2010年高考数学试题分类汇编-三角函数.doc

2010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 三角函数三角函数 2010 上海文数 上海文数 19 19 本题满分 本题满分 1212 分 分 已知0 2 x 化简 2 lg costan1 2sin lg 2cos lg 1 sin2 22 x xxxx 解析 原式 lg sinx cosx lg cosx sinx lg sinx cosx 2 0 2010 湖南文数 湖南文数 16 本小题满分 12 分 已知函数 2 sin22sinf xxx I 求函数 f x的最小正周期 II 求函数 f x的最大值及 f x取最大值时 x 的集合 2010 浙江理数 浙江理数 18 本题满分 l4 分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已 知 1 cos2 4 C I 求 sinC 的值 当 a 2 2sinA sinC 时 求 b 及 c 的长 解析 本题主要考察三角变换 正弦定理 余弦定理等基础知识 同事考查运算求解能力 解 因为 cos2C 1 2sin2C 1 4 及 0 C 所以 sinC 10 4 解 当 a 2 2sinA sinC 时 由正弦定理 ac sinAsinC 得 c 4 由 cos2C 2cos2C 1 1 4 J 及 0 C 得 cosC 6 4 由余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC 得 b2 6b 12 0 解得 b 6或 26 所以 b 6 b 6 c 4 或 c 4 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 17 本小题满分 10 分 ABC 中 D为边BC上的一点 33BD 5 sin 13 B 3 cos 5 ADC 求AD 命题意图 本试题主要考查同角三角函数关系 两角和差公式和正弦定理在解三角形中 的应用 考查考生对基础知识 基本技能的掌握情况 参考答案 由 cos ADC 0 知 B 由已知得 cosB sin ADC 从而 sin BAD sin ADC B sin ADCcosB cos ADCsinB 由正弦定理得 所以 点评 三角函数与解三角形的综合性问题 是近几年高考的热点 在高考试题中频繁出 现 这类题型难度比较低 一般出现在 17 或 18 题 属于送分题 估计以后这类题型仍会保 留 不会有太大改变 解决此类问题 要根据已知条件 灵活运用正弦定理或余弦定理 求 边角或将边角互化 20102010 陕西文数 陕西文数 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 已知 B 45 D 是 BC 边上的一点 AD 10 AC 14 DC 6 求 AB 的长 解在 ADC 中 AD 10 AC 14 DC 6 由余弦定理得 cos 222 2 ADDCAC AD DC A 10036 1961 2 10 62 ADC 120 ADB 60 在 ABD 中 AD 10 B 45 ADB 60 由正弦定理得 sinsin ABAD ADBB AB 3 10 sin10sin60 2 5 6 sinsin452 2 ADADB B A 20102010 辽宁文数 辽宁文数 17 本小题满分 12 分 在ABC 中 abc 分别为内角ABC 的对边 且2 sin 2 sin 2 sinaAbcBcbC 求A的大小 若sinsin1BC 试判断ABC 的形状 解 由已知 根据正弦定理得cbcbcba 2 2 2 2 即bccba 222 由余弦定理得Abccbacos2 222 故 120 2 1 cosAA 由 得 sinsinsinsinsin 222 CBCBA 又1sinsin CB 得 2 1 sinsin CB 因为 90 0 900CB 故BC 所以ABC 是等腰的钝角三角形 2010 辽宁理数 辽宁理数 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 a b c 分别为内角 A B C 的对边 且 2 sin 2 sin 2 sin aAacBcbC 求 A 的大小 求sinsinBC 的最大值 解 由已知 根据正弦定理得 2 2 2 2 abc bcb c 即 222 abcbc 由余弦定理得 222 2cosabcbcA 故 1 cos 2 A A 120 6 分 由 得 sinsinsinsin 60 BCBB 31 cossin 22 sin 60 BB B 故当 B 30 时 sinB sinC 取得最大值 1 12 分 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 17 本小题满分 10 分 ABCA中 D为边BC上的一点 33BD 5 sin 13 B 3 cos 5 ADC 求 AD 解析解析 本题考查了同角三角函数的关系 正弦定理与余弦定理的基础知识 本题考查了同角三角函数的关系 正弦定理与余弦定理的基础知识 由由 ADC 与与 B 的差求出的差求出 BAD 根据同角关系及差角公式求出 