建模与估计1.1-1.2(第一次课).ppt

建模与估计 第一次课2015 04 01 教学目标 讲述模型建立与参数辨识的一般方法 讲述Kalman滤波估计理论基础 介绍多传感器信息融合估计理论的最新进展为后续估计理论学习打下基础 第一章绪论 研究对象 研究内容 参数辨识的一般方法 例 某地降水量Z t t 1 2 52 研究对象 离散情形下的时间序列 TimeSeries 时间序列 依时间顺序排列的观测值序列 研究内容 建模 估计 建模 1 自回归滑动平均模型 Autoregressivemovingaverage ARMA 2 状态空间模型 state spacemodel 3 传递函数模型 transferfunction 1 统计模型 数据分析 黑箱 2 机理模型 公式 定律 白箱 3 半经验半机理模型 灰箱 模型分类 PID U k kp e k e k 1 kie k kd e k 2e k 1 e k 2 1 最小二乘法 Leastsquaresmethod LSM 1795年 Gauss在确定天体运行椭圆轨道时提出 建模方法 这种估计的特点是算法简单 不必知道与被估计量及观测量有关的任何统计信息 它的基本原理是 实际值与观测值误差平方和最小 由此得名 最小二乘法 例1 对于一个未知长度为 的物体进行N次测量 设每次观测物体长度为li i 1 2 N 求真实物体长度 的估值 设每次测量误差为 解 的最小二乘估值为 可以看到 最小二乘法虽然不能满足每一个方程 使每个方程都有偏差 但它使所有偏差平方和最小 兼顾了所有方程的近似程度 2 1941年 Wiener Kolmogrov基于传递函数提出Wiener滤波 但其缺点要求存储全部历史数据 算法非递推 且只能处理平稳随机序列 1894 1964 滤波 3 1960年R EKalman提出滤波理论 基于状态空间模型 该方法适合计算机计算 算法递推 例2 接上例 求 的递推估值 基于N个观测值对 的估值为 定义 新息 校正系数或滤波增益K N 1 1 N 1 新息 从第N 1次测量中去掉了前N次测量的新息剩下的新的信息 则 的递推估值为 练习1 考虑雷达跟踪直线水平匀速飞行目标 要求估计飞机目标的速度v 测得目标初始为所标原点 每分钟观测一次 共计观测5次 位置观测如下 求 v的最小二乘估计 解 雷达对目标位置的观测带有随机误差 y t vt e t 置 有 代入观测值 10 007272公里 第一章ARMA模型与状态空间模型 随机过程平稳随机序列 白噪声 相关函数自回归滑动平均模型AR n MA q ARMA p q 平稳可逆状态空间模型非递推表达式 并联 串联 解耦 与ARMA的转换 第一节随机过程 StochasticProcess 例1 电网电压 定义 随机过程 随时间演化的随机变量族 当T 2 1 0 1 2 为离散时间集合时 也称随机过程Z t 为随机序列 定义 实现 随机过程每次的观测结果是T上的普通函数 称为随机过程的一个实现 realization z t 定义 随机过程Z t t T 可看成所有实现的实现族 举例 随机过程 定义 随机过程的数学期望 均值 Expectation 是随机变量数学期望的推广 它由随机过程每时刻的均值构成来定义 它从总体上刻画随机过程取值的平均 m t E Z t t T 定义 随机过程的方差Variance 刻画了随机过程Z t 偏离均值m t 的误差的平方的平均状况 t T D为方差符号 t 叫标准方差函数 定义 随机过程的相关函数Correlatedfunction 反应在任意两个不同时刻随机变量之间的联系 进而说明随机过程波动的快慢 R t1 t2 E Z t1 m t1 Z t2 m t2 t1 t2 t R t t 2 t 当 例2 随机相位余弦波Z t cos w0t 其中 为在 0 2 上服从均匀分布的随机变量 w0为常数 求随机过程Z t 的均值m t 相关函数R t1 t2 及方差 2 t 解 的概率密度 数学期望m t E Z t 相关函数 R t1 t2 E Z t1 m t1 Z t2 m t2 第二节平稳随机过程 stationarystochasticprocess 1 m t C均值为常数 2 2 t C均值为常数 3 相关函数仅与时间间隔有关 定义 平稳随机过程 例1 设随机过程z t Acosw0t Bsinw0t t 其中A与B独立 且EA EB 0 有EA2 EB2 2 问z t 是否为平稳随机过程 解 Ez t EAcosw0t EBsinw0t 0 相关函数 r E Acosw0t Bsinw0t Acosw0 t Bsinw0 t EA2cosw0tcosw0 t EB2sinw0tsinw0 t 2 cosw0tcosw0 t sinw0tsinw0 t 2cosw0 只与有关 是平稳随机过程 例2 请列举平稳和非平稳随机过程的实际应用 地震波 若平稳随机过程每个样本函数都经历它的各种状态 能充分代表过程的统计特性 则称它为各态历经平稳随机过程 定义 平稳随机过程的遍历性 各态历经性Ergodicity z t 是一个平稳随机过程Z t t 0 的一个样本 若 依概率1成立 则称Z t 均值具有遍历性或各态历经性 若 依概率1成立 则称Z t 相关函数具有遍历性或各态历经性 若Z t 的均值和相关函数都具有遍历性 则称Z t 是各态历经平稳随机过程 定义 若平稳随机序列Z t t 1 2 3 若z t 是它的一个样本序列 且 以概率1成立 则称它具有遍历性 在较弱的条件下 可证明大量的现实平稳随机过程均具有各态历经性 如某地降雨 心电图 脑电图 机械振动 海浪 量测误差 电网电压等 例3 随机相位余弦波z t cos w0t t T 0 其中 为在 0 2 上服从均匀分布的随机变量 是否具有各态历经性 解 均值的遍历性 不妨设 0 0 0 2 则 0 E Z t 相关函数的遍历性 所以该随机过程具有各态历经性 今后我们主要研究离散时间随机过程 即随机序列 记为zt t T 1 0 1 应注意在不引起混淆的情况下 今后不再用大写字母Zt 表示随机序列 Zt t T 而同一用小写字母zt表示随机序列及其实现 这里 zt t T 即可以表示随机序列 也可以表示它的实现 z1 z2 zN 即可看成随机向量 也可看成 zt t T 的容量为N的样本 平稳随机过程zt t T rk E zt m zt k m m E zt 相关函数 性质 1 r0 0非负 2 对称性rk r k 证明 rk E zt m zt k m E zt k m zt m 3 rk r0 证明 E zt m zt k m 许瓦尔兹不等式E XY 标准相关函数定义 k rk r0 0 k 1 0 1 4 对任意自然数n和不全为零的实数l1 l2 ln有 证明 定义 对于平稳随机序列zt 长度为N的一个样本 z1 z2 zN 采样均值 采样方差 采样相关函数 k 0 1 2 采样标准相关函数 假如zt具有遍历性 则由随机过程理论当N 以概率1成立 a s allmostsurely L t l1zt l2zt 1 lnzt n 1 E L2 t 0 定义 白噪声 whitenoise 最简单的平稳随机序列 at t T 1 0 1 是零均值 方差为 2的不相关随机序列 即 E at 0 E atat k 标准相关函数 例4 设at为白噪声序列 E at 0 E atat k 2 ts 其中 tt 1 ts 0 t s 1 zt