甘肃省河西五地市2015届高三第一次联考数学文试题Word版含解析.doc

*甘肃省河西五地市2015届高三第一次联考数学(文) 试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合M=x|x2+3x+20，集合，则MN=（） A x|x2 B x|x1 C x|x1 D x|x2【考点】： 并集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式的解法【专题】： 计算题【分析】： 根据题意先求出集合M和集合N，再求MN【解析】： 解：集合M=x|x2+3x+20=x|2x1，集合=x|2x22=x|x2=x|x2，MN=x|x2，故选A【点评】： 本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答2（5分）下面是关于复数的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为1其中真命题为（） A p2，p3 B p1，p2 C p2，p4 D p3，p4【考点】： 命题的真假判断与应用；复数代数形式的乘除运算【专题】： 计算题；函数的性质及应用【分析】： 求出|z|，可判断p1的真假；化简z2，可判断p2的真假；，可得z的共轭复数为1i，z的虚部为1，由此可得结论【解析】： 解：p1：|z|=，故命题为假；p2：z2=2i，故命题为真；，z的共轭复数为1i，故命题p3为假；，p4：z的虚部为1，故命题为真故真命题为p2，p4故选B【点评】： 本题考查命题真假的判定，考查复数知识，考查学生的计算能力，属于基础题3（5分）下列推断错误的是（） A 命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1则x23x+20” B 命题p：存在x0R，使得x02+x0+10，则非p：任意xR，都有x2+x+10 C 若p且q为假命题，则p，q均为假命题 D “x1”是“x23x+20”的充分不必要条件【考点】： 命题的真假判断与应用【专题】： 简易逻辑【分析】： A，写出命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题，可判断A；B，写出命题p：“存在x0R，使得x02+x0+10”的否定p，可判断B；C，利用复合命题的真值表可判断C；D，x23x+20x2或x1，利用充分必要条件的概念可判断D【解析】： 解：对于A，命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1则x23x+20”，正确；对于B，命题p：存在x0R，使得x02+x0+10，则非p：任意xR，都有x2+x+10，正确；对于C，若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误；对于D，x23x+20x2或x1，故“x1”是“x23x+20”的充分不必要条件，正确综上所述，错误的选项为：C，故选：C【点评】： 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的理解与应用，考查复合命题与充分必要条件的真假判断，属于中档题4（5分）若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（） A B C D 6【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 计算题；压轴题；图表型【分析】： 由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，其高已知，底面正三角形的高为，故先解三角形求出底面积，再由体积公式求解其体积即可【解析】： 解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是，设底面边长为a，则，a=6，故三棱柱体积故选B【点评】： 本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是本棱柱的体积三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能5（5分）已知平面向量与的夹角为，且|=1，|+2|=2，则|=（） A 1 B C 2 D 3【考点】： 平面向量数量积的运算；向量的模【专题】： 计算题；平面向量及应用【分析】： 利用|+2|22+4+42=12，根据向量数量积的运算，化简得出关于|的方程，求解即可【解析】： 解：|+2|=2，|+2|2=12，即2+4+42=12，|2+4|1cos60+412=12，化简得|2+2|8=0，解得|=2，故选：C【点评】： 本题考查向量模的计算，向量数量积的计算，属于基础题6（5分）函数y=a1x（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny1=0（mn0）上，则的最小值为（） A 3 B 4 C 5 D 6【考点】： 基本不等式【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 函数y=a1x（a0，a1）的图象恒过定点A（1，1），由于点A在直线mx+ny1=0（mn0）上，可得m+n=1再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解析】： 解：函数y=a1x（a0，a1）的图象恒过定点A（1，1），点A在直线mx+ny1=0（mn0）上，m+n=1则=（m+n）=2+=4，当且仅当m=n=时取等号故选：B【点评】： 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、指数函数的性质，属于基础题7（5分）等比数列an中，a4=2，a5=5，则数列lgan的前8项和等于（） A 6 B 5 C 3 D 4【考点】： 等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 由等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a4a5=10，由对数的运算性质，整体代入计算可得【解析】： 解：等比数列an中a4=2，a5=5，a4a5=25=10，数列lgan的前8项和S=lga1+lga2+lga8=lg（a1a2a8）=lg（a4a5）4=4lg（a4a5）=4lg10=4故选：D【点评】： 本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，基本知识的考查8（5分）已知集合表示的平面区域为，若在区域内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y22的概率为（） A B C D 【考点】： 几何概型；简单线性规划【专题】： 概率与统计【分析】： 作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可【解析】： 解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为AOB，由，解得，即B（4，4），由，解得，即A（，），直线2x+y4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则OAB的面积S=，点P的坐标满足不等式x2+y22区域面积S=，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y22的概率为=，故选：D【点评】： 本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据几何概型的概率公式进行求解9（5分）已知函数f（x）的定义域为1，4，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f（x）的图象如图所示x 1 0 2 3 4f（x） 1 2 0 2 0当1a2时，函数y=f（x）a的零点的个数为（） A 2 B 3 C 4 D 5【考点】： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性【专题】： 数形结合；导数的概念及应用【分析】： 根据导函数图象，画出原函数的草图，利用1a2，即可得到函数y=f（x）a的零点的个数【解析】： 解：根据导函数图象，可得1是函数的极小值点，函数y=f（x）的图象如图所示因为f（0）=f（3）=2，1a2，所以函数y=f（x）a的零点的个数为4个故选C【点评】： 