完全信息静态博弈PPT课件.pptx

第二章完全信息静态博弈 本章介绍完全信息静态博弈 完全信息静态博弈即各博弈方同时决策 且所有博弈方对各方得益都了解的博弈 囚徒的困境 齐威王田忌赛马 猜硬币 石头剪子布 古诺产量决策都属于这种博弈 完全信息静态博弈属于非合作博弈最基本的类型 本章介绍完全信息静态博弈的一般分析方法 纳什均衡概念 各种经典模型及其应用等 3 21 2020 1 2 1 1占优战略均衡 上策均衡 占优战略 不论其他人选择什么战略 参与人的最优战略是唯一的 这样的最优战略称为 占优战略 dominantstrategy 3 21 2020 2 2 1 1占优战略均衡 上策均衡 定义 在博弈的战略表达式中 如果对于所有的i Si 是i的占优战略 下列战略组合称为占优战略均衡 3 21 2020 3 2 1 1占优战略均衡 上策均衡 注意 如果所有人都有 严格 占优战略存在 那么占优战略均衡就是可以预测的唯一均衡 占优战略只要求每个参与人是理性的 而不要求每个参与人知道其他参与人是理性的 也就是说 不要求理性是共同知识 为什么 3 21 2020 4 2 1 1占优战略均衡 上策均衡 案例 房地产开发项目 假设有A B两家开发商市场需求 可能大 也可能小投入 1亿 假定市场上有两栋楼出售 需求大时 每栋售价1 4亿 需求小时 售价7千万 如果市场上只有一栋楼需求大时 可卖1 8亿 需求小时 可卖1 1亿 3 21 2020 5 2 1 1占优战略均衡 上策均衡 不开发 开发商A 开发 不开发 开发 不开发 开发商B 开发商A 开发 不开发 开发 开发商B 需求小的情况 需求大的情况 3 21 2020 6 等待 小猪 大猪 按 等待 按 智猪博弈 大猪有上策 严格占优战略 2 1 1占优战略均衡 上策均衡 3 21 2020 7 2 1 2重复剔除的占优均衡 重复剔除严格劣战略 思路 首先找到某个参与人的劣战略 假定存在 把这个劣战略剔除掉 重新构造一个不包含已剔除战略的新的博弈 然后再剔除这个新的博弈中的某个参与人的劣战略 一直重复这个过程 直到只剩下唯一的战略组合为止 这个唯一剩下的战略组合就是这个博弈的均衡解 称为 重复剔除的占优均衡 3 21 2020 8 2 1 2重复剔除的占优均衡 注意 与占优战略均衡中的占优战略和劣战略不同 这里的占优战略或劣战略可能只是相对于另一个特定战略而言 一般来说 严格下策反复消去法 比占优战略分析法适用范围更大一些 3 21 2020 9 2 1 2重复剔除的占优均衡 等待 小猪 大猪 按 等待 按 智猪博弈 按 是大猪的占优战略 纳什均衡 大猪按 小猪等待 3 21 2020 10 2 1 2重复剔除的占优均衡 重复剔除的占优均衡战略组合称为重复剔除的占优均衡 如果它是重复剔除劣战略后剩下的唯一战略组合 如果这种唯一战略组合是存在的 我们就说该博弈是重复剔除占优可解 注意 如果重复剔除后的战略组合不唯一 该博弈就不是重复剔除占优可解的 3 21 2020 11 2 1 2重复剔除的占优均衡 M 列先生 行先生 U D L R 行 没有占优战略列 M严格优于R剔除R 行 L优于D列 无占优战略剔除D M优于L U M 是重复剔除的占优均衡 3 21 2020 12 2 1 2重复剔除的占优均衡 练习 在下列战略式表达中 找出重复剔除的占优均衡 C2 R1 R2 C1 C3 R3 3 21 2020 13 2 1 2重复剔除的占优均衡 注意 重复剔除的占优均衡结果与劣战略的剔除顺序是否有关取决于剔除的是否是严格劣战略 重复剔除的占优均衡要求每个参与人是理性的 而且要求 理性 是参与人的共同知识 