二次函数与平行四边形.doc

二次函数与平行四边形及答案1(2008深圳)如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OBOC ，tanACO（1）求这个二次函数的表达式（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最大面积 2.，（2009广西河池）如图12，已知抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，抛物线的对称轴交轴于点E，点B的坐标为（，0）（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；ODBCAE图12（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由3（本题满分10分）（2009广西柳州）如图11，已知抛物线（）与轴的一个交点为，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点A的坐标；（2）以AD为直径的圆经过点C求抛物线的解析式；点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标 OxyABCD图114（本小题满分10分）（2009黑龙江齐齐）直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止点沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线运动（1）直接写出两点的坐标；（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；xAOQPBy（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标5（满分14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为点与轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连结AC现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DEOA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F设动点P，Q移动的时间为t（单位:秒）（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程；yxOPAEDQCB（第20题图）F（3）当0t时，PQF的面积是否总为定值?若是，求出此定值，若不是，请说明理由；（4）当t为何值时，PQF为等腰三角形?请写出解答过程（2009黄冈）6、解答题（本题14分）（2009抚顺）26已知：如图所示，关于的抛物线与轴交于点、点，与轴交于点（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点，使四边形为等腰梯形，写出点的坐标，并求出直线的解析式；BAOCyx（第26题图）（3）在（2）中的直线交抛物线的对称轴于点，抛物线上有一动点，轴上有一动点是否存在以为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由7（本小题满分12分）(2009内蒙包头)已知二次函数（）的图象经过点，直线（）与轴交于点（1）求二次函数的解析式；（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由yxO8（本题满分14分）（2009内蒙赤峰）如图，的顶点坐标分别为与轴的交点为点坐标为，以点为顶点轴为对称轴的抛物线过点（1）求该抛物线的解析式（2）将沿折叠后得到点的对应点，求证：四边形是矩形，并判断点是否在（1）的抛物线上yCODBAx（3）延长交抛物线于点，在线段上取一点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，是否存在这样的点，使四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由9(本题满分14分)（2009山东烟台） 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于C点，且经过点，对称轴是直线，顶点是（1） 求抛物线对应的函数表达式；（2） 经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 设直线与y轴的交点是，在线段上任取一点（不与重合），经过三点的圆交直线于点，试判断的形状，并说明理由；OBxyAMC1（第26题图）（4） 当是直线上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）10（本小题12分）（2009浙江湖州）已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则； (2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点恰好落在抛物线上，与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.第（2）题xyBCODAMNNxyBCOAMN备用图（第24题）*11（11分）（2009重庆綦江县）如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为，过作射线过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为问当为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？xyMCDPQOAB（3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为，连接，当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长（12.（13分）（2009福建龙岩）如图，抛物线交轴于点，点，交轴于点（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；（2）若直线交抛物线于，两点，交抛物线的对称轴于点连接试判断的形状，并加以证明；（3）设为直线上的动点，过作交直线下方的抛物线于点问：在直线上是否存在点使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点及相应的点的坐标；若不存在，请说明理由. 13（11分）（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为求关于的函数关系式，并求出的最大值；（3）若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，判断有几个位置能使以点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点的坐标 14（本题满分10分）(2010陕西)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过三点.（1）求该抛物线的表达式；（2）点在轴上，点在抛物线上，要使以点、为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点的坐标. 15（14分）（福建南平）已知抛物线：（1）求抛物线的顶点坐标.（2）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的解析式.（3）如下图，抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.