本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减10（5分）定义行列式运算：若将函数的图象向左平移m（m0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（） A B C D 【考点】： 函数y=Asin（x+）的图象变换；二阶行列式与逆矩阵【专题】： 计算题；新定义；三角函数的图像与性质【分析】： 由定义的行列式计算得到函数f（x）的解析式，化简后得到y=f（x+m）的解析式，由函数y=f（x+m）是奇函数，则x取0时对应的函数值等于0，由此求出m的值，进一步得到m的最小值【解析】： 解：由定义的行列式运算，得=将函数f（x）的图象向左平移m（m0）个单位后，所得图象对应的函数解析式为由该函数为奇函数，得，所以，则m=当k=0时，m有最小值故选C【点评】： 本题考查了二阶行列式与矩阵，考查了函数y=Asin（x+）的图象变换，三角函数图象平移的原则是“左加右减，上加下减”，属中档题11（5分）（2012四川）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（） A B C 4 D 【考点】： 抛物线的简单性质【专题】： 计算题【分析】： 关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|【解析】： 解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p0）点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，2+=3p=2抛物线方程为y2=4xM（2，y0）|OM|=故选B【点评】： 本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程12（5分）设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，yR，都有f（x）f（y）=f（x+y），若a1=，an=f（n）（nN*），则数列an的前n项和Sn的取值范围是（） A ，2） B ，2 C ，1） D ，1【考点】： 抽象函数及其应用【专题】： 函数的性质及应用；等差数列与等比数列【分析】： 根据f（x）f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得数列an是以为首项，以为等比的等比数列，进而可以求得Sn，进而Sn的取值范围【解析】： 解：对任意x，yR，都有f（x）f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，得f（n）f（1）=f（n+1），即=f（1）=，数列an是以为首项，以为等比的等比数列，an=f（n）=（）n，Sn=1（）n，1）故选C【点评】： 本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x，yR，都有f（x）f（y）=f（x+y）得到数列an是等比数列，属中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13（5分）定义某种运算，S=ab的运算原理如图；则式子53+24=14【考点】： 选择结构【专题】： 图表型【分析】： 通过程序框图判断出S=ab的解析式，求出53+24的值【解析】： 解：有框图知S=ab=53+24=5（31）+4（21）=14故答案为14【点评】： 新定义题是近几年常考的题型，要重视解决新定义题关键是理解题中给的新定义14（5分）若tan+=4，则sin2=【考点】： 二倍角的正弦【专题】： 三角函数的求值【分析】： 先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求【解析】： 解：若tan+=4，则sin2=2sincos=，故答案为 【点评】： 本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题15（5分）（2012辽宁）已知双曲线x2y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|+|PF2|的值为【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 计算题；压轴题【分析】： 根据双曲线方程为x2y2=1，可得焦距F1F2=2，因为PF1PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2再结合双曲线的定义，得到|PF1|PF2|=2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为【解析】： 解：PF1PF2，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2双曲线方程为x2y2=1，a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8又P为双曲线x2y2=1上一点，|PF1|PF2|=2a=2，（|PF1|PF2|）2=4因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）（|PF1|PF2|）2=12|PF1|+|PF2|的值为故答案为：【点评】： 本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题16（5分）已知曲线y=（a3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x3ax23x+1在1，2上单调递减，则a的范围为【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【专题】： 导数的综合应用【分析】： 根据曲线y=（a3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y=0有解，利用f（x）=x3ax23x+1在1，2上单调递减，则f（x）0恒成立【解析】： 解：因为y=（a3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y=0有解，即y=在x0时有解，所以3（a3）x3+1=0，即a30，所以此时a3函数f（x）=x3ax23x+1在1，2上单调递减，则f（x）0恒成立，即f（x）=3x22ax30恒成立，即，因为函数在1，2上单调递增，所以函数的最大值为，所以，所以综上故答案为：【点评】： 本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用三、解答题（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosBccosB（）求cosB的值；（）若，且，求a和c的值【考点】： 正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理【专题】： 计算题；转化思想【分析】： （1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=32RsinAcosB2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a2+b2=12，再根据完全平方式易得a=c=【解析】： 解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则2RsinBcosC=6RsinAcosB2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosBsinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，可得sinA=3sinAcosB又sinA0，因此（6分）（II）解：由，可得accosB=2，由b2=a2+c22accosB，可得a2+c2=12，所以（ac）2=0，即a=c，所以（13分）【点评】： 本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力18（12分）为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对1565岁的人群抽样了n人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率第1组 