北京市师大附中2019届高三数学上学期期中试卷理（含解析）.docx

北京师大附中20182019学年（上）高三期中考试数学（理）试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.若集合，则 （）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，先求出集合，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，则，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知为虚数单位，则复数= （）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算，即可求解，得到答案.【详解】由复数的运算，可得复数，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，其中解答中熟记的除法运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.在极坐标系中，曲线是（ ）A. 过极点的直线 B. 半径为2的圆C. 关于极点对称的图形 D. 关于极轴对称的图形【答案】D【解析】试题分析：,表示圆心为半径为1的圆，关于极轴对称的图形，所以选D.考点：极坐标4.“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若，则，所以“”是“”的充分而不必要条件。考点：本题考查充分必要充要条件；三角函数求值。点评：熟练掌握充分必要充要条件的判断。此题为基础题型。视频5.若偶函数 满足且时,则方程的根的个数是( )A. 2个 B. 4个 C. 3个 D. 多于4个【答案】B【解析】【分析】在同一坐标系中画出函数和函数的图象，这两个函数的图象的焦点个数，即为所求.【详解】因为偶函数满足，所以函数的周期为2，又当时，故当时，则方程的根的个数，等价于函数和函数的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示，可得两函数的图象有4个交点，即方程有4个根，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，即根的存在性及根的个数的判定，其中解答中把方程的根的个数，转化为函数和函数的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力6.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边经过点（，），且，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意，根据三角函数的定义和三角函数的诱导公式，得到，即可求解，得到答案.【详解】由题意角的终边经过点（，），且， 根据三角函数的定义，可知，则，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及三角函数的诱导公式的应用，其中解答中根据三角函数的定义得到，再合理利用诱导公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知函数，函数（），若对任意的，总存在使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，可得在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解.【详解】由题意，函数的导数为，当时，则函数为单调递增；当时，则函数为单调递减，即当时，函数取得极小值，且为最小值，又由，可得函数在的值域，由函数在递增，可得的值域，由对于任意的，总存在，使得，可得，即为，解得，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.8.已知在直角三角形中，为直角，若是边上的高，点在内部或边界上运动，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图，由 可得 以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则 直线方程为 ，则直线AM方程为 联立，解得： 由图可知，当在线段上时， 有最大值为0，当在线段上时，有最小值，设 的范围是，0故选D【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，数量积的坐标运算，以及数形结合的思想方法，其中建立平面直角坐标系并利用数形结合的思想是解答该题的关键二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列. 若=1，则_.【答案】7 ；【解析】【分析】由题意，设等比数列的公比为，由4，2，成等差数列，求得，进而求解数列的和.【详解】由题意，设等比数列的公比为，因为4，2，成等差数列，即，则，又由=1，所以，解得，所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的中项公式和等比数列的前n项和公式的应用，其中根据等差数列和等比数列的基本量的运算，列出方程求解等比数列的公比是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.10.设函数则_；函数的极小值是_.【答案】,【解析】试题分析：，当时，由得，（负值舍去），因此当时，；当时，；从而函数在取极小值为2；当时，因此当时，单调递减；当时，单调递增；从而函数在取极大值为4； 从而函数的极小值是2考点：分段函数求值，函数极值11.函数的图像向左平移个单位长度，得到偶函数的图像，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】首先，结合平移得到g（x）=sin（2x+），然后根据g（x）为偶函数即可求解【详解】图象向左平移得到f（x+）=sin（2x+），g（x）=sin（2x+），g（x）为偶函数，因此+=k+，又0，故的最大值为故答案为：【点睛】(1)本题主要考查三角函数图像的变换，考查三角函数的奇偶性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)函数，当时是偶函数，当时是奇函数.12.在四边形中，. 若，则 =_.【答案】3【解析】【分析】由题意和平面向量的运算法则可知，再利用向量的数量积的运算求解，即可求解.【详解】根据题意，可知，由平面向量的运算法则可知，所以.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算和平面向量的数量积的运算公式的应用，其中熟记平面向量的线性运算法则，合理运算是解答的关键，着重考查了基础题.13.已知函数的图象由的图象向右平移个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则_（请写出符合题意的一个值）【答案】【解析】【分析】由题意，根据三角函数的图象变换，得到函数，结合给定的函数的图象得，列出方程即可求解.