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第六章 实数13.1平方根（1）【活动1】学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？正方形的面积1 91636 边长这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题（问题导入）自学教材，回答问题：1. 一般地，如果一个_ 数x的平方等于a，即=a，那么这个_叫做a的_a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数规定：_的算术平方根是0. 记作= 2.由以上定义可知如果=a，那么x就叫a的算术平方根吗？判断下列语句是否正确？5是25的算术平方根（ ） -6是36的算术平方根（ ）0.01是0.1的算术平方根（ ） -5是-25的算术平方根（ ）3.3的算术平方根可表示为 ，4的算术平方根可表示为 ，你还能表示出那些数的算术平方根？写在下面，和同座交流一下 【活动2】例：求下列各数的算术平方根： （1）100；(2) ；(3) 0.0001 ； 0； 跟踪训练1、 1.非负数的算术平方根表示为_，225的算术平方根是_，的算术平方根_，0的算术平方根是_2.若是49的算术平方根，则=（ ）A. 7 B. 7 C. 49 D.49变式训练想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？ 跟踪训练1. 2.的算术平方根是_,3.若，则的算术平方根是（ ）A. 49 B. 53 C.7 D .【活动3】思考：4有算术算术平方根吗？为什么？总结：1.正数有 的算术平方根 0的算术平方根是 负数 具有双重非负性2.对于：a 0 0 跟踪训练1下列哪些数有算术平方根？0.03， -， ， 0， （-3）2，（-1）32. 下列运算正确的是（ ）A B CD3.若下列各式有意义，在后面的横线上写出x的取值范围： 5.若，则a= ,b= , 提升能力1.一个自然数的算术平方根为，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是_2.一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原来的 倍，面积扩大为原来的9倍，它的边长变为原来的 倍，面积扩大为原来的n倍，它的边长变为原来的 倍.3.要使代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4.若，求的值。13.1平方根（2）1、算术平方根的意义及表示方法。2、说出下列各数的算术平方根。100 0.0049 42 【活动1】怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形动手画一画，若确实不会，则学生间进行交流。问题1：画出拼成的大正方形的草图。问题2：你能求出大正方形的边长吗？（动动脑）讨论：有多大？思考：你对正数a的算术平方根的结果有怎样的认识呢？巩固练习1.你能快速的说出下列各数的算术平方根吗？ 121 7 8你能求出7的算术平方根的值吗？它是一个 的数，近似值为 （精确到0.1）2.估算 的大小（全部精确到0.1），你还能估算出哪些数的大小？根据你估算的结果，用“”把这些数字连接起来总结：由上可知:两个非负数中较大的，它的算术平方根 （也较大/较小）比较大小： - 提升能力1.比较与的大小2.若是的整数部分，是的小数部分，试确定、的值。3.某人开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2.5倍,它的面积为60000米2. (1)试估算这块荒地的宽约为多少米?(误差小于1米) (2)若在公园中建一个圆环喷水池,其面积为80米2,该水池的半径是多少?(精确到0.01)13.1平方根（3）知识回顾1.（ ）2=81 81的算术平方根是 （对算术平方根概念的回忆）2.求下列各数的算术平方根 0.25 225 （-5）2（为例4做准备；体会不同形式的数字的算术平方根的求法；回忆算术平方根的性质）3.求下列各式的值 -（为例5做准备）探究研讨【问题1】如果一个数的平方等于9，这个数是多少？（引导学生和上节课的问题作对比，看两者之间有什么区别和联系）填表x21 9 16 x总结平方根的概念： 例4：根据平方根的概念求下列各数的平方根 100 0.25你还能举出其它的例子吗？【问题2】：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。开平方运算和平方运算有什么关系？ ，可以用什么方法求一个数的平方根？（认识开平方运算，理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系）【问题3】通过对例4的解答，你认为正数的平方根有什么特点？0的平方根呢？负数呢？总结平方根的性质： 正数有 个平方根，它们 0的平方根是 负数 【问题4】用什么方法来表示正数的两个平方根呢？阅读课本P74“归纳”下面的一段话，回答下列问题：在平方根的表示方法中，根号前面为什么会有两个性质符号？ 