根据同角关系及差角公式求出 BAD 的正弦 在三角的正弦 在三角 形形 ABDABD 中 由正弦定理可求得中 由正弦定理可求得 ADAD 20102010 江西理数 江西理数 17 本小题满分 12 分 已知函数 2 1 cotsinsinsin 44 f xxxmxx 1 当 m 0 时 求 f x 在区间 3 84 上的取值范围 2 当tan 2a 时 3 5 f a 求 m 的值 解析 考查三角函数的化简 三角函数的图像和性质 已知三角函数值求值问题 依托 三角函数化简 考查函数值域 作为基本的知识交汇问题 考查基本三角函数变换 属于 中等题 解 1 当 m 0 时 22 cos1 cos2sin2 1 sinsinsin cos sin2 xxx f xxxxx x 1 2sin 2 1 24 x 由已知 3 84 x 得 2 2 1 42 x 从而得 f x的值域为 12 0 2 2 2 cos 1 sinsin sin sin44 x f xxmxx x 化简得 11 sin2 1 cos2 22 f xxmx 当tan2 得 222 2sincos2tan4 sin2 sincos1tan5 aaa a aaa 3 cos2 5 a 代入上式 m 2 2010 安徽文数 安徽文数 16 本小题满分 12 分 ABC 的面积是 30 内角 A B C所对边长分别为 a b c 12 cos 13 A 求AB AC A 若1cb 求a的值 命题意图 本题考查同角三角函数的基本关系 三角形面积公式 向量的数量积 利用 余弦定理解三角形以及运算求解能力 解题指导 1 根据同角三角函数关系 由 12 cos 13 A 得sin A的值 再根据ABC 面 积公式得156bc 直接求数量积AB AC A 由余弦定理 222 2cosabcbcA 代入已 知条件1cb 及156bc 求 a 的值 解 由 12 cos 13 A 得 2 125 sin1 1313 A 又 1 sin30 2 bcA 156bc 12 cos156144 13 AB ACbcA 222 2cosabcbcA 2 12 2 1 cos 12 156 1 25 13 cbbcA 5a 规律总结 根据本题所给的条件及所要求的结论可知 需求bc的值 考虑已知 ABC 的面积是 30 12 cos 13 A 所以先求sin A的值 然后根据三角形面积公式得 bc的值 第二问中求 a 的值 根据第一问中的结论可知 直接利用余弦定理即可 2010 重庆文数 18 本小题满分 13 分 小问 5 分 小问 8 分 设ABC 的内角 A B C 的对边长分别为 a b c 且 3 2 b 3 2 c 3 2 a 42bc 求 sinA 的值 求 2sin sin 44 1 cos2 ABC A 的值 2010 浙江文数 浙江文数 18 本题满分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 设 S 为 ABC 的面积 满足 222 3 4 Sabc 求角 C 的大小 求sinsinAB 的最大值 2010 重庆理数 重庆理数 16 本小题满分 13 分 I 小问 7 分 II 小问 6 分 设函数 2 2 cos2cos 32 x f xxxR I 求 f x的值域 II 记ABC 的内角 A B C 的对边长分别为 a b c 若 f B 1 b 1 c 3 求 a 的值 2010 山东文数 山东文数 17 本小题满分 12 分 已知函数 2 sin coscosf xxxx 0 的最小正周期为 求 的值 将函数 yf x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 纵坐标不变 得到 函数 yg x 的图像 求函数 yg x 在区间0 16 上的最小值 20102010 北京文数 北京文数 15 本小题共 13 分 已知函数 2 2cos2sinf xxx 求 3 f 的值 求 f x的最大值和最小值 解 2 2 2cossin 333 f 31 1 44 22 2 2cos1 1 cos f xxx 2 3cos1 xxR 因为 cos1 1x 所以 当cos1x 时 f x取最大值 2 当cos0 x 时 f x去最小值 1 20102010 北京理数 北京理数 15 本小题共 13 分 已知函数 x f 2 2cos2sin4cosxxx 求 3 f 的值 求 x f的最大值和最小值 解 I 2 239 2cossin4cos1 333344 f II 22 2 2cos1 1 cos 4cosf xxxx 2 3cos4cos1xx 2 27 3 cos 33 x xR 因为cosx 1 1 所以 当cos1x 时 f x取最大值 6 当 2 cos 3 x 时 f x取最小值 7 3 2010 四川理数 四川理数 19 本小题满分 12 分 证明两角和的余弦公式C cos coscossinsin 1 由C 推导两角和的正弦公式S sin sincoscossin 2 已知 ABC 的面积 1 3 2 SABAC 且 3 5 cosB 求 cosC 本小题主要考察两角和的正 余弦公式 诱导公式 同角三角函数间的关系等基础知识及 运算能力 解 1 如图 