2019_2020学年高中数学第三章数系的扩充和复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义讲义新人教A版选修2.doc

3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义1复数的加法与减法(1)复数的加减法运算法则(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1；(z1z2)z3z1(z2z3)2复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数(2)复数减法的几何意义复数z1z2是连接向量，的终点，并指向被减向量的向量所对应的复数(3)复平面内的两点间距离公式：d|z1z2|.其中z1，z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d为Z1和Z2间的距离1两点间的距离公式结合模的知识可得复平面上两点间的距离公式，设z1x1y1i，z2x2y2i，则|z1z2|(x1y1i)(x2y2i)|(x1x2)(y1y2)i| .2复数模的两个重要性质(1)|z1|z2|z1z2|z1|z2|；(2)|z1z2|2|z1z2|22|z1|22|z2|2.1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)复数与向量一一对应()(2)复数与复数相加减后结果只能是实数()(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小()答案(1)(2)(3)2做一做(1)计算：(35i)(34i)_.(2)(56i)(22i)(33i)_.(3)已知向量对应的复数为23i，向量对应的复数为34i，则向量对应的复数为_答案(1)6i(2)11i(3)1i探究复数的加减运算例1计算：(1)(35i)(4i)(34i)；(2)(7i5)(98i)(32i)解(1)原式(343)(514)i410i.(2)原式(593)(782)i1i.拓展提升复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加减运算在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部这种运算类似于初中的合并同类项【跟踪训练1】计算：(1)(12i)(2i)(2i)(12i)；(2)(i2i)|i|(1i)解(1)原式(13i)(2i)(12i)(32i)(12i)2.(2)原式(1i)(1i)1i1(1i)12i.探究复数加减运算的几何意义例2已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是13i，i,2i，求点D对应的复数解解法一：设D点对应复数为xyi(x，yR)，则D(x，y)又由已知A(1,3)，B(0，1)，C(2,1)，AC中点为，BD中点为.平行四边形对角线互相平分，即点D对应的复数为35i.解法二：设D点对应的复数为xyi(x，yR)则对应的复数为(xyi)(13i)(x1)(y3)i，又对应的复数为(2i)(i)22i.由已知，(x1)(y3)i22i，即点D对应的复数为35i.条件探究若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为13i，i,2i，求第四个顶点对应的复数解设13i，i,2i对应A，B，C三点，D为第四个顶点，则当ABCD是平行四边形时，D点对应的复数是35i.当ABDC是平行四边形时，D点对应的复数为13i.当ADBC是平行四边形时，D点对应复数为1i.拓展提升(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则(3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能【跟踪训练2】已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2i，向量对应的复数为12i，向量对应的复数为3i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积解(1)因为向量对应的复数为12i，向量对应的复数为3i，所以向量对应的复数为(3i)(12i)23i.又，所以点C对应的复数为(2i)(23i)42i.因为，所以向量对应的复数为3i，即(3，1)，设D(x，y)，则(x2，y1)(3，1)，所以解得所以点D对应的复数为5.(2)因为|cosB，所以cosB.所以sinB，所以S|sinB7.所以平行四边形ABCD的面积为7.探究复数加减运算的几何意义的应用例3已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|.解解法一：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，|z1|z2|z1z2|1，a2b2c2d21，(ac)2(bd)21.由得2ac2bd1.|z1z2|.解法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1z2对应的点分别为A，B，C.|z1|z2|z1z2|1，OAB是边长为1的正三角形，四边形OACB是一个内角为60，边长为1的菱形，且|z1z2|是菱形的较长的对角线OC的长，|z1z2|OC| .拓展提升掌握以下常用结论：在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：为平行四边形；若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为正方形【跟踪训练3】若复数z满足|zi|zi|2，求|zi1|的最小值解解法一：设复数i，i，(1i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3.如图，因为|zi|zi|2，|Z1Z2|2，所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为1.解法二：设zxyi(x，yR)因为|zi|zi|2，所以2，又20，所以01y2，即(1y)2x2(y1)2，且01y2.所以x0且1y1，则zyi(1y1)所以|zi1|1(y1)i|1，等号在y1即zi时成立所以|zi1|的最小值为1.1.复数的加法规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加，两个复数的和仍是一个复数，这一法则可以推广到多个复数相加.2.因为复数可以用向量来表示，所以复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.3.复数的减法可根据复数的相反数，转化为复数的加法来运算.1复数z13i，z21i，则z1z2在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案A解析z1z2(3i)(1i)22i，z1z2在复平面内对应的点位于第一象限2已知|z|3，且z3i是纯虚数，则z等于()A3i B3i C3i D4i答案B解析设zxyi(x，yR)，由z3ix(y3)i为纯虚数，得x0，且y3，又|z|y|3，y3.故选B.3非零复数z1，z2分别对应复平面内的向量O，O，若|z1z2|z1z2|，则()AOO B|O|O|COO DO，O共线答案C解析如图，由向量的加法及减法法则可知，OOO，BOO.由复数加法及减法的几何意义可知，|z1z2|对应O的模，|z1z2|对应B的模又|z1z2|z1z2|，所以四边形OACB是矩形，则OO.4复数z满足z(1i)2i，则z等于()A1i B1iC1i D1i答案A解析z2i(1i)1i.故选A.5如图所示，