被开方数a为什么要大于或等于0 在数字下面的横线上，表示该数的平方根 400 0.81 2 巩固练习 10的平方根可表示为 ；算术平方根为 ；负的平方根可表示为 （-4）2的平方根可表示为 ；算术平方根可表示为 ；负的平方根克表示为 例5：说出下列各式表示的意义，并求值 - 拓展延伸1、 判断下列说法是否正确 5是25的算术平方根 （ ） 是的一个平方根 （ ）的平方根是4 （ ） 0的平方根与算术平方根都是0 （ ） 2、3、若，则，的平方根是能力提升1. x为何值时，下列各式有意义？2. 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由.-64 0 144 (- ) 2 3. 如果一个正数的两个平方根为和，请你求出这个正数4. 解方程 3x2-27=05.讨论：（1）（）2，（）2； （2），； 通过计算你有什么发现？13.2立方根【学习过程】知识回顾说出下列各式表示的意义，并求值 探究研讨立方根（三次方根）：若=则为的立方根, 记为, 读作“三次根号”自主练习：求下列各数的立方根：（1） -216 ； （2）0.064 ； （3） -开立方运算_开立方和立方运算互为先来算一算一些数的立方：23=_ ; (-2)3=_; 0.53=_; (-0.5)3=_; 03=_.4.立方根的性质： 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。5.数的立方根用什么符号表示？与平方根有什么区别？随学随练1.8有 个立方根，是 ，可以表示为 ，即： = 2.如果x3=8，那么x= 3.立方根等于本身的数为 4.-3是 的平方根，是 的立方根5.表示，并求出下列数的立方根 -10 0 -0.0086.下列说法中不正确的是（ ） A8的立方根是2 B-8的立方根是-2 C 的立方根为2 D 125的立方根为57. 的绝对值是（ ） （A） 3 （B）-3 （C） （D） -【活动3】例：说出下列各式表示的意义并求值（1） 2） 3） 4）+【活动4】探究因为所以 因为，所以 你能把发现的结论用含字母a的式子表示出来吗？一般地，巩固练习1. 同学甲在计算时，用了这种方法：=5，你认为这种方法 （正确/不正确），不正确的话怎样改正？同学乙在计算时，用了这样的方法：= =你认为这种方法 （正确/不正确），不正确的话怎样改正？ 同学丙认为把立方根的性质=，扩展到平方根中也会有类似的性质，即 =，你认为正确吗？为什么？2. 计算+提升能力1. 当 时，有意义；当 时，有意义2.下列等式成立的是（ ） （A） =1 （B） =15 （C） =5 （D）=33.的立方根是 ，的平方根是 ，的立方根是 4.下列计算或命题中正确的有（ ）4都是64的立方根 =x 的立方根是3 =4（A） 1个 （B） 2个 （C）3个 （D）4个5.求下列各式中的x8x3+125=0 （x+3）3+27=07.已知一个数的两个平方根分别是3a+1和a+11，求这个数的立方根8.计算下列两组式子，看看你会有什么发现？ （）3= （ ）3= （）3= = = = 你的发现是： 回忆：平方根有类似的性质吗？13.3实数（1）【知识回顾】1、什么是有理数?如何分类?2、是这样的数么?【合作交流，解读探究】【活动1】探究：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3 ， ， ， ， ， 我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即 ， ， ， ， ，归纳： 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.(板书)讨论：是不是有理数呢？为什么？归纳：不是整数，不是有限小数，也不是无限循环小数，所以不是有理数.是无限不循环小数（板书：无限不循环小数）.定义：无限不循环小数又叫无理数，也是无理数结论： 有理数和无理数统称为实数 学生举例：有理数 无理数 整理：试探练习，回授调节：1.填空： 在-19，3.878787，1.414，这些数中，有理数是 ； 无理数是 ；2.判断对错：对的画“”，错的画“”.(1)无理数都是无限小数. （ ）(2)无限小数都是无理数. （ ）(3)是无理数. （ ）(4)是无理数. （ ）(5)带根号的数都是无理数. （ ） (6)有理数都是实数. （ ）【活动2】我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？探究 1.如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O，点O的坐标是多少？O O2.总结： 事实上，每一个无理数都可以用数轴上的_表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示_，有些表示_当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是_的，即每一个实数都可以用数轴上的_来表示；反过来，数轴上的_都是表示一个实数 与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数_讨论： 当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？