2DR【考点】交集及其运算【分析】先根据对数函数求出函数的定义域得到集合A，再利用交集定义求解【解答】解：由A=x|y=log2（x1），xR，可得A=x|x1，又B=x|x2，AB=x|1x2，故选：B2已知i为虚数单位，若复数z满足z+zi=2，则z的虚部为（）AiB1CiD1【考点】复数代数形式的混合运算【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可【解答】解：复数z满足z+zi=2，可得z=1i则z的虚部为1故选：D3已知实数x，y满足，则函数z=x+3y的最大值为（）A10B8C5D1【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【解答】解：由z=x+3y，得，作出不等式对应的可行域，平移直线，由平移可知当直线，经过点A时，直线，的截距最大，此时z取得最大值，由得，即A（1，3），代入z=x+3y，得z=1+33=10，即目标函数z=x+3y的最大值为10故选：A4已知双曲线的离心率为2，焦点是（4，0），（4，0），则双曲线方程为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得【解答】解已知双曲线的离心率为2，焦点是（4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A5在各项都为正数的等比数列an中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（）A33B72C84D189【考点】等比数列的性质【分析】根据等比数列an中，首项a1=3，前三项和为21，可求得q，根据等比数列的通项公式，分别求得a3，a4和a5代入a3+a4+a5，即可得到答案【解答】解：在各项都为正数的等比数列an中，首项a1=3，前三项和为21故3+3q+3q2=21，q=2，a3+a4+a5=（a1+a2+a3）q2=2122=84故选C6在边长为1的正三角形ABC中， =2，则=（）ABCD1【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量数量积的定义求出向量长度和向量夹角进行求解即可【解答】解：=2，=（+）=（+）=2+=1+11cos120=1=，法2=2，D是BC的中点，则在正三角形中，AD=，=BAD=30，则=|cos30=1=故选：C7函数y=sinx+cosx（0x2）取得最大值时，x=（）ABCD【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】直接利用辅助角公式化简，再由（0x2）求得答案【解答】解：y=sinx+cosx=2（）=2sin（x+）由，得0x2，当k=0时，x=故选：A8若函数f（x）=3x+lnx的图象在点（1，f（1）处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=（）ABC4D4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先求出f（x）=3x+lnx的导数，再求出函数f（x）=3x+lnx的图象在点（1，f（1）处的切线的斜率，根据两直线垂直可解出a的值【解答】解：函数f（x）=3x+lnx的导数为f（x）=3+，f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线斜率k=f（1）=3+1=4，直线x+ay+1=0的斜率为，由两直线垂直的条件：斜率之积为1，可得4=1，a=4故选：D9已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A，mmB，m，nmnCmn，nmDm，n，m，n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】在A中，m与平行、相交或m；在B中，m与n相交、平行或异面；由线面垂直的判定定理得C正确；在D中，与相交或平行【解答】解：由m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，知：在A中，mm与平行、相交或m，故A错误；在B中，m，nm与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，mn，nm，由线面垂直的判定定理得，C正确；在D中，m，n，m，n与相交或平行，故D错误故选：C10阅读右边的程序，若输出的y=3，则输入的x的值为（）A1B2C2D1或2【考点】程序框图【分析】首先判断程序框图，转化为分段函数形式，然后根据y=3分别代入三段函数进行计算，排除不满足题意的情况，最后综合写出结果【解答】解：根据程序框图分析，程序框图执行的是分段函数运算：y=，如果输出y为3，则当：x+4=3时，解得x=1，不满足题意；当x21=3时，解得：x=2，或2（舍去），综上，x的值2故选：B11已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x），且当x0，f（x）=3x+1，若a=2，b=4，c=25，则有（）Af（a）f（b）f（c）Bf（b）f（c）f（a）Cf（b）f（a）f（c）Df（c）f（a）f（b）【考点】对数值大小的比较【分析】当x0时，f（x）=（）x+1，再由cab，能求出f（a），f（b），f（c）的大小关系【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x），且当x0，f（x）=3x+1，当x0时，f（x）=（）x+1，a=2=4，b=4，c=25=，cab，f（c）f（a）f（b）故选：D12设正实数x，y，z满足x