在执教坐标系 xOy 内做单位圆 O 并作出角 与 使角 的始边 为 Ox 交 O 于点 P1 终边交 O 于 P2 角 的始边为 OP2 终边交 O 于 P3 角 的始边为 OP1 终边交 O 于 P4 则 P1 1 0 P2 cos sin P3 cos sin P4 cos sin 由 P1P3 P2P4及两点间的距离公式 得 cos 1 2 sin2 cos cos 2 sin sin 2 展开并整理得 2 2cos 2 2 cos cos sin sin cos cos cos sin sin 4 分 由 易得 cos 2 sin sin 2 cos sin cos 2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin sin cos cos sin 6 分 2 由题意 设 ABC 的角 B C 的对边分别为 b c 则 S 1 2 bcsinA 1 2 ABAC bccosA 3 0 A 0 2 cosA 3sinA 又 sin2A cos2A 1 sinA 10 10 cosA 3 10 10 由题意 cosB 3 5 得 sinB 4 5 cos A B cosAcosB sinAsinB 10 10 故 cosC cos A B cos A B 10 10 12 分 20102010 天津文数 天津文数 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 cos cos ACB ABC 证明 B C 若cos A 1 3 求 sin4B 3 的值 解析 本小题主要考查正弦定理 两角和与差的正弦 同角三角函数的基本关系 二倍 角的正弦与余弦等基础知识 考查基本运算能力 满分 12 分 证明 在 ABC 中 由正弦定理及已知得 sinB sinC cosB cosC 于是 sinBcosC cosBsinC 0 即 sin B C 0 因为BC 从而 B C 0 所以 B C 解 由 A B C 和 得 A 2B 故 cos2B cos 2B cosA 1 3 又 0 2B ACOCOC ACAC 故且对于线段上任意点P有O PO C 而小艇的最 高航行速度只能达到 30 海里 小时 故轮船与小艇不可能在 A C 包含 C 的任意位置相 遇 设COD 0 90 10 3tanRt CODCD 则在中 OD 10 3 cos 由于从出发到相遇 轮船与小艇所需要的时间分别为 10 10 3tan 30 t 和 10 3 cos t v 所以 10 10 3tan 30 10 3 cosv 解得 15 33 30 sin 30 sin 30 2 vv 又故 从而30 90 30tan 由于时 取得最小值 且最小值为 3 3 于是 当30 时 10 10 3tan 30 t 取得最小值 且最小值为 2 3 此时 在OAB 中 20OAOBAB 故可设计航行方案如下 航行方向为北偏东30 航行速度为 30 海里 小时 小艇能以最短时间与轮船相遇 2010 安徽理数 16 本小题满分 12 分 设ABC 是锐角三角形 a b c分别是内角 A B C所对边长 并且 22 sinsin sin sin 33 ABBB 求角A的值 若12 2 7AB ACa A 求 b c 其中bc 2010 江苏卷 江苏卷 17 本小题满分 14 分 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H 单位 m 如示意图 垂直放置的标杆 BC 的高度 h 4m 仰角 ABE ADE 1 该小组已经测得一组 的值 tan 1 24 tan 1 20 请据此算出 H 的值 2 该小组分析若干测得的数据后 认为适当调整标杆到电视塔的距离 d 单位 m 使 与 之差较大 可以提高测量精确度 若电视塔 的实际高度为 125m 试问 d 为多少时 最大 解析 本题主要考查解三角形的知识 两角差的正切及不等式的应用 1 tan tan HH AD AD 同理 tan H AB tan h BD AD AB DB 故得 tantantan HHh 解得 tan4 1 24 124 tantan1 24 1 20 h H 因此 算出的电视塔的高度 H 是 124m 2 由题设知dAB 得tan tan HHhHh dADDBd 2 tantan tan 1tantan 1 HHh hdh dd HHhH Hh dH Hh d ddd 2 H Hh dH Hh d 当且仅当 125 12155 5dH Hh 时 取等 号 故当55 5d 时 tan 最大 因为0 2 则0 2 所以当55 5d 时 最大 故所求的d是55 5m 2010 江苏卷 23 本小题满分 10 分 已知 ABC 的三边长都是有理数 1 求证 cosA 是有理数 2 求证 对任意正整数 n cosnA 是有理数 解析 本题主要考查余弦定理 数学归纳法等基础知识 考查推理论证的能力与分析问题 解决问题的能力 满分 10 分 方法一 1 证明 设三边长分别为 a b c 222 cos 2 bca A bc a b c是有理数 222 bca 是有理数 分母2bc为正有理数 又有理数集对于除法的具有封闭 性 222 2 bca bc 必为有理数 co