总结 数的相反数是_，这里表示任意_。一个正实数的绝对值是_；一个负实数的绝对值是它的_；0的绝对值是_【学以致用】 1、 的相反数是 ，绝对值 2、绝对值等于 的数是 ， 的平方是 3、4、求绝对值5.已知实数、在数轴上的位置如图所示：O化简 6.下列说法正确的有（ ）不存在绝对值最小的无理数 不存在绝对值最小的实数不存在与本身的算术平方根相等的数 比正实数小的数都是负实数非负实数中最小的数是0A. 2个 B. 3个 C. 4个 D.5个【能力提升 】： 1、 把下列各数填入相应的集合内：有理数集合 无理数集合 整数集合 分数集合 实数集合 2、下列各数中，是无理数的是（ ）A. B. C. D. 3、已知四个命题，正确的有（ ）（1）有理数与无理数之和是无理数 有理数与无理数之积是无理数（3）无理数与无理数之积是无理数 无理数与无理数之积是无理数（5）所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个4、若实数满足，则（ ）A. B. C. D. 【总结反思 】： 无理数的特征:1圆周率及一些含有的数 2开不尽方的数3有一定的规律，但不循环的无限小数注意:带根号的数不一定是无理数13.3实数（2）【知识回顾】1. 每一个无理数都可以用数轴上的 表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示 .实数与数轴上的点就是 的，即每一个实数都可以用 上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个 . 2、的相反数是 的相反数是 0的相反数是 = ，= ，0= 【合作交流，解读探究】【活动1】 1、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律2、用字母表示有理数的加法交换律和结合律3、有理数的混合运算顺序【活动2】例2、计算下列各式的值 （1）（+）- （2）+总结： 实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的例3、用精确度计算实数（结果保留两位小数） （1）、+ （2）、总结： 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算【拓展延伸】1.计算：(1)23； (2).【能力提升】1.计算：充分体现实数之间的各种运算，且正数和0可以进行开平方运算，任意一个数可以进行开立方运算。（2）32.化简：进一步体会数形结合的思想。O（1） 已知实数在数轴上的位置如下，化简（2）、已知、在数轴上如图，化简O 1. 应用：提升学生解决问题的能力。32451如图，平面上有四个点，它们的坐标分别是， .（1）顺次连接A、B、C、D围成的四边形是什么图形？（2）这个四边形的面积是多少？ （3）将这个四边形向上平移个单位长度， 四边形的四个顶点的坐标变为多少？第六章 实数复习小结一、 内容整理：1、 想一想，本章我们学了哪些知识？它们之间有什么联系？2、 本章知识结构：二、主要知识回顾： 1、平方根 (1) 如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a的平方根,记作 ,其中 叫做算术平方根,求一个数 的运算叫做开平方. (2)巩固练习: 求下列各数的平方根和算术平方根 : 2.25 , 361 , ,10 , 0 2、立方根 （1）如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的 ，记作 。 （2）巩固练习：求下列各数的立方根： ， 0.125 ，-1 ，103、实数（1） 叫无理数， 和 统称为实数。（2）实数的分类： （3）巩固练习：把下列各数分别填入相应的集合内： ， ， - ，- ，0 有理数集合： ；无理数集合： ； 正数集合： ；负数集合： 。二、 知识拓展：1、 填空： （1）一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方根等于它本身，这个数是 ；一个数的算术平方等于它本身，这个数是 ；（2）一个数的立方等于它本身，这个数是 ；一个数的立方根等于它本身，这个数是 。2、计算： （1） 2-3 ； （2）-+2 （3） 2、 如果a= - -， b= - - ，c=- - ，d=- -+-， 试比较a、b、c、d的大小。3已知2a-1的平方根是3，3a+b-1的平方根是4，c是的整数部分，求a+2b+c的平方根实数全章测试一.填空题1、的算术平方根是_。 2、 _。4、实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示化简_。5、若m、n互为相反数，则_。6、若0，则m_，n_。 7、若 ，则a_0。 8.的算术平方根是，平方根是.8的相反数地，绝对值是.9在数轴上，到原点距离为个单位的点