【提示：抛物线（0）的对称轴是顶点坐标是】答案1（2208深圳）（1）方法一：由已知得：C（0，3），A（1，0）1分将A、B、C三点的坐标代入得 2分解得： 3分所以这个二次函数的表达式为： 3分方法二：由已知得：C（0，3），A（1，0） 1分设该表达式为： 2分将C点的坐标代入得： 3分所以这个二次函数的表达式为： 3分（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，3） 4分理由：易得D（1，4），所以直线CD的解析式为：E点的坐标为（3，0） 4分由A、C、E、F四点的坐标得：AECF2，AECF以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形存在点F，坐标为（2，3） 5分方法二：易得D（1，4），所以直线CD的解析式为：E点的坐标为（3，0） 4分以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形F点的坐标为（2，3）或（2，3）或（4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，3）符合存在点F，坐标为（2，3） 5分（3）如图，当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R0），则N（R+1，R），代入抛物线的表达式，解得 6分当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r0），则N（r+1，r），代入抛物线的表达式，解得 7分圆的半径为或 7分（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G（2，3），直线AG为8分设P（x，），则Q（x，x1），PQ 9分当时，APG的面积最大，此时P点的坐标为，10分2（2009广西河池）（1） 对称轴（2分） 当时，有解之，得 ， 点A的坐标为（，0）（4分）（2）满足条件的点P有3个，分别为（，3），（2，3），（，）（7分）（3）存在（8分）当时， 点C的坐标为（0，3） DE轴，AO3，EO2，AE1，CO3 即 DE1（9分） 4在OE上找点F，使OF，此时2，直线CF把四边形DEOC分成面积相等的两部分，交抛物线于点M（10分）设直线CM的解析式为，它经过点则 （11分）解之，得 直线CM的解析式为 （123、（2009广西柳州）本小题满分10分解：（1）对称轴是直线：，点A的坐标是（3，0）2分（说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分）（2）如图11，连接AC、AD，过D作于点M，解法一：利用点A、D、C的坐标分别是A （3，0），D（1，）、C（0，），AO3，MD=1由得 3分又4分由 得 5分函数解析式为： 6分 解法二：利用以AD为直径的圆经过点C点A、D的坐标分别是A （3，0） 、D（1，）、C（0，）， 3分又 4分由、得 5分函数解析式为： 6分（3）如图所示，当BAFE为平行四边形时yxOABCD图11EF 则，并且 =4，=4 由于对称为，点F的横坐标为57分将代入得，F（5，12） 8分根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上也存在点F，使得四边形BAEF是平行四边形，此时点F坐标为（，12） 9分当四边形BEAF是平行四边形时，点F即为点D，此时点F的坐标为（1，） 10分综上所述，点F的坐标为（5，12）， （，12）或（1，）（其它解法参照给分）xAOQPByD4（2009黑齐齐）（1）A（8，0）B（0，6）1分（2）点由到的时间是（秒）点的速度是（单位/秒）1分当在线段上运动（或0）时，1分当在线段上运动（或）时，,如图，作于点，由，得，1分1分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分）（3）1分3分注：本卷中各题，若有其它正确的解法，可酌情给分5（2009黄冈）（满分14分）解：（1）令，得（1分）在中，令得即（2分）由于故点的纵坐标为-10由得或即且易求出顶点（3分）于是顶点坐标为（4分）（2）若四边形为平行四边形，由于故只要即可，而故得（7分）（3）设点运动秒，则说明在线段上，且不与点重合 由于知 故 同理故即 (9分) 又点到直线的距离 于是,的面积总为定值90. (10分)（4）由前面知道， 构造直角三角形后易得 若 故 （11分） 若即 即无的满足（12分） 若即 由于又 故无满足此方程（13分） 综上所述，时，为等腰三角形6、解答题（本题14分）（2009辽宁抚顺）解：（1）根据题意，得BAOCyx第26题图Q4Q3Q1Q2P3P1P2DCP41分解得3分抛物线的解析式为4分顶点坐标是（2，4）5分（2）6分设直线的解析式为直线经过点点7分8分9分（3）存在10分11分12分13分14分7（12分）（2009内蒙包头）yxOBADC(x=m)(F2)F1E1 (E2)解：（1）根据题意，得解得（2分）（2）当时，得或，当时，得，点在第四象限，（4分）当时，得，点在第四象限，（6分）（3）假设抛物线上存在一点，使得四边形为平行四边形，则，点的横坐标为，当点的坐标为时，点的坐标为，点在抛物线的图象上，（舍去），（9分）当点的坐标为时，点的坐标为，点在抛物线的图象上，8（内蒙赤峰）解：（1）设抛物线的解析式为，（1分）在抛物线上，把代入得（3分）yCODBAxGFPE抛物线解析式为（5分）（2）点，（6分）又（7分）四边形是矩形（8分），点的坐标为（9分）当时，代入得，在抛物线上（10分）（3）存在（11分）理由是：设的解析式为，的解析式为（12分）分别在直线和抛物线上，且，设9（本题满分14分）（山东烟台）yxEDNOACMPN1F（第26题图）解：（1）根据题意，得2分解得抛物线对应的函数表达式为3分（2）存在在中，令，得令，得，又，顶点5分容易求得直线的表达式是在中，令，得，6分在中，令，得，四边形为平行四边形，此时8分（3）是等腰直角三角形理由：在中，令，得，令，得直线与坐标轴的交点是，9分又点，10分由图知，11分，且是等腰直角三角形12分（4）当点是直线上任意一点时，（3）中的结论成立14分第（2）题xyBCODAMNNxyBCOAMNP1P2备用图10.（本小题12分）（2009浙江湖州）（1）.4分（2）由题意得点与点关于轴对称，将的坐标代入得，（不合题意，舍去），.2分，点到轴的距离为3.， ，直线的解析式为，它与轴的交点为点到轴的距离为.2分（3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，得：（不舍题意，舍去），.2分当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，与关于原点对称，将点坐标代入抛物线解析式得：，（不合题意，舍去），2分存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形11（2009重庆）解：（1）抛物线经过点，1分二次函数的解析式为：3分（2）为抛物线的顶点过作于，则，4分xyMCDPQOABNEH当时，四边形是平行四边形5分当时，四边形是直角梯形过作于，则（如果没求出可由求）6分当时，四边形是等腰梯形综上所述：当、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形7分（3）由（2）及已知，是等边三角形则过作于，则8分=9分当时，的面积最小值为10分此时11分12（2009福建龙岩）（13分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）（）解：（法一）设所求的抛物线解析式1分点均在此抛物线上.2分所求的抛物线解析式为3分 顶点的坐标为4分（法二）设所求的抛物线解析式1分点在此抛物线上 2分所求的抛物线解析式为 即3分顶点的坐标为4分注：顶点横、纵坐标错一个不给分（2）的形状为等腰三角形1分 证明：（法一）直线的函数解析式为是的平分线2分两点的坐标分别为（4，0），（0，-4）是的垂直平分线3分即是等腰三角形4分（法二）直线的函数解析式为是的平分线2分两点的坐标分别为又3分即是等腰三角形4分（法三）点是抛物线的对称轴和直线的交点 点的坐标为（1，-1）2分利用勾股定理可求得3分即是等腰