即 所有参与人知道所有参与是理性的 所有参与人知道所有参与人知道所有参与是理性的 3 21 2020 14 2 1 2重复剔除的占优均衡 C2 R1 R2 C1 C3 R3 剔除顺序 R3 C3 C2 R2 战略组合 R1 C1 故一般使用严格劣战略剔除 可以看到 R1 C3 R1 C1 都是纳什均衡 但在这里是不可解的 剔除顺序 C2 R2 C1 R3 战略组合 R1 C3 举例 3 21 2020 15 2 1 2重复剔除的占优均衡 尽管许多博弈中重复剔除的占优均衡是一个合理的预测 但并不总是如此 尤其是大概支付某些极端值的时候 参与人B 参与人A U D L R U是A的最优选择 但是 只要有1 1000的概率B选R A就会选D 3 21 2020 16 房地产开发中需求小情况 不开发 开发商A 开发 不开发 开发 不开发 开发商B 开发商A 开发 不开发 开发 开发商B 需求小的情况 需求大的情况 博弈的战略式表述 2 1 2重复剔除的占优均衡 3 21 2020 17 斗鸡博弈 退 B A 进 退 进 独木桥 纳什均衡 A进 B退 A退 B进 对于相当多的博弈 我们无法运用重复剔除劣战略的方法找出均衡解 为了找出这些博弈的均衡解 需要引入纳什均衡 2 1 2重复剔除的占优均衡 3 21 2020 18 2 1 3划线法 适用性较强的博弈分析方法 必然是策略之间的相对优劣关系 而不是绝对优劣关系为基础的 划线法的决策思路先找出自己针对其他博弈方每种策略的最佳对策 即自己的可选策略与其他博弈方的策略或策略组合配合 给自己带来最大得益的策略 然后在此基础上 通过对其他博弈方策略选择的判断 包括其他博弈方对自己策略的判断等 预测博弈的可能结果和确定自己的最优策略 3 21 2020 19 2 1 3划线法 3 21 2020 20 2 1 4箭头法 基本思路对博弈中每个策略组合进行分析 考察在每个策略组合处各个博弈方能否通过单独改变自己的策略而增加得益 如能 则从所分析的策略组合对应的得益数组引一箭头 到改变策略后策略组合对应的得益数组 最后综合分析对每个策略组合的分析情况 形成对博弈结构的判断 3 21 2020 21 2 1 4箭头法 3 21 2020 22 划线法与箭头法分析 根据上面的分析 箭头法的思路与划线法是不同的 但是两者都是基于策略之间相对优劣关系进行分析的 得到的结论 也都是一致的 因此这两种方法是可以替代的方法 3 21 2020 23 2 2纳什均衡 假设n个参与人在博弈之前达成一个协议 规定每一个参与人选择一个特定的战略 另代表这个协议 在没有外在强制力的情况下 如果没有任何人有积极性破坏这个协议 则这个协议是自动实施的 这个协议就构成了一个纳什均衡 3 21 2020 24 2 2纳什均衡 通俗地说 纳什均衡的含义就是 给定你的策略 我的策略是最好的策略 给定我的策略 你的策略也是你的最好的策略 即双方在给定的策略下不愿意调整自己的策略 3 21 2020 25 2 2纳什均衡 寻找纳什均衡 C2 R1 R2 C1 C3 R3 参与人B 参与人A R3 C3 是纳什均衡 3 21 2020 26 2 2纳什均衡 C2 R1 R2 C1 C3 R3 剔除顺序 R3 C3 C2 R2 战略组合 R1 C1 故一般使用严格劣战略剔除 可以看到 R1 C3 R1 C1 都是纳什均衡 但在这里是不可解的 剔除顺序 C2 R2 C1 R3 战略组合 R1 C3 请用上述划线法寻找下列纳什均衡 3 21 2020 27 练习 找出下列两队夫妻的纳什均衡 死了 恩爱夫妻 活着 死了 活着 死了 妻子 相互仇恨夫妻 活着 死了 活着 