人教版椭圆及其标准方程教学设计.doc

椭圆及其标准方程教学目标1、理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念。2、掌握椭圆标准方程的推导及标准方程。3、进一步学习类比，数形结合的数学思想方法。4、理解坐标法及其应用重点：掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程。难点：椭圆的标准方程的推导与化简。教学过程一、创设情景，引入概念展示1：地球绕太阳旋转，月亮绕地球旋转。问（1）：它们旋转的轨迹是什么？学生回答：椭圆展示2：一个平面截圆锥的各种情形问（2）：大家观察到了几种曲线？这几种曲线是如何形成的？回答：圆，椭圆，抛物线，双曲线。教师指出：这几种曲线可看成平面截圆锥形成的统称为圆锥曲线。这节课我们学习其中的一种椭圆，椭圆是如何定义的呢？设计意图：本环节由实例引入，让学生形成椭圆的感性认识，感受数学的应用价值。二、尝试探究，形成概念问（1）圆是如何定义的？回答：它是平面内到定点的距离等于常数的点的轨迹。问（2）椭圆是否也是满足一定条件的点的轨迹呢？如果是，它满足的条件是什么？学生实验：拿一根无弹性绳子，将绳子两端固定，拉紧绳子，移动笔尖，画图。问（3）：（1）画出的轨迹是什么？（2）笔尖（动点）满足的几何条件是什么？为什么？教师指出：笔尖到两固定点的距离在变，但它到两固定点距离的和等于绳子长度。问（4）：你能给椭圆下一个定义吗？定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于| F1F2|）的点的轨迹叫椭圆，两个定点叫椭圆的焦点，两个焦点的距离叫椭圆的焦距。问（5）：你认为椭圆的定义关键处有哪些？平面内（不是平面外）与两个定点距离的和等于常数（两个定点，一个定值）常数大于| F1F2|（分析小于或等于| F1F2|是什么结果）设计意图：本环节通过实验展示椭圆的产生过程，发现椭圆的几何特征，挖掘出椭圆的定义。三、标准方程的推导我们了解了椭圆的定义，下一步我们来研究它的方程，在上一节大家学习了坐标法求曲线的方程。问（1）：用坐标法求曲线方程的一般步骤是什么？建系设点，确定条件，列方程，化简，证明思考：你认为怎样选择坐标才能使椭圆的方程简单？学生回答：从经过F1F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。教师说明：正确建系是建立曲线方程的关键之一，一般可利用曲线的几何特征，从“对称”、“简洁”等角度思考建系。1、建系设点以过F1F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴。设M(x,y)是椭圆上任意一点，焦距|F1F2|=2c，那么F1(c，0)，F2(c，0)，设|M F1|+|MF2|=2a2、列方程由椭圆的定义P=M| M F1|+|MF2|=2a因为| M F1|=,| M F2|=所以+=2a问（2）：这个方程如何化简？（请学生完成后教师再进行说明）教师说明：这个方程形式复杂，有两个根式，一般地方程中有一个根式时，把其它项移到另一边平方；方程中有两个根式时，使一边保留一个根式，其它的移到另一边再平方。3、化简=2a 两边平方，整理得a2cx=a再两边平方，整理得(a2c2)x2+a2y2=a2(a2c2)两边同除以a2(a2c2)得=1(ac) 请学生动手完成化简过程，观察经过两次平方后得到的是否是课本上的结果，强调两次整理的方法。问3：方程中的常数a, c, a2c2在椭圆中对应的几何图形是什么呢？思考：观察下图，你能从中找出表示a. c. 的线段吗？|P F1|=|PF2|=a |O F1|=|OF2|=c |PO|=令b= |PO|=式为=1（ab0） 教师说明：椭圆上的点的坐标都满足方程，以方程的解为坐标的点都在椭圆上，所以是椭圆方程，我们把它叫做椭圆的标准方程。教师指出：方程表示的椭圆焦点在x轴上焦点在F1(c，0)，F2(c，0)c2=a2b2设计意图：在探索方程的过程中，引导学生推导出椭圆的标准方程，充分体现坐标法思想，锻炼了学生化简变形能力。思考：如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别为(0,c)， (0,c)，a, b意义同上，那么椭圆方程是什么？引导学生由定义发现:=1（ab0）|M F1|+|MF2|=+与前面对比只要将x, y互换即可（要求学生课后推导验证）教师指出：焦点在y轴上F1(0,c)，F2(0,c) c2=a2b2形式上特点：左边平方和，右边为1问（4）：如果给出一个方程，你如何判断焦点的位置以及确定焦点的坐标。四、例题讲解完成例1后，教师指出：当焦点在x轴上，x2分母大；当焦点在y轴上，y2分母大，所以可以结合分母大小确定焦点的位置。例1：判断下列各椭圆焦点位置，并说出焦点坐标。（1）=1 焦点在x轴上F1(, 0)，F2(, 0)（2）=1 焦点在y轴上F1(0,1)，F2(0,1)（3）4x2+9y2=1 焦点在x轴上F1(, 0)，F2(, 0)（4）x2+=1 焦点在y轴上F1(0,)，F2(0,)问（1）：反之，你能结合焦点位置确定方程形式吗？焦点在x轴上 =1（ab0）焦点在y轴上 =1（ab0）例2：已知椭圆焦点F1(2, 0)，F2(2, 0)并且经过点(,)，求它的标准方程请学生完成解答过程解：因为焦点在x轴上，所以设它的标准方程为=1（ab0）由椭圆的定义知2a=+=2所以a=又因为c=2 所以b2=a2c2=6因此，椭圆标准方程为=1问（3）：你还能用其它方法求它的方程吗？哪种方法简单？另法：=1（ab0）因为点(,)在椭圆上所以=1 又因为c=2，所以a2b2=4 联立得a2=10, b2=6因此，椭圆标准方程为=1教师指出：求椭圆的标准方程方法：定义法待定系数法。步骤第一步确定焦点位置，第二步确定a, b, c的大小。设计意图：转化新知，通过思考实践让学生总结出求椭圆标准方程的两种方法定义法待定系数法；另外对求椭圆