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第一章优化设计概述 现代优化设计方法是在数学规划论和计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术 是根据最优化的原理和方法 综合各方面的因素 以人机配合的形式在计算机上进行自动寻优 以选出在现有的工程条件下的最佳设计方案的一种现代化方法 其设计原则是最优化设计 设计手段是计算机应用及计算程序 设计方法是最优化数学方法 1 第一节优化设计问题的示例一 机械优化设计的含义机械优化设计是在进行某种机械产品设计时 根据要满足的约束条件 优选设计参数 使某项或几项设计指标获得最优值 在一定的物质基础和技术条件下 实例一 包装箱V 5m3 长a 宽b 高c 其中一边的长度不小于4m 各面的厚度一样 最节省材料 表面积S 2 ab bc ca V 5 abca 4 b 0 c 0 2 实例二 如工厂敷设蒸汽管道 外加保温套 套管愈厚 成本愈高 设套管厚度X 成本费为c 它们的关系为 但套管愈厚 热损失少 热损耗的钱也愈少 关系为 因此成本费 3 优化设计的主要内容有两项 将实际的技术问题抽象成为优化的数学目标选择最优化计算方法 使用计算机求解需要注意的两个问题 优化的客观性 在一定客观条件下求优 优化的相对性 没有绝对的优化问题 不能与事物的极值混为一谈 4 二 优化设计和传统设计的比较传统的设计过程是人工试凑和定性分析比较的过程 效率低 周期长 优化设计立足于计算分析 向自动化 集成化和智能化方向发展 三 优化设计在CAD系统中的作用机械产品的设计是一个 设计 评估 再设计 的反复迭代 不断优化的过程 优化设计起作重要的作用 优化设计方法是专业CAD软件系统的一个重要组成部分 5 四 机械优化设计发展概况优化方法包括解析法和数值计算法 解析法利用微分学和变分学 费马 1638 牛顿 1670欧拉 1755拉格朗日 1797欧拉 拉格朗日 无穷维问题 变分学 6 数值计算法利用已知信息 通过迭代计算过程来逼近最优解 依赖于计算机 Dantzig 被公认为线性规划之父 也被称为运筹学 Operationsresearch 的叔叔 Bellman 动态规划问题提出最优化的原理Kuhn和Tucker 非线性规划问题最优解的必要条件和充分条件 Zoutendijk和Rosen 非线性规划 庞特里亚金 极大极小值原理非线性规划尚无普遍适用的方法 7 五 优化设计方法的应用领域机械优化设计是机械设计 运筹学 计算机应用等学科的交叉 广泛应用于工程设计的各个部门 包括化学工程 机械工程 建筑工程 运输工程 生产控制 经济规划和经济管理等 最优设计最优计划最优管理最优控制 8 六 现代机械优化设计的发展趋势1 模糊优化设计技术2 面向产品创新设计的优化技术3 广义优化设计技术4 产品全寿命周期的优化设计技术5 CAD CAPP CAM集成系统中的优化技术6 智能优化算法及其趋势 9 第二节优化设计的数学模型 2 1优化问题的实例试设计一园形截面的悬臂梁 集中载荷扭矩悬臂伸出长度的允许取值范围为直径的允许取值范围为 试求在满足强度 刚度条件下 用料最省方案 用料最省也就是这销轴的体积最小 故设计所追求的目标是体积最小弯曲强度扭转强度刚度条件 10 已知材料的 允许挠度 弹性模量设计变量 约束条件 求目标函数的最小值 11 最优点为A点最优解 12 2 2机械优化设计的基本术语一 设计变量 DesignVariable 对于凡是需在设计中待定的参数 需进行调整和优选的参数就称为设计变量 设计变量的数目称为优化设计的维数 n 2就是二维设计问题 可用平面直角坐标表示 n 3就是三维设计问题可用直角空间坐标表示 13 当n 3时就无法用图形表示出来 是一个想像的超空间 这种以n个独立变量为坐标轴组成的n维向量空间是一个n维的实数空间 用Rn表示 在数学上 把有定义的向量内积的实数空间就称为n维的欧氏空间 用表示En 最优化问题涉及的n维向量空间 实际上是n维欧氏空间 设计点 即一个设计方案 即向量X 设计空间的维数又表征了设计的自由度 设计变量愈多 则设计的自由度愈大 可供选择的方案愈多 设计愈灵活 但设计难度亦愈大 求解亦愈复杂 小型设计 2 10 中型设计 10 50 大型设计 50 200 超大型设计 200 设计变量大多数是连续的 也可以是离散跳跃的 14 设计变量的选择原则选择对目标函数影响大的参数作为设计变量选择独立变量为设计变量选用几何参数作为设计变量 15 二 目标函数 ObjectiveFunction 目标函数是通过设计变量来表示的设计所追求目标的数学表达式 是标量 Scalar 函数 表示为 目标函数也称为评价函数 衡量设计方案的优劣 单目标函数和多目标函数例如 