15，25） a 0.5第2组 25，35） 18 x第3组 35，45） b 0.9第4组 45，55） 9 0.36第5组 55，65 3 y（）分别求出a，b，x，y的值；（）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（）在（）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率【考点】： 古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图【专题】： 概率与统计【分析】： （I）由频率表中第4组数据可知，第4组的频数为25，再结合频率分布直方图求得n，a，b，x，y的值；（II）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，抽取比例为，根据抽取比例计算第2，3，4组每组应抽取的人数；（III）列出从6人中随机抽取2人的所有可能的结果，共15基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，利用古典概型概率公式计算【解析】： 解：（）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，再结合频率分布直方图可知n=，a=1000.01100.5=5，b=1000.03100.9=27，；（）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人；第3组：人；第4组：人 （）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1）共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：【点评】： 本题考查了频率分布表与频率分布直方图，考查了古典概型的概率计算，解题的关键是读懂频率分布直方图19（12分）已知四棱锥PABCD，底面ABCD是A=60、边长为a的菱形，又PD底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点（1）证明：DN平面PMB；（2）证明：平面PMB平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离【考点】： 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算【专题】： 证明题；综合题【分析】： （1）取PB中点Q，连接MQ、NQ，再加上QNBCMD，且QN=MD，于是DNMQ，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；（2）易证PDMB，又因为底面ABCD是A=60、边长为a的菱形，且M为AD中点，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明；（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离，过点D作DHPM于H，由（2）平面PMB平面PAD，所以DH平面PMB，DH是点D到平面PMB的距离，从而求解【解析】： 解：（1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC中点，所以QNBCMD，且QN=MD，于是DNMQDN平面PMB（2）PDMB又因为底面ABCD是A=60、边长为a的菱形，且M为AD中点，所以MBAD又ADPD=D，所以MB平面PAD.平面PMB平面PAD（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离过点D作DHPM于H，由（2）平面PMB平面PAD，所以DH平面PMB故DH是点D到平面PMB的距离.点A到平面PMB的距离为【点评】： 本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想20（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程【考点】： 椭圆的标准方程；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【专题】： 计算题【分析】： （）先设出椭圆的方程，根据题设中的焦距求得c和焦点坐标，根据点（1，）到两焦点的距离求得a，进而根据b=求得b，得到椭圆的方程（）先看当直线lx轴，求得A，B点的坐标进而求得AF2B的面积与题意不符故排除，进而可设直线l的方程为：y=k（x+1）与椭圆方程联立消y，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，进而根据表示出|AB|的距离和圆的半径，求得k，最后求得圆的半径，得到圆的方程【解析】： 解：（）设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为F1（1，0），F2（1，0）a=2，又c=1，b2=41=3，故椭圆的方程为（）当直线lx轴，计算得到：，不符合题意当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），由，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k212=0显然0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，又即，又圆F2的半径，所以，化简，得17k4+k218=0，即（k21）（17k2+18）=0，解得k=1所以，故圆F2的方程为：（x1）2+y2=2【点评】： 本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，椭圆与圆的关系考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力21（12分）已知函数，（其中常数m0）（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m3，+）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1）、Q（x2，f（x2），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围【考点】： 基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【专题】： 综合题【分析】： （1）利用导数，我们可以确定函数的单调性，这样就可求f（x）的极大值；（2）求导数，再进行类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；（3）曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，意味着导数值相等，由此作为解题的突破口即可【解析】： 解：（1）当m=2时，（x0）令f（x）0，可得或x2；令f（x）0，可得，f（x）在和（2，+）上单调递减，在单调递减 故（2）（x0，m0）当0m1时，则，故x（0，m）时，f（x）0；x（m，）时，f（x）0此时f（x）在（0，m），上单调递减，在（m，）单调递增； 当m=1时，则，故x（0，1），有恒成立，此时f（x）在（0，1）上单调递减； 当m1时，则，故（m，1）时，f（x）0；时，f（x）0此时f（x）在，（m，1）上单调递减，在单调递增 （3）由题意，可得f（x1）=f（x2）（x1，x20，且x1x2）即 x1x2，由不等式性质可得恒成立，又x1，x2，m0对m3，+）恒成立 令，则对m3，+）恒成立g（m）在3，+）上单调递增，故从而“对m3，+）恒成立”等价于“”x1+x2的取值范围为【点评】： 运用导数，我们可解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E（）求证ABPC=PAAC（）求ADAE的值【考点】： 与圆有关的比例线段【专题】： 直线与圆【分析】： （1）由已知条件推导出PABPCA，由此能够证明ABPC=PAAC（2）由切割线定理求出PC=40，BC=30，由已知条件条件推导出ACEADB，由此能求出ADAE的值【解析】： （1）证明：PA为圆O的切线，PAB=ACP，又P为公共角，PABPCA，ABPC=PAAC（4分）（