23xy+4y2z=0，则当取得最小值时，x+2yz的最大值为（）A0BC2D【考点】基本不等式【分析】将z=x23xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可求得x+2yz的最大值【解答】解：x23xy+4y2z=0，z=x23xy+4y2，又x，y，z为正实数，=+323=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y0），x+2yz=2y+2y（x23xy+4y2）=4y2y2=2（y1）2+22x+2yz的最大值为2故选：C二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13（x2+）6的展开式中常数项是15（用数字作答）【考点】二项式定理的应用【分析】本题可通过通项公式Tr+1=Cnranrbr来确定常数项，从而根据常数相中x的指数幂为0即可确定C6r（x2）6r中r的值，然后即可求出常数项是15【解答】解：设通项公式为，整理得C6rx123r，因为是常数项，所以123r=0，所以r=4，故常数项是c64=15故答案为1514如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a=3【考点】由三视图求面积、体积【分析】该几何体是放倒的三棱柱，依据所给数据求解即可【解答】解：由已知可知此几何体是三棱柱，其高为a，侧面是边长为2的正三角形，其面积为S=，由题意可得：V=3=a，解得：a=3故答案为：315已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的8个顶点都在球O的表面上，AB=1，AA1=2，则球O的半径R=6；若E、F是棱AA1和DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为【考点】棱柱的结构特征【分析】由题意可知正四棱柱的体对角线计算球的直径，求出对角线的长可得球的直径，求出半径，即可求出球的表面积；如图所示，OP 是球的半径，OQ是棱长的一半，求出PQ的2倍即可求出直线EF被球O截得的线段长【解答】解：正四棱柱对角线为球直径，A1C2=1+1+4，所以R=，所以球的表面积为6；由已知所求EF是正四棱柱在球中其中一个截面的直径上的一部分，Q为EF的中点，d=，R=，所以PQ=，所以2PQ=故答案为：6；16已知直线l：y=k（x+1）与圆x2+y2=（2）2交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，若|AB|=4，则|CD|=【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据直线与圆相交，圆x2+y2=（2）2可知：圆心为（0，0），半径r=2，弦长为|AB|=4=2r，说明直线过圆心求解k的值得到直线AB的倾斜角，根据AOC和OBD是两个全等的直角三角形，OA=OB=2即可求出OC和OD即可得到|CD|的长度【解答】解：由圆的方程x2+y2=（2）2可知：圆心为（0，0），半径r=2，弦长为|AB|=4=2r，说明，直线过圆心则有：0=k（01），解得k=，直线AB的方程为：y=x设直线AB的倾斜角为，则tan=，=60RtAOC中：|CO|=那么：|CD|=2|OC|=故答案为：三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足3asinC=4ccosA， =3（）求ABC的面积S；（）若c=1，求a的值【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算【分析】（I）由3asinC=4ccosA，利用正弦定理可得3sinAsinC=4sinCcosA，sinC0，可得tanA，sinA，cosA由=3，可得bccosA=3，解得bc即可得出S=bcsinA（II）利用（I）及其余弦定理即可得出【解答】解：（I）3asinC=4ccosA，3sinAsinC=4sinCcosA，sinC0，tanA=，可得sinA=，cosA=3，bccosA=3，bc=5S=bcsinA=2（II）由（I）可得：b=5a2=1+52251=20，解得a=218通过随机询问100性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下22列联表：男女总计爱好40不爱好25总计45100（）将题中的22列联表补充完整；（）能否有99%的把握认为断爱好该项运动与性别有关？请说明理由；（）利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建了“运动达人社”，现从“运动达人设”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为X，求X的分布列和数学期望附：K2=，p（K2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828【考点】独立性检验的应用【分析】（）根据22列联表数据共享将表中空白部分数据补充完整（）求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（）由题意，抽取6人中，男生4名，女生2名，选出3人中的女大学生人数为X，X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）【解答】解：（）22列联表如下：男女总计爱好402060不爱好152540总计5545100（）K2=8.256.635，99%的把握认为断爱好该项运动与性别有关；（）由题意，抽取6人中，男生4名，女生2名，选出