鹤式起重吊床的设计如果只需求A的落差 y最小就是单目标 如果同时又要求A点的运动速度变动最小就为双目标 如果再要求主动件输入扭矩变化最小为多目标 16 三 约束条件 Constraintcondition 对在设计过程中的一些附加设计条件和对设计变量给的某些限制就称为约束条件 用等式和不等式来表示 不等式约束条件 inequalityconstraints 或等式约束 equalityconstraints n设计变量个数 m不等式约束个数 p等式约束个数p n等式约束hv x 0可用两个不等式约束代替 hv x 0和 hv x 0 17 设计约束条件按性质不同常分为两类 1 边界约束 边界约束考虑了设计变量变化的范围 故也称为区域约束或几何约束 2 性能约束 根据性能要求 由设计附加条件推导出来的约束条件称为性能约束 约束条件的个数约束条件越多 可供选择的方案越少 设计自由度越少 计算越复杂 在满足设计要求的情况下 尽可能减少约束数量 18 四 优化的数学模型在满足给定的约束条件下 选取适当的设计变量 使其目标函数达到最优值 其数学表达式为在满足不等约束和等约束条件下 使目标函数达到最优值 可简化为 进一步简化 最优点 最优值 合称最优解 19 练习题 现需将长180cm的元钢截出三种不同长度的坯料 其中长度规格为70cm 52cm和35cm 各种规格的坯料分别需要100根 150根和100根 试问如何截法边角料最省 20 下面用表说明各种截法及其所剩的边角料 截法一二三四五六七八需要根数70cm2111000010052cm0210321015035cm10130235100边角料 cm 56235246235设各种截法的元钢根数分别为x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 这就是设计变量 目标函数是使边角料 各种截法要满足根数的要求就列作约束条件如下 21 2 3优化问题分类和优化方法简介一 优化问题分类无约束优化问题约束优化问题线性规划问题非线性规划问题二次规划问题整数规划问题几何规划问题 特殊类型的非线性规划动态规划问题随机规划问题 22 二 优化方法简介 解约束问题的方法 直接法 间接法 逼近法 23 第三节优化的几何解释一 几何解释求具有n个设计变量的目标函数的最小化问题 就是以设计变量为坐标轴 在n 1维坐标系内找出一个目标函数超曲面的最小值问题 以二维函数为例 24 二 目标函数等值线 面基本概念二维平面上相同目标函数值的所有点形成的曲线 称为等值线 三个设计变量的目标函数称为等值面 n 3 称为等值超曲面 等值线 面 的分布表达了目标函数值的大小和变化规律 等值线愈内层对极小化问题函数值愈小 反之愈大等值线愈密集函数值变化率愈大等值线的中心就是无约束问题的最优点 目标函数和约束函数的立体图 o 25 三 设计的可行域和不可行域由约束条件围成的区域满足所有的约束条件故称为设计的可行域 此区域之外的任一点是全部或部分的不满足约束条件 故称为设计的不可行域 问题的平面图 26 四 结论n维最优化问题就是n维变量组成一个n维的欧氏设计空间En 在这空间中每一个点都代表n个变量给定的一个设计方案 每一个不等式约束条件在n维空间就是一个超曲面 几个不等式约束条件把n维空间划分成两个区域 一个是设计的可行域 其上所有的点都满足设计的不等式约束条件 当目标函数取某一定值时 就在n维空间内构成一个目标函数的等值超曲面 一系列的等值超曲面就代表了目标函数的变化规律 最优化解就是在可行域中找一个点使其目标函数最小 对于约束问题来说 就是目标函数的等值超曲面与可行域边界曲面上的切点 无约束问题来说就是目标函数等值线簇的中心 也就是极值点 27 五 优化设计的数值解法与收敛准则实际工程问题大多数是非线性问题 有的甚至无法写出函数表达式 利用数学分析的方法很难求目标函数的极值点 所以只能采取数值迭代法 1 数值解法基本思想 从初始点X 0 出发 沿某一方向S 0 以初始步长a 0 去搜索一个新点X 1 这个新点为X 1 X 0 a 0 S 0 且满足适用性要求 即f X 1 f X 0 还要满足可行性 即X 1 D 28 如此继续 每一次迭代均按下式进行X k 1 X k a k S k 且满足f X k 1 f X k 和X k 1 D式中X k 前一步已求得的迭代点S k 第k次迭代计算的搜索方向a k 第k次迭代计算的步长X k 1 新的迭代点 新的修改设计方案 爬山法 的特点 1 每前进一步 目标函数值应有所改善 2 为下一步的移动方向提供有用信息 3 数值迭代求优过程 所得各新设计点逐渐向理论最优点靠拢 不可能真正达到 29 2 数值迭代的终止准则数值迭代法的收敛性是指某种迭代程序所产生的序列 X k k 0 1 2 收敛于limX k