妻子 丈夫 丈夫 3 21 2020 28 2 2纳什均衡 纳什均衡与占优战略均衡及重复剔除的占优均衡 每一个占优战略均衡及重复剔除的占优均衡一定是纳什均衡 但并非每一个纳什均衡都是占优战略均衡或重复剔除的占优均衡 纳什均衡一定是在重复剔除严格劣战略过程中没有被剔除掉的战略组合 但没有被剔除掉的组合不一定是纳什均衡 除非它是唯一的 不适用于严格弱劣战略的情况 3 21 2020 29 2 2纳什均衡 一致预测 如果所有博弈方都预测一个特定博弈结果会出现 所有博弈方都不会利用该预测或者这种预测能力选择与预测结果不一致的策略 即没有哪个博弈方有偏离这个预测结果的愿望 因此预测结果会成为博弈的最终结果 只有纳什均衡才具有一致预测的性质 一致预测性是纳什均衡的本质属性 一致预测并不意味着一定能准确预测 因为有多重均衡 预测不一致的可能 3 21 2020 30 2 2纳什均衡 诺贝尔经济学奖获得者萨缪尔森有一句话 你可以将一只鹦鹉训练成一个经济学家 因为它只需要学习两个词 供给和需求 博弈论专家坎多瑞引申说 要成为现代经济学家 这只鹦鹉必须再多学一个词 就是 纳什均衡 3 21 2020 31 不同均衡概念的关系 占优均衡DSE 重复剔除占优均衡IEDE 纯战略纳什均衡PNE 2 2纳什均衡 3 21 2020 32 2 3无限策略分析和反应函数 2 3 1古诺的寡头模型2 3 2反应函数2 3 3伯特兰德寡头模型2 3 4公共资源问题2 3 5反应函数的问题和局限性2 3 6普林斯顿大学的一道习题 3 21 2020 33 2 3 1古诺的寡头模型 企业1 企业2 参与人 企业1 企业2战略 选择产量支付 利润 利润是两个企业产量的函数 3 21 2020 34 2 3 1古诺的寡头模型 qi 第i个企业的产量Ci qi 代表成本函数P P q1 q2 价格是两个企业产量的函数第i个企业的利润函数为 3 21 2020 35 2 3 1古诺的寡头模型 q1 q2 是纳什均衡意味着 找出纳什均衡的方法是对每个企业的利润函数求一阶导数 使其为0 反应函数 是指每个博弈方针对其他博弈方所有战略的最佳反应构成的函数 3 21 2020 36 2 3 1古诺的寡头模型 q2 q1 每个企业的最优产量是另一个企业的产量的函数 交叉点即纳什均衡点 反应函数 是指每个博弈方针对其他博弈方所有战略的最佳反应构成的函数 纳什均衡就是各个博弈方的一组互为最佳反应对策的战略 3 21 2020 37 2 3 1古诺的寡头模型 假定每个企业有不变的单位成本 假定需求函数为 最优化的一阶条件是 解反应函数得纳什均衡为 纳什均衡状态下每个企业的利润为 3 21 2020 38 2 3 1古诺的寡头模型 为什么说库诺特 Cournot 寡头竞争模型是典型的囚徒困境问题 垄断企业的问题 垄断企业的最优产量 垄断利润为 寡头竞争的总产量大于垄断产量的原因是 每个企业在选择自己的最优产量时 只考虑对本企业利润的影响 而忽视了对另外一个企业的外部负效应 3 21 2020 39 4 5 4 5 5 3 75 3 75 5 4 4 不突破 突破 厂商2 不突破 突破 厂商1 以自身最大利益为目标 各生产2单位产量 各自得益为4 以两厂商总体利益最大 各生产1 5单位产量 各自得益为4 5 两寡头间的囚徒困境博弈 3 21 2020 40 2 3 3伯特兰德寡头模型 价格竞争寡头的博弈模型产品无差别 消费者对价格不十分敏感 41 2 3 4公共资源问题 公共地的悲剧证明 如果一种资源没有排他性的所有权 就会导致资源的过度使用 公海捕鱼小煤窑的过度发展 3 21 2020 42 2 3 4公共资源问题 