3人中的女大学生人数为X，X的取值为0，1，2，则P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=X的分布列为X012PE（X）=0+1+2=119如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上（）求证：平面AEC平面PDB；（）当PD=2AB，且E为PB的中点，求二面角BAEC的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（1）由PD底面ABCD，可得PDAC，利用正方形的性质可得：ACBD，再利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明（2）分别以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角公式即可得出【解答】（1）证明：PD底面ABCD，AC平面ABCD，PDAC，底面ABCD是正方形，ACBD，又PDBD=D，AC平面ABCD，又AC平面AEC，平面AEC平面PDB（2）解：分别以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB=2，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），P（0，0，4），E（1，1，2），=（0，2，0），=（1，1，2），取平面ABC的一个法向量为，设平面ABE的法向量，则，可得，取=（2，0，1）=二面角BAEC的余弦值为20已知椭圆C： +=1（a0，b0）的离心率为，点A（0，2）与椭圆右焦点F的连线的斜率为（）求椭圆C的方程；（）O为坐标原点，过点A的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，当OPQ的面积最大时，求直线l的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得关于c的方程，求出c，由离心率e=，求得a，由b2=a2c2，求得b的值，即可求得椭圆C的方程；（）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可设直线l的方程为：y=kx2，与椭圆的方程联立可得（1+4k2）x216kx+12=0，求出方程的根，从而表示出|PQ|以及点O到直线PQ的距离，从而表示出SOPQ，再利用基本不等式的性质即可得出直线l的方程【解答】解：（1）设F（c，0）直线AF的斜率为，=，解得c=又离心率为e=，由b2=a2c2，解得：a=2，b=1，椭圆E的方程为+y2=1（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可设直线l的方程为：y=kx2，与椭圆方程联立，整理得：（1+4k2）x216kx+12=0，当=16（4k23）0时，即k2时，x1+x2=，x1x2=，|PQ|=，点O到直线l的距离d=，SOPQ=d|PQ|=，设=t0，则4k2=t2+3，SOPQ=1，当且仅当t=2，即=2，解得k=时取等号，且满足0，OPQ的面积最大时，直线l的方程为：y=x221已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（其中aR）（）求函数f（x）的极值；（）设函数h（x）=f（x）+g（x）1，试确定h（x）的单调区间及最值；（）求证：对于任意的正整数n，均有e成立（注：e为自然对数的底数）【考点】利用导数研究函数的极值；导数的运算【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（）令a=1，得到1lnx=ln，亦即，分别取 x=1，2，n，相乘即可【解答】解：（）f（x）=xlnx，（x0），f（x）=1+lnx，令f（x）0，解得：x，令f（x）0，解得：0x，f（x）在（0，）递减，在（，+）递增，f（x）的极小值是f（）=；（）h（x）=f（x）+g（x）1=lnx+，（x0），h（x）=，a0时，h（x）0，h（x）在（0，+）递增，无最值，a0时，令h（x）0，解得：xa，令h（x）0，解得：0xa，h（x）在（0，a）递减，在（a，+）递增，h（x）min=h（a）=1+lna，（）取a=1，由（）知，h（x）=lnx+f（1）=1，1lnx=ln，亦即，分别取 x=1，2，n得，将以上各式相乘，得：e成立请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图所示，AC为O的直径，D为的中点，E为BC的中点（）求证：DEAB；（）求证：ACBC=2ADCD【考点】与圆有关的比例线段【分析】（I）欲证DEAB，连接BD，因为D为的中点及E为BC的中点，可得DEBC，因为AC为圆的直径，所以ABC=90，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；（II）欲证ACBC=2ADCD，转化为ADCD=ACCE，再转化成比例式=最后只须证明DACECD即可【解答】证明：（）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC因为E为BC的中点，所以DEBC因为AC为圆的直径，所以ABC=90，所以ABDE（）因为D为的中点，所以BAD=DAC，又BAD=DCB，则DAC=DCB又因为ADDC，DECE，所以DACECD所以=，ADCD=ACCE，2ADCD=AC2CE，因此2ADCD=ACBC选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为=2sin（）求圆C的直角做