【详解】由题意，函数的图象向右平移个单位，得到，结合给定的函数的图象可知，即，可得，即，当时，.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数图象变换得到函数的解析式，再结合图象，得到相应的关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.14.已知函数是定义在上的奇函数，当时，其中 _；若的值域是，则的取值范围是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用奇函数的定义，计算即可得到所求的值；由的图象关于原点对称，以及二次函数的图象与轴的交点，由判别式不小于0，解不等式即可得到答案.【详解】由题意，函数是定义在R上的奇函数，当时，则；若函数的值域为R，由函数的图象关于原点对称，可得当时，函数的图象与轴有交点，则，解得或，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，及函数的值域的应用，其中解答中根据函数的奇偶性和合理利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15.已知函数.（）求函数的单调递增区间；（）当时，求函数的最大值和最小值.【答案】（）；（）见解析.【解析】【分析】（）由题意，根据三角函数的图象与性质，即可求解；（）由题意，得，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（） 由，得，所以，函数的单调递增区间是；（），由，得，当，即时，有最大值；当，即时，有最大值；【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于忽视函数的定义域导致错解，试题难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.16.设等差数列的前项和为，已知，.（）求数列的通项公式；（）求的最小值及相应的n的值；（）在公比为的等比数列中，求.【答案】（）;（）见解析. （）.【解析】【分析】（）设等差数列的首项为，公差为，根据题意，求得的值，即可求解.（）由（），令，即，解得，得到当时，；时，即可求解.（）依题意，列出方程，求得，得到数列是以2为首项，8为公比的等比数列，即可求解.【详解】（）设等差数列的首项为，公差为，由已知可得， 解得，. 所以. （）令，即，解得， 所以，当时，；时.所以，当或时，最小，. （）依题意，即，消去，得，解得或（舍）， 当时，所求数列是以2为首项，8为公比的等比数列，所以，；【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.17.在锐角中，分别为内角，所对的边，且满足（）求角的大小；（）若，求的面积【答案】(1)；（2）【解析】本试题主要是考核擦了解三角形的运用。（）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA不为0，可得出sinB的值，由B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（）由b及cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用完全平方公式变形后，将a+c的值代入，求出ac的值，将a+c=5与ac=6联立，并根据a大于c，求出a与c的值，再由a，b及c的值，利用余弦定理求出cosA的值，将b，c及cosA的值代入即可求出值解：(1)由正弦定理得所以因为三角形ABC为锐角三角形，所以（2）由余弦定理得所以所以18.已知函数.（）当时，求函数在处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）求证：当时，函数的图像与函数的图像在区间上没有交点.【答案】（）；（）见解析；（）见解析.【解析】【分析】（）当时，求得函数的导数，得到切线的斜率，利用直线的点斜式方程，即可求解； （）由题意，求得，利用导数即可求解函数的单调区间.（）令，利用导数得到函数的单调性和最值，即可作出证明.【详解】（）当时，函数在处的切线方程是；（），当时，函数的单调增区间是；当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；（）令，可以证明函数的最小值是，所以恒成立，所以两个图像没有交点.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.19.已知函数在处的切线与直线平行.（）求实数的值；（）如果函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围；（）求证：函数有极大值，而且的极大值小于1.【答案】（）；（）；（）见解析.【解析】【分析】（）求得，又由函数在处的切线与直线平行，得，即可求解.（）利用导数，求得函数的单调性与极值，使得函数在区间上有两个零点，即可求解.（）令，求得，得函数在上单调递减，得到存在唯一的，进而求得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】（），因为函数在处的切线与直线平行，所以，解得；当时，函数在处的切线是，与直线平行，符合题意；所以；（）两种方法，；（），令，则函数在上单调递减，所以存在唯一的，当时，当时，所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，其中，所以函数有极大值.函数的极大值是，由，得，所以，因为，所以，即，所以，的极大值小于1.【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，以及导数的利用导数研究函数的恒成立与有解问题，利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题20.已知数集具有性质:对任意的 ,使得成立.（）分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;（）求证;（）若,求数集中所有元素的和的最小值.【答案】（1）具有（2）见解析（3）最小值为【解析】试题分析：（1）利用性质的含义及特例可判断数集不具有性质，数集具有性质（2）数集具有性质可得，将上述不等式相加得，化简得，即为所求（3）由及性质可得，从而易知数集的元素都是整数，构造或者，此时元素和为，然后再证明是最小的和试题解析：（），数集不具有性质，数集具有性质（）集合具有性质即对任意的，使得成立，又，即，将上述不等式相加得，化简得（）最小值为首先注意到，根据性质，得到，所以易知数集的元素都是整数，构造或者，这两个集合具有性质，此时元素和为下面，证明是最小的和假设数集，满足最小（存在性显然，因为满足的数集只有有限个）第一步：首先说明集合中至少有个元素：由（）可知，又，第二步：证明，若，设，为