有n个农民的村庄共同拥有一片草地 每个农民都有在草地上放牧的自由 每年春天 农民要决定自己养多少只养 gi 第i个农民饲养的数量 i 1 2 n n个农民饲养的总量 V 代表每只羊的平均价值 v是G的函数 v v G 因为每只羊至少要一定数量的草才不至于饿死 有一个最大的可存活量Gmax 当G0 当G G x 时 v G 0 3 21 2020 43 2 3 4公共资源问题 当草地上羊很少时 增加一只羊也许不会对其他羊的价值有太大影响 但随着羊的不断增加 每只羊的价值将急剧下降 参与人 农民战略 养羊的数量支付 利润 3 21 2020 44 2 3 4公共资源问题 假设一只羊的价格为c 对于农民i来讲 其利润函数为 最优化的一阶条件为 上述一阶条件可以解释为 增加一只羊有正负两方面的效应 正的效应是这只羊本身的价值v 负的效应是这只羊使所有之前的羊的价值降低 3 21 2020 45 2 3 4公共资源问题 其最优解满足边际收益等于边际成本 上述n个一阶条件定义了n个反应函数 因为 所以 3 21 2020 46 2 3 4公共资源问题 第i个农民的最优饲养量随其他农民的饲养量增加而递减 n个反应函数的交叉点就是纳什均衡 尽管每个农民在决定自己增加饲养量时考虑了对现有羊价值的影响 但是他考虑的只是对自己羊的影响 而并不是对所有羊的影响 因此 最优点上的个人边际成本小于社会边际成本 纳什均衡总饲养量大于社会最优饲养量 3 21 2020 47 2 3 5反应函数的问题和局限性 在许多博弈中 博弈方的策略是有限且非连续时 其得益函数不是连续可导函数 无法求得反应函数 从而不能通过解方程组的方法求得纳什均衡 即使得益函数可以求导 也可能各博弈方的得益函数比较复杂 因此各自的反应函数也比较复杂 并不总能保证各博弈方的反应函数有交点 特别不能保证有唯一的交点 3 21 2020 48 2 3 6普林斯顿大学的一道习题 如果给你两个师的兵力 由你来当 司令 任务是攻克 敌人 占据的一座城市 规定双方的兵力只能整师调动 通往城市的道路只有甲乙两条 当你发起攻击的时候 你的兵力超过敌人 你就获胜 你的兵力比敌人的守备兵力少或者相等 你就失败 那么你将怎样部署你的攻城方案 3 21 2020 49 2 3 6普林斯顿大学的一道习题 敌人 四种部署方案A三个师都驻守甲方 B两个师驻守甲方 一个师驻守乙方C一个师驻守甲方 两个师驻守乙方D三个师都驻守乙方我军 a集中全部兵力从甲方进攻b兵分两路 一个从甲方 一个从乙方 同时进攻c集中兵力从乙方进攻 3 21 2020 50 2 3 6普林斯顿大学的一道习题 敌人 四种部署方案A三个师都驻守甲方 B两个师驻守甲方 一个师驻守乙方C一个师驻守甲方 两个师驻守乙方D三个师都驻守乙方我军 a集中全部兵力从甲方进攻b兵分两路 一个从甲方 一个从乙方 同时进攻c集中兵力从乙方进攻 A B C D a b c 3 21 2020 51 2 3 6普林斯顿大学的一道习题 A B C D a b c 敌军 我军 3 21 2020 52 2 4混合策略和混合策略纳什均衡 2 4 1混合策略纳什均衡介绍2 4 2严格竞争博弈和混合策略的引进2 4 3多重均衡博弈和混合策略2 4 4混合策略和严格下策反复消去法2 4 5混合策略反应函数 3 21 2020 53 2 41混合策略纳什均衡介绍 社会福利博弈 流浪 流浪汉 政府 救济 不救济 寻找工作 没有一个战略组合构成纳什均衡 3 21 2020 54 2 41混合策略纳什均衡介绍 社会福利博弈 流浪 流浪汉 政府 救济 不救济 寻找工作 设 政府救济的概率 1 2 不救济的概率 1 2 流浪汉 寻找工作的概率 0 2 流浪的概率 0 8每个参与人的战略都是给定对方混合战略时的最优战略 3 21 2020 55 2 41混合策略纳什均衡介绍 战略 参与人在给定信息集的情况下选择行动的规则 它规定参与人在什么情况下选择什么行动 是参与人的 相机行动方案 纯战略 如果一个战略规定参与人在每一个给定的信息情况下只选择一种特定的行动 该战略为纯战略 混合战略 如果一个战略规定参与人在给定信息情况下以某种概率分布随机地选择不同的行动 则该战略为混合战略 3 21 2020 56 2 41混合战略纳什均衡介绍 纯战略可以理解为混合战略的特例 即在诸多战略中 选该纯战略si的概率为1 选其他纯战略的概率为0 等待 小猪 大猪 按 等待 按 反面 正面 反面 正面 3 21 2020 57 2 41混合战略纳什均衡介绍 如何寻找混合战略纳什均衡 支付最大化法支付等值法由于混合战略伴随的是支付的不确定性 因此参与人关心的是其期望效用 最优混合战略 是指使期望效用函数最大的混合战略 给定对方的混合战略 在两人博弈里 混合战略纳什均衡是两个参与人的最优混合战略的组合 3 21 2020 58 2 4混合策略纳什均衡介绍 流浪 流浪汉 政府 救济 不救济 寻找工作 即 流浪汉以0 2的概率选择寻找工作 0 8的概率选择游荡 同样 可以根据流浪汉的期望效用函数找到政府的最优混合战略 支付最大化法 3 21 2020 59 2 41混合策略纳什均衡介绍 社会福利博弈 流浪 流浪汉 政府 救济 不救济 寻找工作 设 政府救济的概率 1 2 不救济的概率 1 2 流浪汉 寻找工作的概率 0 2 流浪的概率 0 8每个参与人的战略都是给定对方混合战略时的最优战略 3 21 2020 60 2 41混合策略纳什均衡介绍 假定最优混合战略存在 给定流浪汉选择混合战略 r 1 r 政府选择纯战略救济的期望效用为 3r 1 1 r 4r 1选择纯战略不救济的效用为 1r 0 1 r r如果一个混合战略 而不是纯战略 是政府的最优选择 一定意味着政府在救济与不救济之间是无差异的 4r 1 rr 0 2 流浪 流浪汉 政府 救济 不救济 寻找工作 支付等值法 3 21 2020 61 2 4混合策略纳什均衡介绍 社会福利博弈 流浪 流浪汉 政府 救济 不救济 寻找工作 设 政府救济的概率 1 2 不救济的概率 1 2 流浪汉 寻找工作的概率 0 2 流浪的概率 0 8每个参与人的战略都是给定对方混合战略时的最优战略 3 21 2020 62 2 41混合战略纳什均衡介绍 对的解释 如果流浪汉以找工作的概率小于0 2 则政府选择不救济 如果大于0 2 政府选择救济 只有当概率等于0 2时 政府才会选择混合战略或任何纯战略 对 0 5的解释如果政府救济的概率大于0 5 流浪汉的最优选择是流浪 如果政府救济的概率小于0 5 流浪汉的最优选择是寻找工作 3 21 2020 63 2 41混合策略纳什均衡介绍 混合战略纳什均衡的含义 纳什均衡要求每个参与人的混合战略是给定对方的混合战略下的最优选择 因此在社会福利博弈中 0 5是唯一的混合战略纳什均衡 从反面来说 如果政府认为流浪汉选择寻找工作的概率严格小于0 2 那么政府的唯一最优选择是纯战略 不救济 如果政府以1的概率选择不救济 流浪汉的最优选择是寻找工作 这又将导致政府选择救济的战略 流浪汉则选择游荡 如此等等 3 21 2020 64 3 21 2020 65 2 41混合策略纳什均衡均衡 练习 模型化下述划拳博弈 两个老朋友在一起喝酒 每个人有四个纯战略 杠子 老虎 鸡和虫子 输赢规则是 杠子降鸡 鸡吃虫子 虫子降杠子 两人同时出令 如果一个打败另一个 赢的效用为1 输的效用为 1 否则效用为0 写出这个博弈的支付矩阵 这个博弈有纯战略均衡吗 计算其混合战略纳什均衡 3 21 2020 66 2 41混合策略纳什均衡介绍 一 猜硬币博弈 1 不存在前面定义的纳什均衡策略组合 2 关键是不能让对方猜到自己策略这类博弈很多 引出混合策略纳什均衡概念 3 21 2020 67 2 41混合策略纳什均衡介绍 该博弈无纯策略纳什均衡 可用混合策略纳什均衡分析 策略得益博弈方1 0 8 0 2 2 6博弈方2 0 8 0 2 2 6 3 21 2020 68 四 齐威王田忌赛马 2 41混合策略纳什均衡介绍 3 21 2020 69 五 小偷和守卫的博弈 加重对守卫的处罚 短期中的效果是使守卫真正尽职在长期中并不能使守卫更尽职 但会降低盗窃发生的概略 2 41混合策略纳什均衡介绍 70 加重对小偷的处罚 短期内能抑制盗窃发生率长期并不能降低盗窃发生率 但会是的守卫更多的偷懒 3 21 2020 71 2 4 2多重均衡博弈和混合策略 一 夫妻之争的混合策略纳什均衡 夫妻之争博弈的混合策略纳什均衡策略得益博弈方1 0 75 0 25 0 67博弈方2 1 3 2 3 0 75 3 21 2020 72 二 制式问题 制式问题混合策略纳什均衡AB得益厂商1 0 40 60 664厂商2 0 670 331 296 3 21 2020 73 三 市场机会博弈 进不进得益厂商1 2 31 30厂商2 2 31 30 3 21 2020 74 2 4 3混合策略和严格下策反复消去法 75 2 4 4混合策略反应函数 猜硬币博弈 76 夫妻之争博弈 77 2 5纳什均衡的存在性 纳什定理 在一个由n个博弈方的博弈中 如果n是有限的 且都是有限集 对 则该博弈至少存在一个纳什均衡 但可能包含混合策略 教材106页证明 主要根据是布鲁威尔和角谷的不动点定理 纳什均衡的普遍存在性正是纳什均衡成为非合作博弈分析核心概念的根本原因之一 78 2 5纳什均衡的存在性 不同均衡概念的关系 占优均衡DSE 重复剔除占优均衡IEDE 纯战略纳什均衡PNE 混合战略纳什均衡MNE 3 21 2020 79 2 5纳什均衡的存在性 纳什均衡存在性定理 每一个有限博弈至少存在一个纳什均衡 纯战略的或混合战略的 3 21 2020 80 2 5纳什均衡的存在性 一个博弈可能有多个均衡 两个人分蛋糕 性别战中的博弈 纳什均衡的多重性 博弈论并没有一个一般的理论证明纳什均衡结果一定能出现 芭蕾 女 男 足球 芭蕾 足球 3 21 2020 81 2 5纳什均衡的存在性 如何保证均衡出现 1 聚点 均衡 参与人可以使用某些被抽象掉的信息达到一个 聚点均衡 两个人分蛋糕 性别战中的博弈 两人同时给对方打电话 3 21 2020 82 2 5纳什均衡的存在性 2 廉价磋商 协调博弈 尽管无法保证磋商会达成一个协议 即使达成协议也不一定会被遵守 但在一些博弈中 事前磋商确实可以使某些均衡实际上出现 R B A U D L R B A U D L 聚点 3 21 2020 83 2 5纳什均衡的存在性 猎人博弈和帕累托优势 打兔 猎人乙 猎人甲 猎鹿 打兔 猎鹿 有两个纳什均衡 10 10 与 4 4 可以认为 10 10 比 4 4 有帕累托优势 3 21 2020 84 2 5纳什均衡的存在性 大流士阴谋推翻波斯王国的故事 当时 一群波斯贵族聚在一起决定推翻国王 其间有人提议休会 大流士此时站出来大声疾呼 说如果休会的话 就一定会有人去国王那里告密 因为如果别人不那么做的话 他自己就会去做 大流士说唯一的办法就是冲进皇